Equações algébricas e transcendentais Aula 2 Estudo especial de equações polinomiais Regras para identificar raízes de funções; Teorema de Bolzano; Regra de Descartes; Cotas de Kojima e Fujiwara

Estudo especial de equações polinomiais Teorema Fundamental da Álgebra: “Se p 𝑥 é um polinômio de grau 𝑛≥1, ou seja, 𝑝 𝑛 𝑥 = 𝑎 0 +𝑎 1 𝑥+⋯+ 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 , onde 𝑎 0 , 𝑎 1 , ⋯, 𝑎 𝑛 são reais ou complexos, com 𝑎 𝑛 ≠0 então tem pelo menos um zero, ou seja, existe um número 𝜉 tal que 𝑝 𝜉 =0”

Regras para determinar raízes de funções Regra de Descartes: Seja o polinômio . Deseja-se determinar a quantidade de raízes reais e complexas de Pn(x). Um polinômio Pn(x) tem exatamente n raízes reais e complexas; se os coeficientes de P(x) são reais, as raízes complexas ocorrerão aos pares. A Regra de Descartes afirma que: Dado um polinômio com coeficientes reais, o número de zeros reais positivos “p” desse polinômio não excede o número “v” de variações de sinal dos coeficientes. Ainda mais, “v-p” é um inteiro par. Exemplo ...

Regras para determinar raízes de funções Para determinar o número de raízes reais negativas, tomamos 𝑝 𝑛 −𝑥 e usamos a Regra de Descartes para raízes positivas. Exemplo ...

Método de Horner Seja 𝑃 𝑥 = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 +⋯+ 𝑎 1 𝑥+ 𝑎 0 Se: 𝑏 𝑘 = 𝑎 𝑘 + 𝑏 𝑘+1 𝑥 0 , para 𝑘=𝑛−1, 𝑛−2,⋯,1,0 Então 𝑏 0 =𝑃( 𝑥 0 ). Além disso, se: Q 𝑥 = 𝑏 𝑛 𝑥 𝑛−1 + 𝑏 𝑛−1 𝑥 𝑛−2 +⋯+ 𝑏 2 𝑥+ 𝑏 1 Então, 𝑃 𝑥 = 𝑥− 𝑥 0 𝑄 𝑥 + 𝑏 0

Regras para determinar raízes de funções Teorema de Bolzano: Auxilia na determinação do número de raízes de um intervalo. Considere uma função contínua f definida num intervalo [a,b], tal que: Se f(a)f(b) > 0, existe um número par (0, 2, 4, ...) de raízes reais no intervalo. Se f(a)f(b) < 0, existe um número ímpar (1, 3, 5, ...) de raízes reais no intervalo. Se a f e sua derivada f ' são contínuas em [a,b] e se o sinal de f ' é constante então: se f(a)f(b) > 0, não existe raiz real em [a,b]. se f(a)f(b) < 0, existe uma única raiz real em [a,b];

Regras para determinar raízes de funções Exemplo: Indique, graficamente, o intervalo que contém a raiz real da função Solução: As raízes reais encontram-se no intervalo [-0,2;1] Figura1. Gráfico de f(x) = x2 - sen(x)

Teorema: “Se 𝑝 𝑛 𝑥 é um polinômio com coeficientes 𝑎 𝑘 , 𝑘=0,1,2,⋯,𝑛 então 𝑝 𝑛 𝑥 tem pelo menos um zero no interior do círculo centrado na origem e de raio igual a 𝑚𝑖𝑛 𝜌 1 , 𝜌 𝑛 . Sendo: 𝜌 1 =𝑛 𝑎 0 𝑎 1 e 𝜌 𝑛 = 𝑛 𝑎 0 𝑎 1 ” Exemplo ...

Teorema: “Se 𝑝 𝑛 𝑥 é um polinômio de grau n e se 𝑟≈1+𝑚𝑎𝑥 𝑚𝑎𝑥 0≤𝑘≤𝑛−1 𝑎 𝑘 𝑎 𝑛 . Então cada zero de 𝑝 𝑛 𝑥 se encontra na região circular definida por 𝑥 ≤𝑟 ” Exemplo ...

Regras para determinar raízes de funções 3. Regra da Lacuna: Esta regra serve para a avaliação de raízes complexas de um polinômio de grau n. Se os coeficientes de p(x) são todos reais e para algum valor k, 1  k < n existir: a) ak = 0 e ak-1 ak+1 > 0, então p(x) terá raízes complexas. b) dois ou mais coeficientes nulos sucessivos, então p(x) = 0 tem raízes complexas. Exemplo ...

Regras para determinar raízes de funções = Cota de Kojima e Fujiwara: Seja  uma raiz de p(x) = 0; então, pela cota de Fujiwara tem-se e = e pela de Kojima Observe que a cota de Kojima corresponde a uma melhor estimativa deste intervalo.

Exercícios   Use a regra de Descartes para inferir sobre as raízes de p(x) = 2x4 - 3x3 + 2x2 -3x +4. Enumerar e localizar as raízes de p(x) = 2x4 - 8x3 - x2 + 10x - 2 = 0. Localizar as raízes de p(x) = x5 + 2x4 - 9x3 - 5x2 + 10x - 2 utilizando a cota mais apropriada. Via gráfico indique as raízes de a) f(x) = x3 + e2x – 7 b) f(x) = x - e-2x c) f(x) = sen(x) - .

Fonte: Material do professor Dr. Régis Quadros; RUGIERO, Márcia A. G. & LOPES, Vera L. R. Cálculo Numérico aspectos Teóricos e Computacionais. 2. Ed. São Paulo, Makron Books do Brasil, 1996.