Capítulo I - Introdução Fenômenos de Transporte ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA Prof. Carlos Ruberto Fragoso Jr.

Análise Dimensional e Semelhança A maioria dos problemas na mecânica dos fluidos não podem ser resolvidos com procedimentos analíticos, apenas utilizando procedimentos experimentais; Muitos problemas são resolvidos utilizando abordagem experimental e analítica; Um objetivo de qualquer experimento é obter resultados amplamente aplicáveis (medidas obtidas num sistema em laboratório podem ser utilizadas para descrever o comportamento de um sistema similar); Para isso é necessário estabelecer a relação que existe entre o modelo de laboratório e o “outro” sistema.

Análise Dimensional e Semelhança   Estudaremos os aspectos dimensionais do escoamento, fazendo uso do princípio de homogeneidade dimensional, aplicado às equações e leis de conservação. O desenvolvimento da Mecânica dos Fluidos depende de : ·     análise teórica ·    resultados experimentais (numéricos e/ou de laboratório) Em certas situações são conhecidas as variáveis envolvidas no fenômeno físico, mas não a relação funcional entre elas. A análise dimensional permite associar variáveis em grupos adimensionais. Quando o teste experimental em um protótipo em tamanho real é impossível ou caro, utiliza-se modelos reduzidos representativos.  

Pelo procedimento chamado análise dimensional, o fenômeno pode ser formulado como uma relação entre um conjunto de grupos adimensionais das variáveis. Quando se realiza um trabalho de laboratório, desejamos : ·    o maior número de informações ·    o menor número de ensaios   Análise dimensional  Parâmetros adimensionais (apresentação resumida em gráficos) Os fenômenos em Mecânica dos Fluidos dependem : ·    parâmetros geométricos ·    parâmetros do escoamento   

Exemplo : Força de arraste F sobre uma esfera lisa, de diâmetro D, estacionária, imersa em um escoamento uniforme de velocidade V. Que experiências serão necessárias para determinar a força de arraste F sobre a esfera ? Sabemos que F = f(D, V, ρ, μ) desconsiderando a rugosidade superficial. [mas, esta hipótese é razoável?]   Formulação do problema por grandezas controladas e medidas em laboratório. Depois de construída a estrutura experimental, iniciamos os ensaios. Faremos 10 ensaios para cada variável: Curva F vs. V com parâmetros D, ρ, μ  10 ensaios Curva F vs. D com parâmetros V, ρ, μ  10 ensaios Curva F vs. r com parâmetros D, V, m  10 ensaios Curva F vs. m com parâmetros D, V, r  10 ensaios TOTAL : 104 ensaios Se cada ensaio leva 0,5 hora  8 horas/dia  2,5 anos para completar o trabalho ! ! Existirá uma enorme dificuldade na apresentação dos resultados.

Exemplo : Considere o escoamento em regime permanente, incompressível de um fluido Newtoniano num tubo longo, horizontal e que apresenta parede lisa. Que experiências serão necessárias para determinar a diferença de pressão por unidade de comprimento do tubo Δp1? Sabemos que Δp1 = f(D, V, ρ, μ) desconsiderando a rugosidade superficial.   Formulação do problema por grandezas controladas e medidas em laboratório. Depois de construída a estrutura experimental, iniciamos os ensaios. Faremos 10 ensaios para cada variável: Curva Δp1 vs. V com parâmetros D, ρ, μ  5 ensaios Curva Δp1 vs. D com parâmetros V, ρ, μ  5 ensaios Curva Δp1 vs. r com parâmetros D, V, m  5 ensaios Curva Δp1 vs. m com parâmetros D, V, r  5 ensaios TOTAL : 104 ensaios .

Δp1 Δp1 v μ Δp1 Δp1 D ρ

Capítulo I - Introdução Podemos agrupar as variáveis em duas combinações adimensionais (denominados grupos adimensionais) de modo que: Assim nós podemos trabalhar com dois grupos adimensionais em vez de trabalhar com 5 variáveis.

Instrumentos da Análise Dimensional Para prever as relações entre grandezas em um dado fenômeno, temos:   Ø   o teorema de Bridgman Ø   o teorema de Buckingham Teorema de Bridgman O teorema de Bridgman estabelece que toda grandeza secundária ou dependente pode ser expressa por um produto de grandezas primárias. Exemplo: E = f(m, V)  E = C m V2, onde C = cte. Teorema de Buckingham O teorema dos p de Buckingham fornece as relações entre os parâmetros dimensionais, para obter os parâmetros adimensionais.

