Relações Adriano Joaquim de O Cruz ©2002 NCE/UFRJ

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 2 Introdução n Relações são associações entre elementos de diferentes conjuntos n Se o grau de associação é um ou zero temos uma relação clássica n Se o grau pode variar entre estes valores a relação é nebulosa n Por exemplo x é maior que y

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 3 Funções e Relações n Funções e Relações são mapeamentos. n Funções fazem mapeamentos de muitos para um. n Relações podem fazer mapeamentos de muitos para muitos.

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 4 Produto Cartesiano n Produto cartesiano de dois conjuntos X e Y é definido como n Para n conjuntos (A i ) o produto cartesiano é definido como

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 5 Relações Clássicas n Uma relação é um subconjunto do produto Cartesiano n O produto cartesiano pode ser considerado uma relação sem restrições. n Uma relação entre dois conjuntos é chamada de relação binária.

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 6 Função Característica n Mede a força da relação entre os pares

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 7 Representação de Relações n Conjuntos de pares. n Considere uma família e relação é primo de

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 8 Representação de Relações n Matrizes que mostram os valores da função característica

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 9 Representação de Relações n Diagramas que mostram os elementos dos conjuntos como pontos e as relações como ligações entre os pontos Beatriz Clara Débora Marco Beatriz Clara Débora Marco

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 10 Relações Especiais n Considere um conjunto A={0,1,2} e as relações abaixo em A A n Relação Identidade I={0,0),(1,1),(2,2)} n Relação Universal U={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)}

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 11 Relações em Universos contínuos

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 12 Propriedades de Relações Clássicas n Sejam X e Y dois sub-conjuntos de um universo U. n Sejam os elementos x X e y Y. n Seja S o produto cartesiano X Y. n Seja R uma relação clássica em S.

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 13 Propriedades de Relações Clássicas n Reflexiva: R é reflexiva se (x,x) R para qualquer x X. n Não reflexiva: R é irreflexiva se existir pelo menos um x tal que (x,x) R. n Anti-reflexiva: R é anti-reflexiva se não existe um x X para o qual (x,x) R.

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 14 Propriedades de Relações Clássicas cont 1 n Simétrica: R é simétrica se para todo elemento x X e y Y temos que se (x,y) R então (y,x) R. n Assimétrica: R é assimétrica se não existem elementos x X e y Y para os quais (x,y) R e (y,x) R. n Antissimétrica: R é antissimétrica se para todo x X e y Y, quando (x,y) R e (y,x) R então x=y.

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 15 Propriedades de Relações Clássicas cont 2 n Transitiva: R é transitiva se para todo x,y,z temos que se (x,y) R e (y,z) R então (x,z) R. n Conectada: R é conectada se para todo x e y temos que se x y então (x,y) R ou (y,x) R.

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 16 Propriedades de Relações Clássicas cont 3 n Única à esquerda: R é única à esquerda quando para todo x,y,z temos que se (x,z) R e (y,z) R então x=y. n Única à direita: R é única à direita quando para todo x,y,z temos que se (x,y) R e (x,z) R então y=z. n Bi-única: uma relação que é única à direita e à esquerda é chamada de bi-única.

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 17 Relação R=é primo de n A relação não é reflexiva porque uma pessoa não é prima de si mesmo, logo ela é antireflexiva porque não há elemento de R que seja primo de si mesmo. n A relação é simétrica porque se Beatriz é prima de Débora então Débora e prima de Beatriz e portanto não assimétrica. n A relação também não é antissimétrica porque ela é não é reflexiva nem assimétrica.

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 18 Relação R=é primo de cont 1 n A relação não é transitiva porque Débora e prima de Clara e Clara é prima de Marco mas Débora não é prima de Marco. n A relação não é conectada porque existem pares de elementos diferentes para os quais a relação não se aplica. Por exemplo, Marco não é primo de Débora.

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 19 Relação R=é primo de cont 2 n A relação não é única à esquerda porque Beatriz e Clara são diferentes pessoas e primas de Débora. n A relação não é única à direita porque Débora é prima de Beatriz e Clara que são diferentes pessoas. n Como a relação não nem única à esquerda nem à direita ela não é bi-única.

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 20 Relações Clássicas de Equivalência n Relações que são reflexivas, simétricas e transitivas são chamadas de relações de equivalência. n A relação de similaridade entre triângulos é uma relação de equivalência. n A relação trabalha no mesmo edifício que é uma relação de equivalência.

