OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 03 DE SETEMBRO DE 2008

REVISÃO DE CAPÍTULOS ANTERIORES

ENGENHARIA DE PROCESSOS Área da Engenharia Química dedicada ao Projeto de Processos Químicos

 1.1 PROJETO DE PROCESSOS QUÍMICOS O conjunto de ações desenvolvidas Desde A decisão de se produzir um determinado produto químico Até Um plano bem definido para a construção e a operação da instalação industrial.   É um conjunto numeroso e diversificado de ações !!!

Calcular as dimensões dos equipamentos Calcular o consumo de matéria prima Calcular o consumo de utilidades Calcular o consumo dos insumos Calcular a vazão das correntes intermediárias Avaliar a lucratividade do processo Estabelecer o número e o tipo dos reatores Definir o número e o tipo dos separadores Definir o número e o tipo de trocadores de calor Estabelecer malhas de controle Definir o fluxograma do processo Investigar mercado para o produto Investigar disponibilidade das matérias primas Definir as condições das reações e identificar os sub-produtos gerados Investigar reagentes plausíveis SELEÇÃO DE ROTAS QUÍMICAS SÍNTESE ANÁLISE

1.3 SISTEMAS 1.3.3 Projeto Denominação genérica atribuída ao conjunto numeroso e diversificado de atividades associadas à criação de um sistema. Esse conjunto compreende dois sub-conjuntos que interagem: SÍNTESE (a) escolha de um elemento para cada tarefa. (b) definição da estrutura do sistema. ANÁLISE (a) previsão do desempenho do sistema. (b) avaliação do desempenho do sistema. PROJETO = SÍNTESE  ANÁLISE

MULTIPLICIDADE NA SÍNTESE Um problema com multiplicidade de soluções! Equipamentos disponíveis para a geração do fluxograma do Processo Ilustrativo RM Reator de mistura RT Reator tubular DS Coluna de destilação simples DE Coluna de destilação extrativa A Aquecedor R Resfriador T Trocador de Integração A Síntese consiste em combinar esses equipamentos formando todos os fluxogramas plausíveis em busca do melhor. Um problema com multiplicidade de soluções!

EXPLOSÃO COMBINATÓRIA !!!

MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE Cada par (x1,x2) é uma solução viável Problema: determinar o melhor par de valores Dificuldade: infinidade de soluções viáveis!

Multiplicidade de Soluções Solução Ótima Otimização 1.3 SISTEMAS 1.3.6 Otimização A multiplicidade de soluções, tanto na Síntese como na Análise, conduz ao conceito de Otimização. Exige a busca da  através da  Multiplicidade de Soluções Solução Ótima Otimização Nível Tecnológico: determinar a melhor rota química. Nível Paramétrico (Análise): determinar as dimensões ótimas de equipamentos e correntes. Nível Estrutural (Síntese): determinar a estrutura ótima. O Projeto de Processos é um problema complexo de otimização.

Decomposição, Representação e Resolução do Problema de Projeto por Busca Orientada por Árvore de Estados Raiz Rota Química ? Fluxograma ? Dimensões ? P ? ? ? A+B P+C A,B P,C ?? D+E P+F D,E P,F ?? Nível Tecnológico Seleção de uma Rota Fluxograma ? Dimensões ? 1 P A B C x ? T D 2 P A B C x ? T P 3 D E F x ? M P F 4 D E x ? M Nível Estrutural Síntese de um Fluxograma Dimensões ? Lucro? L x 6 x o = 3 x* 8 L x x o = 4 x* L 10 x x o = 6 x* L x 7 x o = 5 x* Nível Paramétrico Análise do Fluxograma Dimensionamento dos Equipamentos e das Correntes. Lucro. Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4

Solução do Problema de Projeto por Busca Orientada Raiz Rota Química ? Fluxograma ? Dimensões ? P ? ? ? D+E P+F D,E P,F ?? Nível Tecnológico Seleção de uma Rota Fluxograma ? Dimensões ? Vantagem Varre todas as soluções sem repetições sem omitir a ótima ? P 3 D E F x Nível Estrutural Síntese de um Fluxograma Dimensões ? Lucro? Desvantagem Explosão Combinatória (outros métodos) L x 4 10 Nível Paramétrico Análise do Fluxograma Dimensionamento dos Equipamentos e das Correntes. Lucro. Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4  demais dimensões.

INÍCIO DO CAPÍTULO 5

ORGANIZAÇÃO DA DISCIPLINA INTRODUÇÃO À SÍNTESE DE PROCESSOS 8 6 SÍNTESE DE SISTEMAS DE SEPARAÇÃO 7 SÍNTESE SISTEMAS DE INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA AVALIAÇÃO ECONÔMICA PRELIMINAR 4 ANÁLISE DE PROCESSOS 2 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3 ANÁLISE OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 5 FINALIDADE DO CAPÍTULO Apresentar alguns conceitos básicos de Otimização, o método analítico e métodos numéricos simples com aplicações em processos químicos.

Relembrando o Processo Ilustrativo W6 T*6 W10 T10 W13 T13 W11 T*11 W8 T*8 W*1 x*1,1 T*1 f1,1 f3,1 W7 T7 W5 T*5 W3 x1,3 T3 f1,3 f2,3 W4 x*1,4 T4 f1,4 f2,4 W12 T*12 W9 T*9 W14 T*14 W2 x12 T*2 f12 f32 EXTRATOR Extrato Rafinado EVAPORADOR CONDENSADOR RESFRIADOR MISTURADOR BOMBA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Vd Ae Ac Ar * r* Alimentação Produto Vapor Benzeno Água W15 T15 Condensado

Dimensionamento com G = 0 (solução única) INCÓGNITAS PARÂMETROS L AVALIAÇÃO ECONÔMICA Vd,Ae,Ac,Ar W4,W6,W8,W11,W14 MODELO MATEMÁTICO VARIÁVEIS ESPECIFICADAS W1 x1,1,x1,4 T1,T2,T5,T6,T8,T9,T11,T12,T14, r, 

Dimensionamento com G > 0 (otimização) INCÓGNITAS AVALIAÇÃO ECONÔMICA Vd,Ae,Ac,Ar W4,W6,W8,W11,W14 MODELO MATEMÁTICO VARIÁVEIS ESPECIFICADAS W1 x11,x14 T1,T2,T5,T6,T8,T11,T14,  Ausência de r, T9 e T12 na lista de Metas de Projeto VARIÁVEIS DE PROJETO L r,T9,T12 OTIMIZAÇÃO O módulo de Otimização arbitra sucessivos valores das variáveis de projeto até encontrar o valor máximo do Lucro.