Teorema dos p de Buckingham     Dado um problema físico onde a variável dependente é função de n-1 variáveis independentes, para o qual sabemos que existe uma relação do tipo : q1 = f(q2, q3, ... qn) ou também: g (q1, q2, q3, ... qn) = 0. O teorema p estabelece que : variáveis independentes relação funcional (desconhecida)     variável dependente Dada uma relação entre n variáveis da forma   g (q1, q2, q3, ... qn) = 0 estas n variáveis podem ser agrupadas em n-m razões adimensionais independentes, ou parâmetros p, expressados sob a forma funcional : G (p1, p2, ..., pn-m) = 0 ou p1 = H(p2, ..., pn-m) O número m é usualmente igual ao menor número de grandezas independentes (M, L, t, etc.) necessárias para especificar as dimensões das variáveis q1, q2, q3, ... qn.   NOTA : O teorema não prevê a forma funcional de G ou H. Ela pode ser determinada experimentalmente.

Determinação dos grupos p (6 passos)   1º Passo – Liste todos os parâmetros envolvidos Se nem todos os parâmetros pertinentes forem incluídos, uma relação será obtidas, mas não fornecerá a história completa. 2º Passo – Selecione um conjunto de dimensões fundamentais (primárias) P.ex. M, L, t 3º Passo – Liste as dimensões de todos os parâmetros os parâmetros em termos das dimensões primárias 4º Passo – Selecione da lista um número de parâmetros que se repetem, igual ao número de dimensões primárias, e incluindo todas as dimensões primárias 5º Passo – Estabeleça equações dimensionais combinando os parâmetros selecionados no passo 4 com cada um dos outros parâmetros a fim de formar grupos adimensionais (Haverá n-m equações) 6º Passo – Verifique, a fim de assegurar que cada grupo obtido é adimensional.

Símbolos e Dimensões em Mec. Flu. Quantidade Símbolo Dimensões Comprimento l L Tempo t T Massa m M Força F ML/T2 Velocidade V L/T Aceleração a L/T2 Freqüência w T-1 Gravidade g Área A L2

Símbolos e Dimensões em Mec. Flu. Quantidade Símbolo Dimensões Vazão Q L3/T Fluxo de massa M/T Pressão p M/LT2 Tensão t Massa específica r M/L3 Peso específico g M/L2T2 Viscosidade m M/LT Viscosidade cinemática n L2/T

Símbolos e Dimensões em Mec. Flu. Quantidade Símbolo Dimensões Trabalho W ML2/T2 Potencia, fluxo de calor ML2/T3 Tensão superficial s M/T2 Módulo da elasticidade volumétrica B M/LT2

Força de arrasto   Força de arrasto é a força que faz resistência ao movimento de um objeto sólido através de um fluido (um líquido ou gás). O arrasto é feito de forças de fricção (atrito), que agem em direção paralela à superfície do objeto (primariamente pelos seus lados, já que as forças de fricção da frente e de trás se anulam), e de forças de pressão, que atuam em uma direção perpendicular à superfície do objeto (primariamente na frente e atrás, já que as forças de pressão se cancelam nas laterais do objeto).

Capítulo I - Introdução A força de arrasto arrasto Fa velocidade V  = densidade do meio A = área “frontal” Ca = coeficiente de arrasto

O coeficiente de arrasto Capítulo I - Introdução O coeficiente de arrasto AV2 tem dimensão de força Ca = Fa / (½ AV2) é adimensional Ca só pode depender de quantidades sem dimensão Em um fluido incompressível (V<<Vsom) a única quantidade adimensional é o número de Reynolds: Ca = f (Re) D = dimensão característica (diâmetro da bola), μ = viscosidade do meio

Como foi obtido o Coeficiente de Arrasto? Capítulo I - Introdução Como foi obtido o Coeficiente de Arrasto? Análise dimensional

Usando a análise dimensional, chegamos à relação : onde f1 pode ser determinada experimentalmente e Re é um parâmetro chamado número de Reynolds.   Variando o número de Reynolds Re = rVD/m N vezes, obtemos N pontos da relação anterior, variando só, por exemplo, a velocidade. As outras variáveis não são alteradas (r, D e m constantes).

Parâmetros Adimensionais Comuns

Significado Físico Escoamento nos quais a queda pressão é significativa Escoamento influenciados por efeitos viscosos Escoamento influenciados pela gravidade:escoamento de superfície livre

Significado Físico Compressibilidade importante V >0,3c Componente não permanente se repete periodicamente A tensão superficial influencia o escoamento

Escoamentos Semelhantes Estudos em Modelos   Para que haja similaridade entre o protótipo e o modelo devem ser atendidas as seguintes condições Semelhança geométrica Semelhança cinemática Semelhança dinâmica

Semelhança   Ø   Semelhança geométrica

Semelhança   Ø   Semelhança cinemática

Semelhança     Ø   Semelhança dinâmica