ALGUMAS MEDIDAS ASSOCIADAS A VARIÁVEIS QUANTITATIVAS No item anterior vimos uma forma de organizar e representar uma massa de dados. No entanto, muitas vezes deseja-se resumir ainda mais os dados, apresentando um ou mais valores da série toda. Estas medidas podem ser divididas em: medidas de posição e de dispersão.

MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE DISPERSÃO MÉDIA MEDIANA MODA QUARTIS, DESCIS, PERCENTIS. VARIÂNCIA DESVIO PADRÃO COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

MÉDIA ARITMÉTRICA –Dados Não Agrupados MEDIDAS DE POSIÇÃO MÉDIA ARITMÉTRICA –Dados Não Agrupados A média aritmética, conceito familiar ao leitor, é a soma das observações dividida pelo número delas. A média aritmética é representada através de dois símbolos:  para população e Y para a amostra. É importante esta distinção pois a média da população () possui valor fixo, não sujeito à variação, enquanto que a média da amostra (Y) é uma variável dependente de quantas diferentes amostras foram retiradas da população. Cada amostragem tende a ter diferentes valores de média. A média tem a mesma unidade dos dados avaliados. Medidas como a média, mediana e moda são denominadas parâmetros quando estas caracterizam populações e estatísticas no caso de amostras.

MÉDIA ARITMÉTRICA –Dados Agrupados MEDIDAS DE POSIÇÃO MÉDIA ARITMÉTRICA –Dados Agrupados Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de freqüência usa-se a média aritmética dos valores ponderados pelas respectivas freqüências absolutas. Onde: Χi é o centro da classe n número total de dados

MEDIDAS DE POSIÇÃO MÉDIA GERAL Sejam 1, 2, 3, as médias aritméticas de k séries de dados e n1, n2, n3 os números de termos das k series, respectivamente. A média aritmética da série será:

MÉDIA GEOMÉTRICA Usada principalmente para variáveis que crescem em progressão geométrica como por exemplo, o número de bactérias em um colônia. Sejam x1, x2, x3, valores de Xi, associados às freqüências absolutas F1, F2, F3, respectivamente. A Média Geométrica (Mg) é definida por:

MÉDIA HARMÔNICA Sejam x1, x2, x3, valores de Xi, associados às freqüências absolutas F1, F2, F3, respectivamente. A média harmônica (Mh) será: Mh =

MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIANA Uma alternativa como medida de tendência central é a mediana. A mediana é a realização que ocupa a posição central da série de observações quando estas estão ordenadas segundo suas grandezas (crescente ou decrescente). Geometricamente, a mediana é o valor de X (abscissa) correspondente à vertical que divide o histograma em duas partes de áreas iguais. É mais usada quando os dados apresentam distribuição assimétrica

MEDIANA A mediana é denominada resistente de posição de uma distribuição. Para ilustrar esta resistência, observemos os dados a seguir: 5, 7, 8, 10, 12, 15 Dos quais obtemos média 9,5 e mediana 9,0. Suponha, agora, que modifiquemos o valor 15, que passa a ser 150. Obtemos, então, média 32 enquanto a mediana não se altera.

Mediana para variáveis discretas Assim, se as cinco observações de uma variável discreta forem 3, 4, 7, 8 e 8, a mediana é o valor 7, correspondente à terceira observação. Quando o número de observações é par, usa-se como mediana a média aritmética das duas observações centrais. Assim, se as observações de uma variável são 3, 4, 7, 8, 8 e 9, a mediana é:   Md= 7,5

Mediana variável discreta Exemplo somatório de dados impar Xi Fi Fac 1 2 3 4 5 9 11  - N=11, logo: a mediana será o valor 11+1/2 = 6 elemento. Contêm o sexto elemento Valor 3

Mediana variável discreta Exemplo somatório de dados par Xi Fi Fac 82 5 85 10 15 87 30 89 8 38 90 4 42  - N=42, logo: a mediana será o valor entre 42/2 e (42/2)+1 = valor médio entre as ocorrências 21 e 22 Contem os elementos 21 e 22 Valor médio é 87

Mediana variável contínua 1 passo – calcula-se a ordem n/2 (independe se n é par ou impar); 2 passo- Pela freqüência acumulada identifica-se a classe que contém a mediana (classe Md); 3 passo – utiliza-se a fórmula Mediana = Onde: - limite inferior da classe da mediana; n - tamanho da amostra; - soma das freqüências; h – amplitude da classe da mediana; - freqüência da classe mediana

Mediana variável contínua Classe Fi Fac 35-45 5 45-55 12 17 55-65 18 35 65-75 14 49 75-85 6 55 85-95 3 58  - Passo 1 – 58/2 = 29 Passo 2 – Identifica-se a classe da Mediana ( 55-65) Passo 3 – aplicação da formula Classe do 29 elemento Mediana =

QUARTIS, DESCIS E PERCENTIS Quartis, descis e percentis são uma extensão do conceito de mediana. QUARTIS: são os valores que dividem o conjunto em quatro partes iguais. Estes valores, representados por Q1, Q2 e Q3 denominam-se primeiro, segundo e terceiro quartis, respectivamente, sendo o valor Q2 igual a mediana. DESCIS: são os valores que dividem os dados em dez partes iguais e são representados por D1, D2,.......D9. O quinto decil equivale à mediana. PERCENTIS: são os valores que dividem os dados em 100 partes iguais e são representados por P1, P2, ......P99. O qüinquagésimo percentil corresponde à mediana.

EXEMPLO DE UM HISTOGRAMA COM QUARTIS

Tem duas modas, 4 e 7 (bimodal) A Moda é definida como a realização mais freqüente do conjunto de valores observados, isto é, o valor mais comum. A moda pode não existir, e mesmo que exista, pode não ser única (bimodal, trimodal, multimodal), de acordo com os exemplos a seguir: 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18  moda 9 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16 Não tem moda 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9 Tem duas modas, 4 e 7 (bimodal)

Cálculo da moda para dados agrupados Passo 1: Identifica-se a classe modal (aquela que possuir maior freqüência) Passo 2: Aplica-se a fórmula Moda = Onde: - Limite inferior da classe modal; - diferença entre a freqüência da classe modal e a imediatamente anterior; - diferença entre a freqüência da classe modal e a imediatamente posterior; h – amplitude da classe

Cálculo da moda (dados agrupados) Classes 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5  Fi 3 10 17 8 5 43 Passo 1: identificação da classe modal. No caso, trata-se da classe (2-3). Passo 2: aplicação da formula. Moda =

EXERCÍCIOS De acordo com os dados da tabela, pede-se: Média Mediana Moda 33 35 39 41 42 45 47 48 50 52 53 54 55 57 59 60 61 64 65 66 67 68 69 71 73 74 76 77 78 80 81 84 85 88 89 91 94 97