Correspondência dos Capítulos com os Módulos Computacionais Resumo da Análise de Processos Correspondência dos Capítulos com os Módulos Computacionais AVALIAÇÃO ECONÔMICA 4 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 2 OTIMIZAÇÃO 5    MODELO ECONÔMICO Variáveis Especificadas Variáveis de Projeto Parâmetros Econômicos Parâmetros Físicos MODELO MATEMÁTICO Dimensões Calculadas Lucro OTIMIZAÇÃO

Dimensionar Extrator Simular Extrator Dimensionar Evaporador Simular Evaporador Dimensionar Condensador Simular Condensador Resolver Problema Dimensionar Resfriador Simular Resfriador Dimensionar Misturador Simular Misturador Dimensionar Processo Simular Processo Otimizar Processo Calcular Lucro

OTIMIZAÇÃO Ação de buscar a solução ótima de um problema Palavra com dois significados: Ação de buscar a solução ótima de um problema Campo da Matemática dedicado ao desenvolvimento de métodos de busca da solução ótima de um problema

Todo problema de Otimização encerra um conflito Comentário Todo problema de Otimização encerra um conflito A solução ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes.

A vazão ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes W kg B/h ? Q = 10.000 kgA/h rafinado y kg AB/kg B xo= 0,02 kg AB/kg A (extrato) x kgB/kgA EXTRATOR B: benzeno (solvente) A : água AB: ácido benzóico (soluto) Exemplo No extrator, a vazão de solvente afeta o Lucro de forma conflitante. Com o aumento da vazão: 10 20 30 40 50 60 - aumenta a recuperação de soluto. Logo, aumenta a Receita. R - aumenta o consumo de solvente. Logo, aumenta o Custo operacional. C L,R,C $/a L = R - C Vazão ótima  Lucro máximo Lo=15,6 Wo = 1.973,6 1000 2000 3000 4000 5000 6000 W kg/h Até à vazão ótima, a Receita cresce mais rapidamente e o Lucro aumenta. Após a vazão ótima, o Custo cresce mais rapidamente e o Lucro diminui. A vazão ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes

5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 5.1 Conceito de Otimização 5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável 5.3 Localização da Solução Ótima 5.4 Problemas e Métodos de Otimização 5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis. 5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis.

5.1 CONCEITO DE OTIMIZAÇÃO Do Capítulo 2: na resolução de qualquer problema: Graus de Liberdade G = V - N - E V : número de variáveis N : número de equações E: número de variáveis especificadas (E = C + M) C = condições conhecidas M = metas de projeto Em problemas de dimensionamento, ocorre uma das três situações: - metas estritamente suficientes  G = 0 solução única y x - metas insuficientes  G > 0 infinidade de soluções viáveis y x coincidentes - metas inconsistentes ou em excesso  G  0 solução impossível y x paralelas

Exemplo simples: dimensionamento de um extrator (a) Dimensionamento com x = 0,01 kgAB/kgA como meta Modelo Matemático: 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 W kg B/h ? Q = 10.000 kgA/h rafinado y kg AB/kg B xo= 0,02 kg AB/kg A extrato x = 0,01 kgAB/kgA EXTRATOR B: benzeno (solvente) A : água AB: ácido benzóico (soluto) Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 1 (solução única) G = 0 y = 0,04; W = 2.500 kg/h

(b) Dimensionamento com x = 0,01 kgAB/kgA e y = 0,03 kgAB/kgB como metas. W kg B/h ? Q = 10.000 kgA/h rafinado y = 0,03 kg AB/kg B xo= 0,02 kg AB/kg A extrato x = 0,01 kgAB/kgA EXTRATOR B: benzeno (solvente) A : água AB: ácido benzóico (soluto) Modelo Matemático: 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Identidade! Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 2 G = - 1 (metas em excesso) Metas incompatíveis na (Eq.2): o valor de y compatível com x = 0,01 é 0,04. solução impossível!

Insuficiência de metas gera graus de liberdade (c) Dimensionamento sem especificação de metas W kg B/h ? Q = 10.000 kgA/h rafinado y kg AB/kg B xo= 0,02 kg AB/kg A extrato x kgB/kgA EXTRATOR B: benzeno (solvente) A : água AB: ácido benzóico (soluto) Modelo Matemático: 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 0 G = 1 (infinidade de soluções) Neste caso (G > 0) é imperioso buscar a melhor de todas as soluções: Otimização  Solução Ótima Insuficiência de metas gera graus de liberdade

5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 5.1 Conceito de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável 5.3 Localização da Solução Ótima 5.4 Problemas e Métodos de Otimização 5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis. 5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis. 5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização

5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO Todo problema de otimização exibe os seguintes elementos, qualquer que seja a sua área de aplicação. 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável

5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) São as variáveis manipuladas pelo método de otimização durante a busca da solução ótima. Na Engenharia de Processos são chamadas de Variáveis de Projeto. VARIÁVEIS DE PROJETO L r,T9,T12 OTIMIZAÇÃO INCÓGNITAS AVALIAÇÃO ECONÔMICA Vd,Ae,Ac,Ar W4,W6,W8,W11,W14 MODELO MATEMÁTICO VARIÁVEIS ESPECIFICADAS W1 x11,x14 T1,T2,T5,T6,T8,T11,T14,  Resultam da liberdade conferida ao projetista pela insuficiência de metas de projeto O módulo de Otimização arbitra sucessivos valores das variáveis de projeto até o Lucro alcançar o seu valor máximo.

