Transformações Geométricas

Transformações Lineares (espelhamento) x´ y x y P´ = P = y´ P´ P x´ = -1.x y´ = y x x y -1 1 x´ y´ =

Transformações Lineares (rotação) x y P = x´ y´ P´ q x´ = x.cos q - y.sen q y´ = x.sen q + y.cos q x´ cos q x y -sen q = y´ sen q cos q

Transformações Lineares (rotação .vs. mudança de base) x y P = x´ y´ P´ q y v x y u v P = ou - q x u x y cos q u v = sen q -sen q u x y ux uy = v vy vx

Vantagens das coordenadas homogêneas (Translação) y P’ x’ x y tx ty P’ = = + y’ tx ty P t = x w y x’ y’ 1 1 tx ty x y 1 x’ y’ t P’ = = = x w=1 yh [T] xh Matriz de Translação

Coordenadas homogêneas y x y 1 wx wy w xh yh w x y = D = D P = = P x x = xh /w w>0 y = yh /w yh xh w w=1 x y Ex.: 3 2 1 6 4 2 9 6 3 3 2 = D = D =

Concatenação x y x0 y0 a y y0 x0 x y y a x x

Concatenação de Transformações x y x y T1 x y x y T2 R1 x y x y R2 E P’= T2 R2 E R1 T1 P

Vantagens das coordenadas homogêneas (pontos no infinito) w H1 w 2 3 u = y w=1 C1 H2 = C2 C3 x u H3 w=1 yh uh H1 H2 H3 H4 uh xh 2 3 2 3 1 2 3 1/2 2 3 1/4 2 3 . . . 2 3 = ? C1 C2 C3 C4 infinito na direção (2,3) 1 1.5 2 3 4 6 8 12

Vantagens das coordenadas homogêneas (pontos no infinito, exemplo) 3 1 -2 A B C D x y O 1 -1 2 A’ B’ C’ D’ x y O’ infinito -1 1 2 3 1 -2 1 1 3 1 -2 2 1 4 2 2 1 J J = = = 3 1 -2 1 1 3 1 -2 2 4 2 J -1 = -1 J -2 = -2 = -1 1 1 1 2 1

Efeito de profundidade x x y y

Simplificação da projeção cônica Projeção ortográfica eye plano de projeção direção de projeção plano de projeção

Geometria Projetiva e Coordenadas Homogêneas em 3D z x y xh yh zh w x y z 1 m11 m12 m13 m14 m21 m22 m23 m24 m31 m32 m33 m34 m41 m42 m43 m44 = P’ = x’ y’ z’ xh /w yh/w zh/w P x y z =

Transformações em 3D (translações e escalas) y x’ y’ z’ 1 1 tx x 1 ty y x = 1 tz z z 1 1 x’ y’ z’ 1 sx x sy y = sz z 1 1

Transformações em 3D (Rotações) x’ y’ z’ 1 1 x x y cos qx -sen qx y = qy sen qx cos qx z 1 1 qx x’ y’ z’ 1 cos qy sen qy x qz z 1 y = -sen qy cos qy z 1 1 x’ y’ z’ 1 cos qz -sen qx x sen qx cos qx y = 1 z 1 1

Transformações em 3D (rotação em torno de um eixo qualquer) y’ z’ 1 m11 m12 m13 x m21 m22 m23 y z 1 = m31 m32 m33 z 1 v = (vx, vy, vz) m11 = vx2 + cosq (1- vx2) m12 = vxvy(1-cosq ) - vz sen q m13 = vzvx(1-cosq ) + vy sen q m21 = vxvy(1-cosq ) + vz sen q m22 = vy2 + cosq (1- vy2) m23 = vyvz(1-cosq ) - vx sen q m31 = vxvz (1-cosq ) - vy sen q m32 = vyvz(1-cosq )+ vx sen q m22 = vz2 + cosq (1- vz2) y x