Parâmetros Geométricos de Câmeras Realidade Aumentada Cooperativa Marcelo Gattass

Parâmetros da câmera Calibração de câmeras: Extrínsecos ou externos Localização e orientação da câmera Intrínsecos ou internos Definem a relação entre um ponto em coordenadas da câmera e o pixel Calibração de câmeras: estimativas destes parâmetros.

Câmera segue um modelo simples caixa filme objeto pinhole raios de luz imagem Câmera plano de projeção centro de projeção Projeção cônica

Objetos distantes aparecem pequenos

Linhas paralelas se encontram

Notação y' yc p’ zc x' xc

(X,Y,Z)T (x’,y’)T(xim,yim)T yc y' eixo óptico zc y0 x' oc xc x0 f xim yim y' vista lateral yc oy zc fovy h pixels x' oc ox xim f w pixels

(xim,yim)T (x’,y’)T yim y’ x’ xim sx p' sy oy o ox Verificando: 3 2 1 xim 1 ox 2 3 4 5 Verificando:

(X,Y,Z)T  (xim,yim)T

Parâmetros intrínsecos com cisalhamento

Parâmetros intrínsecos com distorção radial Projeção cônica, distância focal: f Transformação câmera para imagem: Deformação radial:

Um caso mais simples valor médio Projeção ortigráfica seguida de escala

Parâmetros extrínsecos xc yc zc Pc t yw xw zw Pw Outras notações:

Parâmetros extrínsecos Translação –Tx, Ty, Tz (3 g.l.) Rotação (3 g.l.)

Formulações para rotação 90° + 90°

Velocidade de rotação B B’ B’ B A

Re-escrevendo de forma matricial

Produto vetorial aplicado 2 vezes

Rotações finitas em torno dos eixos cartesianos y qy x qx qz z

Rotações não comutam.

Yaw-Pitch-Rol x z y

Ângulos de Euler Transforma x-y-z em x’-y’-z’ em 3 passos Rotação de f em torno eixo z Rotação de q em torno do eixo x Rotação de y em torno do eixo z’

Ângulos de Euler Transforma x-y-z em x’-y’-z’ em 3 passos Rotação de f em torno eixo z Rotação de q em torno do eixo x Rotação de y em torno do eixo z’

z y x

Composição com sistema local móvel xL yL TL x y x,xL y,yL x yL y xL R p3= R p e p2 = TL p3  p2 = R T R-1 R p p2 = R T p ou x T R y p1= T p e p2 = R p1  p2 = R T p

Ângulos de Euler na ordem x,y,z qz y y y qy qx x x x

Problemas com ângulos de Euler: Gimbal lock

Ângulos de Euler Gimbal lock z z z qz y y y qy=90o qx x x x

Interpolação não gera posições “entre”

Algebra da rotação em torno de um eixo unitário ê z y x

Rotação em torno de um eixo ê z y x

A coluna da matriz é a transformada dos vetores da base

Matriz da rotação em torno de um eixo ê  y x

Matriz de rotação em torno de um eixo

Demonstração de:

Transformações em 3D (rotação em torno de um eixo qualquer) y’ z’ 1 m12 m22 m32 m13 m23 m33 y z x = m11 m21 m31 z  m11 = ex2 + cosq (1- ex2) m12 = exey(1-cosq ) - ez sen q m13 = ezex(1-cosq ) + ey sen q m21 = exey(1-cosq ) + ez sen q m22 = ey2 + cosq (1- ey2) m23 = eyez(1-cosq ) - ex sen q m31 = exez (1-cosq ) - ey sen q m32 = eyez(1-cosq )+ ex sen q m22 = ez2 + cosq (1- ez2) y x

Fórmula de Rodrigues 1

Fórmula de Rodrigues 2

Quatérnios e rotações Dada uma rotação definida por um eixo ê e um ângulo  construímos o quatérnio unitário: Dado um ponto qualquer p do R3 construímos o quatérnio: Calculamos o produto:

Demonstração …

Modelo de câmera do livro

Linearização do problema Neglecting radial distortion

Casos particulares

Problema yim oy ox xim y' yc zc x' 1000 vista lateral fovy 480 oc zc 1000 fovy oy xim yim 480 ox w pixels x' y'