Sistema consistente indeterminado (infinidade de soluções) Exemplo x1 x2 x3 x4c x5c x6m x7 1 2 3 V = 7 C = 2 y x coincidentes E = 3 N = 3 M = 1 G = V – E – N = 7 - 3 - 3 = 1 Metas insuficientes, incógnitas em excesso Sistema consistente indeterminado (infinidade de soluções)

A variável escolhida é denominada variável de projeto. G = V – E – N = 7 - 3 - 3 = 1 Para se obter uma das soluções, é preciso especificar uma das 4 incógnitas. x1 x2 x3 x4c x5c x6m x7 1 2 3 Não havendo imposições, o projetista tem a liberdade de escolher essa incógnita. Por exemplo: x7. x4c x5c x1 x2 x3 x6m x7p 1 2 3 A variável escolhida é denominada variável de projeto. O critério de escolha se baseia na minimização do esforço computacional, abordado no Capítulo 3 (Algoritmo de Ordenação de Equações).

Sem imposições, o projetista também tem a liberdade de escolher o valor da variável de projeto. A cada valor corresponde uma solução viável e um valor para o Lucro. Se a variável for contínua, haverá uma infinidade de soluções viáveis (indeterminado). x1 x2 x3 x4c x5c x6m x7p 1 2 3 Ele deve escolher o valor que corresponde ao Lucro Máximo (solução ótima). Qualquer outro valor atribuído como meta produziria uma solução pior do que a ótima.

As variáveis de projeto são escolhidas dentre as não-especificadas. W kg B/h Q = 10.000 kgA/h rafinado y kg AB/kg B xo= 0,02 kg AB/kg A extrato x kgB/kgA Exemplo: otimização do extrator Modelo Matemático 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Balanço de Informação V = 5, N = 2, C = 2, G = 1 (candidatas: x, y, W)

Qualquer escolha resulta na solução ótima Variável de Projeto: W 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Variável de Projeto: x 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 xo* 1 y x W 2 Q* xo* 1 y x W 2 Q* Wo = 1.972,3 xo = 0,01118 yo = 0,04472 Lo = 15,6 $/h xo = 0,01118 yo = 0,04472 Wo = 1.972,3 Lo = 15,6 $/h 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 0,022 10 20 30 40 50 60 L,R,C $/a x kgAB/kg A L C R xo = 0, 01118 Lo = 15,6 R C 10 20 30 40 50 60 L,R,C $/a Lo=15,6 1000 2000 3000 4000 5000 6000 W kg/h Wo = 1.973,6 L = R - C

Qualquer escolha resulta na solução ótima Mas a escolha afeta o esforço computacional envolvido na otimização Variável de Projeto: W 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Variável de Projeto: x 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 xo* 1 y x W 2 Q* xo* 1 y x W 2 Q* Escolha infeliz ! Sequência de cálculo cíclica Otimização com cálculo iterativo Escolha feliz ! Ciclo aberto por x (o mesmo p/ y) Sequência de cálculo acíclica: 2. y = k x 1. W = Q (xo - x)/y O Algoritmo de Ordenação de Equações conduz à escolha acertada

5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO São os elementos presentes em qualquer problema de otimização, independentemente da área de aplicação. 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Função Objetivo 5.2.3 Restrições 5.2.4 Região Viável 5.2.2 Critério Devem ser identificados e analisados antes de se iniciar a resolução do problema

Minimização do Custo (produção fixa  Receita constante) A busca da solução ótima tem que ser norteada por um critério. O critério mais comum é econômico: 5.2.2 Critério 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 L 100 200 300 400 500 Maximização do Lucro x7o 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 L 100 200 300 400 500 R C Minimização do Custo (produção fixa  Receita constante) x7o

Outros critérios adotados: segurança e controlabilidade. 7 x p m 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 L 100 200 300 400 500 Outros critérios adotados: segurança e controlabilidade. A solução ótima segundo um critério pode não ser a ótima segundo um outro critério. Por exemplo: a solução mais econômica pode não ser a mais segura. E vice-versa. Dois ou mais critérios podem ser utilizados simultaneamente com pesos diferentes (otimização com objetivos múltiplos)

5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO São os elementos presentes em qualquer problema de otimização, independentemente da área de aplicação. 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.5 Restrições 5.2.5 Região Viável 5.2.3 Função Objetivo

5.2.3 Função Objetivo É a expressão matemática do critério de otimização descrita em termos das variáveis físicas do problema. Pode assumir formas das mais simples às mais complexas. A sua caracterização é fundamental para a resolução do problema de otimização. Pode ser classificada quanto à: (a) Continuidade: contínua, contínua com descontinuidade na derivada, descontínua ou discreta. (b) Modalidade: unimodal, multimodal. (c ) Convexidade: côncava ou convexa.

