Análise Dimensional e Semelhança Dinâmica Mecânica dos Fluidos Análise Dimensional e Semelhança Dinâmica

Análise Dimensional É um meio para simplificação de um problema físico empregando a homogeneidade dimensional para reduzir o número das variáveis de análise;

Análise Dimensional A análise dimensional é particularmente útil para: Apresentar e interpretar dados experimentais; Resolver problemas difíceis de atacar com solução analítica; Estabelecer a importância relativa de um determinado fenômeno; Modelagem física.

Análise Dimensional Dimensões Primárias:

Dimensões de Grandezas Derivadas: Símbolo Dimensão Geometria Área A L2 Volume V L3 Cinemática Velocidade U LT-1 Velocidade Angular ω T-1 Vazão Q L3T-1 Fluxo de massa m MT-1 Dinâmica Força F MLT-2 Torque T ML2T-2 Energia E Potência P ML2T-3 Pressão p ML-1T-2 Propriedades dos Fluidos Densidade ρ ML-3 Viscosidade µ ML-1T-1 Viscosidade Cinemática v L2T-1 Tensão superficial σ MT-2 Condutividade Térmica k MLT-3θ Calor Específico Cp,Cv L2T-2 θ-1 Dimensões de grandezas derivadas:

Análise Dimensional Parâmetros Adimensionais: São extremamente importantes na correlação de dados experimentais; São cinco: Coeficiente de Pressão; Número de Reynolds; Número de Froude; Número de Weber; Número de Mach.

Análise Dimensional Coeficiente de Pressão: Relação entre Pressão estática e Pressão Dinâmica

Análise Dimensional Número de Reynolds: Relação entre Forças de Inércia e Forças Viscosas; Um número de Reynolds “crítico” diferencia os regimes de escoamento laminar e turbulento em condutos na camada limite ou ao redor de corpos submersos;

Análise Dimensional Número de Froude: Relação entre Forças de Inércia e Peso; Nos escoamentos com superfície livre a natureza do escoamento (torrencial ou fluvial) depende do número de Froude ser maior ou menor que a unidade; É útil nos cálculos de ressalto hidráulico, no projeto de estruturas hidráulicas e no projeto de navios;

Análise Dimensional Número de Weber: Relação entre Forças de Inércia e Forças de Tensão Superficial; É importante no estudo das interfaces gás-líquido ou líquido-líquido e também onde essas interfaces estão em contato com um contorno sólido;

Análise Dimensional Número de Mach: Relação entre Forças de Inércia e Forças Elásticas; É uma medida da relação entre a energia cinética do escoamento e a energia interna do fluido; É o parâmetro mais importante quando as velocidades são próximas ou superiores à do som;

Semelhança Problemas em Engenharia (principalmente na área de Térmica e Fluidos) dificilmente são resolvidos aplicando-se exclusivamente análise teórica; Utilizam-se com freqüência estudos experimentais; Muito do trabalho experimental é feito com o próprio equipamento ou com réplicas exatas; Porém, a maior parte das aplicações em Engenharia são realizadas utilizando-se modelos em escala.

Sem planejamento e organização, os procedimentos experimentais podem: Semelhança Sem planejamento e organização, os procedimentos experimentais podem: Consumir muito tempo; Não ter objetividade; Custarem muito.

Semelhança Utilização de Modelos em escala: Vantagens econômicas (tempo e dinheiro); Podem ser utilizados fluidos diferentes dos fluidos de trabalho; Os resultados podem ser extrapolados; Podem ser utilizados modelos reduzidos ou expandidos (dependendo da conveniência);

Semelhança Para ser possível esta comparação entre o modelo e a realidade, é indispensável que os conjuntos de condições sejam FISICAMENTE SEMELHANTES; O termo SEMELHANÇA FÍSICA é um termo geral que envolve uma variedade de tipos de semelhança: Semelhança Geométrica Semelhança Cinemática Semelhança Dinâmica

Semelhança Geométrica Semelhança de forma; A propriedade característica dos sistemas geometricamente semelhantes é que a razão entre qualquer comprimento no modelo e o seu comprimento correspondente é constante; Esta razão é conhecida como FATOR DE ESCALA.

