Modelos Não Gaussianos para Precificação de Opções Universidade Federal de Pernambuco Departamento de Física Modelos Não Gaussianos para Precificação de Opções Giovani L. Vasconcelos Rio de Janeiro, 09 de novembro de 2007 Colaboradores: Rogério Costa, Antônio Mário Ramos, José Augusto Carvalho Filho, Domingos Salazar

Roteiro O que são “Opções”? Breve histórico Hipótese do mercado eficiente e o movimento browniano Modelo de Black-Scholes Análise do Ibovespa Modelo Exponencial para Opções Conclusões

Na data T do vencimento: Mercado de Opções Uma opção é um contrato que dá o direito, mas não a obrigação, de comprar ou vender um determinado ativo S por um preço K pré- determinado (preço de exercício) em um tempo T futuro (vencimento). Opção de Compra (Call) Na data T do vencimento: se S(T) < K, o titular não exerce a opção. se S(T) > K, o titular exerce a opção. Compra por K, revende no mercado por S e embolsa a diferença (S-K).

Mercado de Opções Uma opção representa um direito. Logo, é necessário que se pague por tal direito. Surge então a seguinte questão: Quanto deve valer um contrato de opção? Para responder essa questão é necessário modelar a dinâmica de preços do ativo S de referência.

Breve Histórico 1600’s - Holanda: “Bolha da Tulipa”  Opções. 1900 - Louis Bachelier defende a tese “Théorie de la Especulation”, em que modela preços como um movimento browniano. 1955 - Paul Samuelson – Moderna teoria de apreçamento: logaritmo dos preços descreve um MB. 1970 - Eugene Fama – Hipótese do Mercado Eficiente

Breve Histórico 1963 – Benoit Mandelbrot propõe distribuições de Levy (não-gaussianas) para os retornos. 1973 – Opções começam a ser negociadas na Bolsa de Opções de Chicago (CBOT). 1973 - Fischer Black, Myron Scholes e Robert Merton desenvolvem o “Modelo de Black-Scholes” para opções. 1979 – Bovespa lança opções em ações. Década de 90 – Nasce a “Econofísica”.

Breve Histórico 1997 - Merton e Scholes recebem o Nobel de economia.

Hipótese do Mercado Eficiente Em um mercado eficiente o preço atual reflete toda informação disponível. O passado não contém qualquer informação que já não esteja incorporada no preço atual. Preços variam com a chegada de novas informações  flutuações imprevisíveis  descrição probabilística Variações futuras do preço são independentes das variações anteriores.  preços seguem um movimento browniano!

Movimento Browniano 1827- Robert Brown estuda grãos de pólen em suspensão na água e observa o movimento errático de partículas. Microscópio original de Brown Reprodução (1992): partículas de gorduras do leite em suspensão .

Movimento Browniano 1905- Einstein formula e resolve o problema Tratamento estatístico: movimentos sucessivos são mutuamente independentes processo de difusão

Distribuição Gaussiana probabilidade posição deslocamento quadrático médio:

Hipótese do Mercado Eficiente Retornos x(t) = ln[S(t)] seguem um movimento browniano: x(t+1) = x(t) + flutuação aleatória Em tempo contínuo: ruído branco amplitude das flutuações deriva Distribuiçao gaussiana (normal) para os retornos: Preço S(t) segue uma distribuiçao log-normal.

Modelo de Black-Scholes Ativo livre de risco (conta bancária): Ativo de risco S segue um MB geométrico: R(t) =  + (t) Distribuição log-normal para S(t): taxa de juros volatilidade ruído branco taxa média de retorno

Abordagem Neutra a Risco (Merton) Em um mundo “indiferente ao risco”: O “preço justo” da opção C é o valor esperado do ganho futuro corrigido a tempo presente: Opção de compra: m = r C(S,t) = e-r(T-t) E[C(S,T)]rn C(S,T) = max(S-K,0)

Fórmula de Black e Scholes A fórmula de Black-Scholes encontra-se disponível em qualquer calculadora moderna com funções financeiras!

Análise do Ibovespa A distribuição é gaussiana? Retornos Os sucessivos retornos são independentes? A distribuição é gaussiana?

Expoente de Hurst Memória persiste até 6 meses! desvio padrão  t H H = 1/2 : sem memória (mov. browniano) H ≠ 1/2 : efeitos de memória (correlação) Memória persiste até 6 meses! Similar a outros mercados emergentes.

Mercado brasileiro tornou-se mais eficiente com a abertura da economia Dependência no tempo movimento browniano Plano Collor Costa e Vasconcelos, Physica A, 2003 Mercado brasileiro tornou-se mais eficiente com a abertura da economia

Scientific American Brasil, agosto de 2004

Histograma dos Retornos J.A. Carvalho-Filho, 2004 região linear  distribuição exponencial!

Modelo Exponencial para Retornos Condição de normalização Escolhendo covenientemente Obtemos, usando as duas igualdades, as expressões Consequentemente

Lei de potência para  < 1h Cotações “Intraday” J.A. Carvalho-Filho, 2004 Exponencial para  > 1h Lei de potência para  < 1h

Cotações “Intraday” A. A. G. Cortines, R. Riera, Physica A 2007

Distribuições com lei de potência Distribuição de Tsallis (ou q-gaussiana) variância: Cauda com lei de potência:

Análise Empírica do Ibovespa Distribuição de Levy Distribuição de Tsallis A. M. T. Ramos, 2007

Ajuste Empírico ao Ibovespa q-gaussiana exponencialmente truncada q-gaussiana q=1.64 q=1.75 A. A. G. Cortines, R. Riera, Physica A 2007

Modelo Exponencial para Opções McCauley, Gunaratne, Physica A 2003 Aplicando a abordagem neutra a risco: Resulta uma fórmula explícita para o preço da opção: neutralidade a risco: Dois parâmetros não conhecidos  e 

Comparação entre os Modelos para Opção Série IBOVL, vencimento 13/12/2006 gaussiano é melhor exponencial é melhor T = 14 dias T = 36 dias A. M. T. Ramos, 2007

Comparação entre os Modelos para Opção Próximo do vencimento o modelo exponencial é melhor Em alguns casos o ajuste exponencial apresenta resíduo bem menor do que o gaussiano.

Outros Modelos Alternativos de Opções Modelos com Distribuição de Lévy Truncada (A. Matacz, Int. J. Theor. Appl. Finance, 2000) Modelos com processos de Lévy (“Lévy Processes in Finance”, Wim Schoutens, 2001) Modelo q-Gaussiano (L. Borland, PRL 2002): fórmula explícita aproximada. Modelo de “Black-Scholes Fracionário” (C. Necula, 2002; Cajueiro e Barbachan, 2003): retornos seguem um movimento browniano fracionário, H ≠ 1/2. Modelos com Volatilidade Estocástica.

Conclusões e Desafios Efeitos não-gaussianos são abundantes no mercado financeiro. Presença de correlações (H > 0.5) no Ibovespa antes, e mais eficiência (H  0.5), após o Plano Collor. Retornos seguem uma distribuição exponencial para 1 h < t < 30 dias, e q-gaussiana para t < 1 h. O modelo exponencial descreve melhor o mercado de opções do Ibovespa próximo do vencimento. Como utilizar modelos não-gaussianos de opções para gerar estratégias de investimento?

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