5.2.3 Função Objetivo (a) Continuidade Função Contínua Função Contínua com descontinuidade na derivada Função Descontínua Função Discreta

Função Unimodal em 2 Dimensões Função Unimodal em 1 Dimensão 5.2.3 Função Objetivo (b) Modalidade Função Unimodal em 2 Dimensões Função Unimodal em 1 Dimensão

5.2.3 Função Objetivo (b) Modalidade Função Bimodal em 1 Dimensão Função Bimodal em 2 Dimensões Função Bimodal em 1 Dimensão

y[(1-a) x1 + a x2] > (1-a) y(x1) + a y(x2) 5.2.3 Função Objetivo (c ) Convexidade (funções univariáveis) y y[(1-a) x1 + a x2] 0,5 0,4 (1-a) y(x1) + a y(x2) 0,3 0,2 0,1 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 x1 x2 0  a  1 (1-a)x1+ ax2 x Função côncava: o valor dado pela função é superior ao dado pela reta. y[(1-a) x1 + a x2] > (1-a) y(x1) + a y(x2)

y[(1-a) x1 + a x2] < (1-a) y(x1) + a y(x2) 5.2.3 Função Objetivo (c ) Convexidade (funções univariáveis) y 0,5 0,4 0,3 (1-a) y(x1) + a y(x2) 0,2 0,1 y[(1-a) x1 + a x2] 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 x2 x1 x 0  a  1 (1-a)x1+ ax2 Função convexa: o valor dado pela função é inferior ao dado pela reta. y[(1-a) x1 + a x2] < (1-a) y(x1) + a y(x2)

Concavidade (negativa) e Convexidade (positiva) de funções univariáveis podem ser determinadas pela segunda derivada da função no ponto extremo.

Os Valores Característicos são as raízes desta equação. 5.2.3 Função Objetivo (c ) Convexidade (funções multivariáveis) Para funções multivariáveis, a convexidade encontra-se relacionada aos seus Valores Característicos, que são as raízes da sua Equação Característica. Exemplo: para uma função qualquer de duas variáveis, existem: Matriz Hessiana: Equação Característica: 2 – (f11 + f22)  + (f11f22 – f12f22) = 0 Os Valores Característicos são as raízes desta equação.

5.2.3 Função Objetivo (c ) Convexidade (funções multivariáveis) Ilustração: Funções Quadráticas

positiva semi-definida estritamente convexa convexa estritamente côncava côncava ponto de sela  1 , 2 H ( x ) f ( > 0 , > 0 positiva definida = 0 positiva semi-definida < 0, < 0 negativa definida negativa semi-definida indefinida

3.7 Dimensionamento Desprezada a solubilidade do benzeno em água. Sistema isotérmico (To = Ts = T = 25 oC; k = 4). Q* = 10.000 kgA/h xo*= 0,02 kg AB/kg A rafinado x1 * = 0,015 kgAB/kgA W1 kg B/h ? y1 kg AB/kg B ? extrato W1 kg B/h Q = 10.000 kgA/h y2 kg AB/kg B ? W2 kg B/h x2 * = 0,008 kgAB/kg A W2 kg B/h ? 1 2 alimentação Modelo Físico 1. Q* (xo* - x1 *) - W1 y1 = 0 2. y1 - k x1 * = 0 3. Q * (x1 * - x2 *) - W2 y2 = 0 4. y2 - k x2 * = 0 Balanço de Informação V = 8, N = 4, C = 2, M = 2 G = 0 (solução única)

5.6 Dimensionamento/Otimização Desprezada a solubilidade do benzeno em água. Sistema isotérmico (To = Ts = T = 25 oC; k = 4). rafinado x1 kgAB/kg A ? W1 kg B/h ? y1 kg AB/kg B ? extrato Q = 10.000 kgA/h y2 kg AB/kg B ? W2 kg B/h ? x2 kgAB/kgA ? Q* = 10.000 kgA/h xo*= 0,02 kg AB/kg A 1 2 alimentação Modelo Físico: 1. Q* (xo* - x1) - W1 y1 = 0 2. y1 - k x1 = 0 3. Q* (x1 - x2) - W2 y2 = 0 4. y2 - k x2 = 0 Balanço de Informação: V = 8, N = 4, C = 2, M = 0 G = 2 (otimização)

Exemplo de Função Não-Quadrática (Lucro de 2 extratores em série) 1 x d cx b a L - = Aplica-se a mesma classificação

5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO São os elementos presentes em qualquer problema de otimização, independentemente da área de aplicação. 5.2.1 Variáveis de Decisão 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.5 Região Viável 5.2.4 Restrições

5.2.3 Restrições São os limites impostos pelas leis naturais ou estabelecidos às variáveis do processo. Há dois tipos de restrições: (a) restrições de igualdade : h(x) = 0 São as equações do próprio modelo matemático. (b) restrições de desigualdade: g (x)  0 São os limites impostos às Variáveis de Projeto

A presença de restrições pode alterar a solução de um problema Enunciado Formal de um Problema de Otimização Exemplo: otimização do extrator Min f(x) Função Objetivo x Variável de Projeto s.a.: g(x)  0 Restrições de desigualdade h(x) = 0 Restrições de Igualdade Max L(x) = R – C {x} s.a.: g(x) = x - xo  0 h1 (x) = Q (xo - x) - W y = 0 h2 (x) = y - k x = 0 W kg B/h Q = 10.000 kgA/h rafinado y kg AB/kg B xo= 0,02 kg AB/kg A extrato x kgB/kgA A presença de restrições pode alterar a solução de um problema

(a) Restrições de Igualdade (solução sobre a curva) g2(x) = x1  0 g3(x) = x2  0 Solução Irrestrita: A Solução Restrita : B

Solução Irrestrita: A Solução Restrita : B Máximo Local: C g2(x) = x1  0 g3(x) = x2  0

Solução Irrestrita: A Solução Restrita : B (restrições compatíveis) g2(x) = x1  0 g3(x) = x2  0

Solução irrestrita: A Solução restrita: impossível ( restrições incompatíveis) g2(x) = x1  0 g3(x) = x2  0