Semelhança Geométrica Deve-se lembrar que não só a forma global do modelo tem que ser semelhante como também a rugosidade das superfícies deveria ser geometricamente semelhante; Muitas vezes, a rugosidade de um modelo em escala reduzida não pode ser obtida de acordo com o fator de escala – problema de construção/de material/de acabamento das superfícies do modelo.

Semelhança Cinemática Semelhança cinemática é a semelhança do movimento, o que implica necessariamente semelhança de comprimentos (semelhança geométrica) e semelhança de intervalos de tempo; Exemplo de semelhança cinemática: Planetário. O firmamento é reproduzido de acordo com um certo fator de escala de comprimento e, ao copiar os movimentos dos planetas, utiliza-se uma razão fixa de intervalos de tempo e, portanto, de velocidades e acelerações.

Semelhança Dinâmica Semelhança É a semelhança das forças; Dois sistemas são dinamicamente semelhantes quando os valores absolutos das forças, em pontos equivalentes dos dois sistemas, estão numa razão fixa;

Origens das Forças que determinam o comportamento dos Fluidos: Semelhança Dinâmica Origens das Forças que determinam o comportamento dos Fluidos: Forças devido à diferenças de Pressão; Forças resultantes da ação da viscosidade; Forças devido à tensão superficial; Forças elásticas; Forças de inércia; Forças devido à atração gravitacional.

Força de Tensão Superficial Semelhança Dinâmica Grupo Adimensional Nome Razão das Forças representadas Símbolo habitual UL  Número de Reynolds Força de Inércia Força Viscosa Re _U_ (Lg)1/2 Número de Froude Força da gravidade Fr U L 1/2  Número de Weber Força de Tensão Superficial We U C Número de Mach Força Elástica M

Exemplos de estudos em modelos Semelhança Dinâmica Exemplos de estudos em modelos Ensaios em túneis aero e hidrodinâmicos Escoamento em condutos; Estruturas hidráulicas livres; Resistência ao avanço de embarcações; Máquinas hidráulicas;

Exercício 1 Verificar a homogeneidade dimensional da equação que exprime o teorema de Bernoulli aplicável a fluidos reais ao longo de uma trajetória: em que p é a pressão a que se processa o escoamento, ν é a sua velocidade, z é a cota geométrica, g é a aceleração da gravidade, γ é o peso volumétrico do fluido, t é o tempo e J é o trabalho das forças resistentes por unidade de peso de fluido e por unidade de percurso.

Exercício 2 Para o ensaio em modelo reduzido de um fenômeno que dependa exclusivamente da gravidade, utilizando-se o mesmo líquido no modelo e no protótipo, determine as escalas das seguintes grandezas, em função da escala dos comprimentos: a) velocidade; b) tempo; c) aceleração; d) caudal; e) massa; f) força; g) energia; h) potência.

Exercício 3 A lei de resistência ao escoamento de água sob pressão em regime turbulento, no interior de uma tubagem circular, pode ser expressa pela fórmula de Manning-Strickler: Os valores de n, dependentes da rugosidade da tubagem, encontram-se numa tabela, devendo, para a sua aplicação, as grandezas da fórmula de Manning-Strickler ser expressas em unidades inglesas. Apresente esta fórmula de forma a manter-se válida para um sistema genérico, em que as unidades de comprimento e de tempo sejam respectivamente l e t, continuando a utilizar os valores de n da tabela referida. Particularize para o caso de aquelas unidades serem o metro e o segundo.

Exercício 4 Efetuaram-se experiências em laboratório para obter as características de resistência de um navio em relação à onda (depende somente da gravidade) que se vai opôr ao seu deslocamento. Calcule: a) a que velocidade se deverá fazer o ensaio no modelo à escala geométrica 1/25 para que a velocidade real correspondente seja de 40 kmh-1; b) a resistência para o protótipo se, no modelo reduzido, for medido o valor de 5 N; c) o período da vaga no protótipo sendo o seu valor de 3 s no modelo.

Exercício 5 Para estudar um escoamento variável construiu-se um modelo à escala geométrica de 1/10. Usa-se água no protótipo e sabe-se que as forças de viscosidade são dominantes. Determine a escala dos tempos e das forças em condições de semelhança hidráulica se: a) usar água no modelo; b) usar um óleo cinco vezes mais viscoso que a água e cuja massa volumétrica é 80% da água.