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 21 Relações Clássicas de Tolerância n Relações que são reflexivas e simétricas são chamadas de relações de tolerância. n A relação nítida A cidade x é perto da cidade y é uma relação de tolerância. –A cidade x obviamente é perto dela mesma (reflexiva). –Se a cidade x é perto da cidade y então a cidade y é perto da cidade x (simétrica). –Não é certo que se x é perto de y e y é perto de z então x é perto de z (transitiva).

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 22 Tipos de Relações

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 23 Operações com Relações Clássicas n Sejam R e S duas relações no universo Cartesiano X Y. n Sejam as relações

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 24 Operações com Relações Clássicas cont 1

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 25 Propriedades das Operações Clássicas

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 26 Propriedades das Operações Clássicas cont 1

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 27 Propriedades das Operações Clássicas cont 2

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 28 Composição de Relações Clássicas XYZ RS T=R°S

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 29 Composição de Relações Clássicas A operação ° é similar à uma multiplicação de matrizes

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 30 Exemplo de Composição x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 y1y1 y2y2 y3y3 z1z1 z2z2 z3z3

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 31 Exemplo de Composição

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 32 Exemplo de Composição x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 z1z1 z2z2 z3z3

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 33 Relações Nebulosas n Relações (R) mapeiam elementos de um conjunto (X) em outro conjunto (Y). n A força da relação é medida em termos de funções de inclusão que podem variar entre 0 e 1. n R:X Y [0:1]

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 34 Relações Nebulosas n Sejam A i conjuntos nebulosos. n Uma relação nebulosa é um subconjunto do produto Cartesiano n O produto cartesiano pode ser considerado uma relação sem restrições.

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 35 Função Característica n Mede a força da relação entre os pares n Sejam A (x) e B (x) os graus de inclusão de x e y nos conjuntos A e B respectivamente.

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 36 Função Característica Exemplo n Conjunto A={(x 1,0.2),(x 2,0.5),(x 3,1)} n Conjunto B={(y 1,0.3),(y 2,0.9)}. n R=A B

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 37 Propriedades de Relações Nebulosas n Sejam X e Y dois sub-conjuntos nebulosos de um universo U. n Sejam os elementos x X e y Y com graus X (x) e Y (y). n Seja S o produto cartesiano X Y. n Seja R uma relação nebulosa em S.

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 38 Propriedades de Relações Nebulosas n Propriedades com definições similares às das relações clássicas: n Reflexiva, Não reflexiva, Anti-reflexiva; n Simétrica, Assimétrica, Antissimétrica; n Conectada n Única à esquerda, Única à direita, Bi-única

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 39 Propriedades de Relações Nebulosas n Transitiva: R é transitiva se para todo x,y,z temos que se (x,y) R e (y,z) R então (x,z) R.

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 40 Relações Nebulosas de Similaridade (Equivalência) n Relações que são reflexivas, simétricas e transitivas são chamadas de relações de equivalência.

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 41 Relações Nebulosas de Tolerância n Relações que são reflexivas e simétricas são chamadas de relações de tolerância. n A relação nebulosa A cidade x é perto da cidade y é uma relação de tolerância. –A cidade x obviamente é perto dela mesma (reflexiva). –Se a cidade x é perto da cidade y então a cidade y é perto da cidade x (simétrica). –Não é certo que se x é perto de y e y é perto de z então x é perto de z (transitiva).

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 42 Operações com Relações Nebulosas n Sejam R e S duas relações no universo Cartesiano X Y. n Sejam as relações

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 43 Operações com Relações Nebulosas cont 1

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 44 Propriedades das Operações

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 45 Propriedades das Operações cont 1

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 46 Propriedades das Operações cont 2

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 47 Composição de Relações Nebulosas XYZ RS T=R°S

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 48 Composição de Relações Nebulosas A operação ° é similar à uma multiplicação de matrizes

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 49 Exemplo de Composição Nebulosa x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 y1y1 y2y2 y3y3 z1z1 z2z2 z3z

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 50 Exemplo de Composição

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 51 Exemplo de Composição x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 z1z1 z2z2 z3z

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 52 Relação de Implicação n If x is A then y is B n Esta regra possui uma relação de implicação R(x,y) n Assuma que x is A, queremos descobrir y is B n B= A R(x,y) n B (y)= x [ A (x) R (x,y)]

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJRelações 53 Atribuição de Valores n Produto cartesiano n Expressões matemáticas y=f(x) n Regras linguísticas n Classificação n Métodos de similaridades de dados