(b) Restrições de Desigualdade (fronteira e interior de regiões) 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x2 1.0 0,8 0,6 0,4 B A g x 1 2 25 ( ) , = + -  Solução irrestrita: A Solução restrita : B g2(x) = x1  0 g3(x) = x2  0

g x 1 2 25 ( ) , = + -  Solução irrestrita: A Solução restrita : A 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x2 x1 1.0 0,8 0,6 0,4 B A g x 1 2 25 ( ) , = + -  Solução irrestrita: A Solução restrita : A g2(x) = x1  0 g3(x) = x2  0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x2 x1 0,4 0,6 0,8 A g2(x) g1(x) B Solução irrestrita: A Solução restrita : B g3(x) = x1  0 g4(x) = x2  0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x2 x1 0,4 0,6 0,8 A g1(x) g2(x) C Solução irrestrita: A Solução restrita : C g3(x) = x1  0 g4(x) = x2  0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x2 x1 0,4 0,6 0,8 A g1(x) g2(x) Solução irrestrita: A Solução restrita : A g3(x) = x1  0 g4(x) = x2  0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x2 x1 0,4 0,6 0,8 A g1(x) g2(x) Solução impossível Restrições incompatíveis g3(x) = x1  0 g4(x) = x2  0

5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO São os elementos presentes em qualquer problema de otimização, independentemente da área de aplicação. 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável

Região do espaço delimitada pelas restrições de igualdade e de 5.2.4 Região Viável Região do espaço delimitada pelas restrições de igualdade e de desigualdade à qual se restringe a busca da solução ótima. h(x) = 0 g(x)  0 x1 x2 x3 Max f(x) {x} s.a.: h(x) = 0 g(x)  0 Busca restrita ao interior da elipse (restrição de desigualdade g(x)  0) que se encontra sobre o plano (restrição de igualdade h(x) = 0)

A convexidade garante a convergência dos métodos de otimização 5.2.4 Região Viável Convexidade 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x 2 1 g (x) 3 A B Região Convexa Qualquer par de pontos pode ser unido por uma reta totalmente contida na região. A convexidade garante a convergência dos métodos de otimização

permanece contida na região 5.2.4 Região Viável Convexidade 2 1 g (x) x (x 2) 4  = + - 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 x 2 1 g (x) 3 B A Região Não - Convexa A reta que une A e B não permanece contida na região

Restrições podem ser lineares: x1 – 0,02  0 x2 – x1  0

5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 5.1 Conceito de Otimização 5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável 5.4 Problemas e Métodos de Otimização 5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis. 5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis. 5.3 Localização da Solução Ótima

Máximos (M) e Mínimos (m) locais e globais 5.3 Localização da Solução Ótima Localização de valores extremos na faixa x1  x  x2 5 10 15 20 1 2 3 4 x f(x) m M x1 x2 Pontos estacionários, descontinuidades das derivadas e fronteiras do intervalo. Máximos (M) e Mínimos (m) locais e globais

• Condição necessária de primeira ordem: 5.3 Localização da Solução Ótima Condição para a otimalidade SEM restrição: • Condição necessária de primeira ordem: Para que x* seja um mínimo (ou máximo) local da função f(x), diferenciável em x*, é necessário que: f(x*) = 0 • Condição necessária de segunda ordem: Para que x* seja um mínimo local da função f(x), duas vezes diferenciável em x*, é necessário que a condição de primeira ordem seja satisfeita e que a matriz Hessiana H(x*) = 2f(x*) seja positiva semi-definida (ou negativa semi-definida para máximo).

• Condição suficiente de segunda ordem: Condição para a otimalidade SEM restrição: • Condição suficiente de segunda ordem: Seja f(x) duas vezes diferenciável em x* tal que: f(x*) = 0 e H(x*) seja positiva definida então x* é um mínimo local estrito de f (ou máximo se negativa definida).

• Condição necessária de primeira ordem de Karush-Kuhn-Tucker (KKT): Condição para a otimalidade COM restrição: • Condição necessária de primeira ordem de Karush-Kuhn-Tucker (KKT): Para que x* seja um ótimo local do problema com restrições, com f(x), g(x), e h(x) diferenciáveis em x*, é necessário que: os gradientes das restrições de desigualdade ativas, g(x*), e das restrições de igualdade, h(x*), sejam linearmente independentes, e que as seguintes condições sejam satisfeitas: xL(x*, λ*, μ*) = S(x*) + (λ*)T h(x*) + (μ*)T g(x*) = 0 h(x*) = 0 g(x*) ≤ 0 μj* gj(x*) = 0 , j = 1, 2, ..., p (condições de complementaridade) μ* ≥ 0

• Condição necessária de segunda ordem de KKT: Condição para a otimalidade COM restrição: • Condição necessária de segunda ordem de KKT: Para que x* seja um mínimo local do problema com restrições, com f(x), g(x), e h(x) duas vezes diferenciáveis em x*, é necessário que a condição de primeira ordem de KKT seja satisfeita e, que a matriz Hessiana da função de Lagrange, x2L(x*, λ*, μ*), seja positiva semi-definida para todo vetor não nulo d tal que: dT hi(x*) = 0 , i = 1, 2, ..., m dT gj(x*) = 0 para as gj(x*) ativas isto é, dT x2L(x*, λ*, μ*) d ≥ 0.

5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 5.1 Conceito de Otimização 5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável 5.3 Localização da Solução Ótima 5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis. 5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis. 5.4 Problemas e Métodos de Otimização

5.4 PROBLEMAS E MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO À luz dos conceitos apresentados os problemas de otimização podem ser classificados: (a) Quanto ao número de variáveis: - Univariáveis ou Multivariáveis (b) Quanto à presença de restrições: - Irrestritos ou Restritos Os métodos de resolução podem ser classificados: (a) Quanto à natureza: - Analítico: localiza os pontos estacionários pelo cálculo das derivadas da função objetivo. - Numéricos: buscam os pontos estacionários por tentativas. (b) Quanto ao tipo de informação utilizada: - Diretos: utilizam apenas o valor da função objetivo. - Indiretos: utilizam, também, os valores das suas derivadas.

5.4 PROBLEMAS E MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO (a) Quanto ao número de variáveis: univariáveis ou multivariáveis (b) Quanto à presença de restrições: restritos ou irrestritos. Métodos: (a) Quanto à natureza: analíticos ou numéricos (b) Quanto ao tipo de informação utilizada: diretos ou indiretos. Com base nessa informação, pode-se formular diversos planos para um estudo sistemático de Otimização.

5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 5.1 Conceito de Otimização 5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável 5.3 Localização da Solução Ótima 5.4 Problemas e Métodos de Otimização 5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis 5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis

5.5 MÉTODO ANALÍTICO 5.5.1 Problemas univariáveis Exemplo: dimensionamento do extrator W kg B/h Q = 10.000 kgA/h rafinado y kg AB/kg B xo= 0,02 kg AB/kg A extrato x kgB/kgA Modelo Matemático: 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 (k = 4) Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 0 G = 1 (otimização) Avaliação Econômica: L = R - C R = pAB W y C = pB W pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB

Seqüência de Cálculo x y W 1 * * * 2 * * x y W 1 x x o 2 x o 1 * * * 2 * * x y W 1 x x o 2 x o 2. y = k x 1. W = Q (xo - x)/y  Restrições de Igualdade !!!

Incorporando a L às Restrições de Igualdade ordenadas : Função Objetivo: L = R - C = pAB W y - pB W Incorporando a L às Restrições de Igualdade ordenadas : 2. y = k x 1. W = Q (xo - x)/y = + a Q p x k AB o B ( ) 105 b 4000 c Qx , 5 L = a - b x - c/x

Busca do ponto estacionário: L = a - b x - c/x 60 Busca do ponto estacionário: x b dL dx c o = - + || 2 01118 , 50 Solução completa do problema: 40 R yo = 0,04472 kg AB/kg B; Wo = 1.972,3 kgB/h; Ro = 35,3 $/h; Co = 19,7 $/h; Lo = 15,6 $/h C L,R,C 30 $/a 20 L o = 15,6 Máximo! L 10 x o =0, 01118 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 0,022 x kgAB/kg A

5.5 MÉTODO ANALÍTICO 5.5.2 Problemas multivariáveis Exemplo: dimensionamento de 2 extratores em série 1 2 Q = 10.000 kgA/h x = 0,02 kgAB/kgA o W kgB/h y kgAB/kgB x kgAB/kgA Modelo Matemático 1. Q(xo - x1) - W1 y1 = 0 2. y1 - k x1 = 0 3. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 0 4. y2 - k x2 = 0 Avaliação Econômica L = R - C R = pAB (W1 y1 + W2 y2 ) C = pB (W1 + W2) pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB Balanço de Informação: V = 8; N = 4; C = 2; G = 2 (otimização)

5.5 MÉTODO ANALÍTICO 5.5.2 Problemas multivariáveis W1 x1 y1 W2 x2 y2 1 * * * 2 * * 3 * * * * 4 * * Modelo Matemático 1. Q (xo - x1) - W1 y1 = 0 2. y1 - k x1 = 0 3. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 0 4. y2 - k x2 = 0 Modelo Matemático 2. y1 = k x1 4. y2 = k x2 3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2 1. W1 = Q (xo - x1)/ y1 W1 x1 y1 W2 x2 y2 1 o x x 2 x o 3 x o x x 4 x o

Incorporando as Restrições de Igualdade à Função Objetivo L 2. y1 = k x1 4. y2 = k x2 3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2 1. W1 = Q (xo - x1)/ y1 L = R – C R = pAB (W1 y1 + W2 y2 ) C = pB (W1 + W2) L = a – b/x1– cx2 – d x1/x2 a = pAB Q xo + 2 pB Q / k = 130; b = pB Q xo/ k = 0,5; c = pAB Q = 4000; d = pB Q / k = 25 Buscando o ponto estacionário: L/x1 = b/x12 – d/x2 = 0 x1o = (b2/cd)1/3 = 0,01357 x2o = (d/b) x12 = 0,00921 L/x2 = - c + dx1/x22 = 0 Solução completa: y1o = 0,05428 kgAB/kgB; W1o = 1.184 kgB/h y2o = 0,03684 kgAB/kgB; W2o = 1.184 kgB/h Co = 23,68 $/h; Ro = 43,15 $/h; Lo = 19,47 $/h

det(H - I) = 0  1 = -0,258106 e 2 = -1,011106 Analisando o ponto estacionário: L/x1 = b/x12 – d/x2 = 0 x1o = (b2/cd)1/3 = 0,01357 x2o = (d/b) x12 = 0,00921 L/x2 = - c + dx1/x22 = 0 det(H - I) = 0  1 = -0,258106 e 2 = -1,011106 Máximo!

1 2 Q = 10.000 kgA/h xo = 0,02 kgAB/kgA W1 = 1.184 kgB/h W2 = 1.184 kgB/h x1 = 0,01357 kgAB/kgA x2 = 0,00921 kgAB/kgA y1 = 0,05428 kgAB/kgA y2 = 0,03824 kgAB/kgA Estágio 1 2 Total Soluto Recup. kg/h 64,28 43,62 107,90 Solv. Consum. kg/h 1.184 1.184 2.368 Lucro $/a 13,87 5,61 19,48

0,020 0,018 4,0 2,0 8,0 0,016 6,0 0,014 10 16 14 0,012 X 19,5 18 0,010 0,00921 2 0,008 0,006 12 0,004 0,01357 0,002 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 X 1

3.7 Dimensionamento Desprezada a solubilidade do benzeno em água. Sistema isotérmico (To = Ts = T = 25 oC; k = 4). Q* = 10.000 kgA/h xo*= 0,02 kg AB/kg A rafinado x1 * = 0,015 kgAB/kgA W1 kg B/h ? y1 kg AB/kg B ? extrato W1 kg B/h Q = 10.000 kgA/h y2 kg AB/kg B ? W2 kg B/h x2 * = 0,008 kgAB/kg A W2 kg B/h ? 1 2 alimentação Modelo Físico 1. Q* (xo* - x1 *) - W1 y1 = 0 2. y1 - k x1 * = 0 3. Q * (x1 * - x2 *) - W2 y2 = 0 4. y2 - k x2 * = 0 Balanço de Informação V = 8, N = 4, C = 2, M = 2 G = 0 (solução única)

Dimensionamento: x1* = 0,015 e x2* = 0,008 2,0 4,0 6,0 8,0 10 12 14 16 18 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,002 0,004 0,006 0,008 0,012 0,014 0,016 0,018 X 2 1 17,8 19,5

OTIMIZAÇÃO SIMULTÂNEA x SEQUENCIAL O Método Analítico foi aplicado às duas variáveis de projeto simultaneamente, surgindo um sistema de duas equações que foi resolvido. Alternativamente, poder-se-ia pensar em decompor o problema em dois sub-problemas univariáveis: otimizar o primeiro estágio e utilizar o valor ótimo x1o na alimentação e otimização do segundo. Neste caso, a solução obtida não é a solução ótima do problema!

( ) ( ) L p kx a b c k 105 4. 000 5 0111803 15 56 = - + . , $ / L p kx Q * x o W y ( ) L p kx a b c k ab 105 4. 000 5 0111803 15 56 = - + . , $ / Q * x W y 2 1 ( ) L p kx a b c k ab o 69 72 4 000 2795 008359 84 = - + , . $ /

1 2 Q = 10.000 kgA/h xo = 0,02 kgAB/kgA W1 = 1.972 kgB/h W2 = 843 kgB/h x2 = 0,008359 kgAB/kgA y1 = 0,04472 kgAB/kgA y2 = 0,03344 kgAB/kgA x1 = 0,01118 kgAB/kgA Estágio 1 2 Total Soluto Recup. kg/h 64,28 28,21 116,41 Solv. Consum. kg/h 1.972 843 2.815 Lucro $/a 15,56 2,84 18,40

A solução ótima é aquela obtida pela otimização simultânea Solução Simultânea Estágio 1 2 Total Soluto Rec. kg/h 64,28 43,62 107,90 Solv. Cons. kg/h 1.184 1.184 2.368 Lucro $/a 13,87 5,61 19,48 Solução Seqüencial Estágio 1 2 Total Soluto Rec. kg/h 88,20 28,21 116,41 Solv. Cons. kg/h 1.972 843 2.815 Lucro $/a 15,56 2,84 18,40 Na solução seqüencial, o primeiro estágio ignora o segundo: solução irrestrita. O segundo estágio é otimizado sob a restrição imposta pelo primeiro: solução restrita. A solução ótima é aquela obtida pela otimização simultânea

Restrição de Igualdade: x1 – 0,01118 = 0

Problemas Restritos [hi(x) , gi(x)] Método dos Multiplicadores de Lagrange 1. Formar o Lagrangeano do problema: L(x, , , ) = f(x) +  i hi (x) +  j [gj(x) + j2] i , j : multiplicadores de Lagrange (ou de Kuhn-Tucker) i : variável de folga (distância de um ponto interior à fronteira da restrição; transforma desigualdade em igualdade) 2. Localizar os pontos estacionários do Lagrangeano. 3. Analisar as soluções obtidas à luz das restrições.

Exemplo:. Min f(x) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2. s. a Exemplo: Min f(x) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2 s.a.: g1 (x) = x12 + x22 – 0,25  0 g2 (x) = x1  0 g3 (x) = x2  0 0,5 restrição curvas de nível da função objetivo 1 x1 x2

Exemplo:. Min f (x) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2. s. a Exemplo: Min f (x) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2 s.a.: g1 (x) = x12 + x22 – 0,25  0 g2 (x) = x1  0 g3 (x) = x2  0 Formar o Lagrangeano: Considerar apenas g1(x) e depois eliminar valores negativos de x1 e x2 L (x, , ) = f(x) +  i hi (x) +  j [gj(x) + j2] L (x, , ) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2 +  [x12 + x22 – 0,25 + 2]

x L (x, , ) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2 +  [x12 + x22 – 0,25 +  2] L / x1 = 2 x1 – 2 + 2  x1 = 0  x1 = 1/(1 + ) (1) L / x2 = 2 x2 – 2 + 2  x2 = 0  x2 = 1/(1 + ) (2) L /  = x12 + x22 – 0,25 +  2 = 0 (3) L /   = 2   = 0 (4) A Eq. (4) é satisfeita para:  = 0 (solução irrestrita): (1)  x1 = 1 ; (2)  x2 = 1 (viola a restrição!)  = 0 (folga zero, fronteira da região): (1) e (2) em (3)  x1 = x2 = 0,35  = 0,74 x 1 2 curvas de nível da função objetivo 0,5 restrição

Exercício: Min f (x) = x1 x2 s.a.: g1 (x) = x12 + x22 – 25  0 Encontrar os pontos estacionários deste problema, pelo método da relaxação Lagrangeana, e analisá-los segundo os critérios de KKT

5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 5.1 Conceito de Otimização 5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável 5.3 Localização da Solução Ótima 5.4 Problemas e Métodos de Otimização 5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis. 5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis

5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS São métodos de busca por tentativas. Os métodos podem ser: - Diretos: utilizam apenas o valor da Função Objetivo. - Indiretos: utilizam também o valor da(s) derivada(s) da Função Objetivo (menor números de tentativas mas o esforço computacional é maior). Os pesquisadores buscam desenvolver métodos que atendam às seguintes propriedades: - Eficiência: resolver o mesmo problema com menor esforço. - Robustez: resolver uma variedade maior de problemas.

Exemplo: Dimensionamento de um trocador de calor 5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS 5.6.1 Problemas Univariáveis Exemplo: Dimensionamento de um trocador de calor W 1 = 1.000 lb/h T = 200 oF 2 = 100 oF W3 lb/h ? T3 = 60 oF T4 oF FLUXOGRAMA A ?

Modelo Matemático Balanço de Informação: V = 9; N = 4; C = 3; M = 1; G = 1 (otimização) Avaliação Econômica

x 100 40 140 ln b a C ú ù ê é - + = x ln ) ( mb a dx dC ú û ù ê ë é + Ordenando as equações resulta T4 como Variável de Projeto. Incorporando as Restrições de Igualdade à Função Objetivo CT e definindo x = T4 - T3: 48 , T x 100 40 140 ln b a C ú ù ê é - + = Tentando o Método Analítico: 1 m * 2 3 T x ln ) ( mb a dx dC - ú û ù ê ë é + = Impossível explicitar x  Método Numérico de Otimização !!!

Métodos de Estreitamento do Intervalo Viável Suposição básica: unimodalidade da Função Objetivo (a) a Função Objetivo é calculada em determinados pontos do intervalo viável. (b) a partir dos valores calculados e da suposição de unimodalidade, elimina-se a parte do intervalo em que o ponto extremo não pode estar (reduzido o intervalo viável, de incerteza). (c) o intervalo viável vai sendo estreitado sucessivamente a cada iteração até se tornar menor do que uma tolerância pré-estabelecida Os métodos diferem quanto ao número e ao critério de colocação dos pontos.

Exemplos para Problemas de Máximo Dois experimentos por ciclo Três experimentos por ciclo

Eliminação de 50% do intervalo

Método da Seção Áurea Utiliza dois pontos posicionados de forma a manter: (a) simetria em relação aos limites do intervalo (b) fração eliminada constante

Base: Retângulo Áureo (esteticamente perfeito, segundo os gregos) Método da Seção Áurea Base: Retângulo Áureo (esteticamente perfeito, segundo os gregos) 1 e

Base: Retângulo Áureo (esteticamente perfeito, segundo os gregos) Método da Seção Áurea Base: Retângulo Áureo (esteticamente perfeito, segundo os gregos) Propriedade: removendo um quadrado de lado igual ao lado menor, 1 e 1- resulta um outro retângulo com as mesmas proporções do retângulo original  Razão Áurea

Algoritmo da Seção Áurea Iniciar Repetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto Convergiu Delta  Tolerância

Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto Iniciar Repetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto L s x i F L i x s F Problema de Mínimo Eliminação de Região Problema de Máximo Eliminação de Região Atualiza  Tolerância ? Novo Ponto F s Atualiza  Tolerância ? Novo Ponto L i s x F F i L i x s F L x x L i s i s Inicialização D = L - L s i x = L + 0,618 D i i 0,618 D x = L - 0,618 D s s 0,618 D

W 1 = 1.000 lb/h T = 200 oF 2 = 100 oF W3 lb/h ? T3 = 60 oF T4 oF FLUXOGRAMA A ? 48 , T x 100 40 140 ln b a C ú ù ê é - + = x = T4 - 60

Minimização do Custo do Trocador de Calor Tolerância: 1,4 oF (1% do intervalo inicial) i s N L x F D 2 53,48 247,5467 86,52 259,8506 140 3 53,48 247,5467 86,52 33,05 260,7956 4 33,05 53,48 247,5476 86,52 53,47 66,09 248,7572 5 33,05 53,48 247,5476 66,09 33,04 45,67 249,6361 6 45,67 53,48 247,5476 66,09 20,42 58,29 247,4314 7 53,48 58,29 247,4314 66,09 12,61 61,27 247,7315 8 53,48 58,29 247,4314 61,27 7,79 56,46 247,3838 9 53,48 56,46 247,3838 58,29 4,81 55,32 247,4099 10 55,32 56,46 247,3638 58,29 2,97 57,16 247,3892 11 55,32 56,46 247,3638 57,16 1,84 56,02 247,3836 56,02 56,46 247,3638 57,16 1,14 xo = 56,46  T4o = 116,46  Ao = 17 ft2  W3o = 1.770 lb/h

xo = 56,46  T4o = 116,46  Ao = 17 ft2  W3o = 1.770 lb/h. W3 = 1.770 lb/h T3 = 60 oF T4 = 116,5 oF FLUXOGRAMA A = 17 ft2

5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS 5.6.2 Problemas Multivariáveis Alguns métodos diretos: - Busca Aleatória - Busca por Malhas - Busca Secionada - Simplex (Poliedros Flexíveis) - Hooke & Jeeves Procedimento Geral: (a) seleção de um ponto inicial (base). (b) exploração da vizinhança da base para inferir uma direção de busca. (c) progressão na direção de busca até decisão em contrário. (d) finalização Os métodos diferem quanto à forma de executar a exploração e a progressão.

Método de Hooke & Jeeves ALGORITMO Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável Escolher uma Base Repetir Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo) Se houve Sucesso em alguma direção Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso Senão (proximidade do ótimo): Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar Senão: reduzir os incrementos

? + 2 ? - 1 ? + 1 Base ? - 2 Exploração Testar a Função Objetivo em cada sentido (incrementos + i e - i) de cada direção (xi) ao redor da Base. Do resultado, depreender a direção provável do ótimo ? + 2 ? - 1 ? + 1 Base ? - 2 A Exploração não pode ser interrompida sem que todas as direções tenham sido testadas.

Funções unimodais: o sucesso num sentido dispensa o teste no outro. Exploração Funções unimodais: o sucesso num sentido dispensa o teste no outro. S: Sucesso I: Insucesso S + 2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,1 0,3 0,5 y x S - 1 Sucesso Base I - 2 desnecessário buscando máximo

Exploração O Sucesso numa tentativa justifica a mudança da Base para a nova posição. A Exploração continua a partir desta melhor posição. S + 2 S - 1 Base I - 2

Seguem-se todos os resultados possíveis da Exploração em 2 dimensões

x2 Direção x1 Unimodalidade: dispensa + 1 Direção x2 Unimodalidade: dispensa + 2 Sucesso: deslocar a Base - 1 10 Base 15 - 2 18 Sucesso: deslocar a Base Direção provável do ótimo x1

x2 Direção provável do ótimo Direção x1 Unimodalidade: dispensa + 1 18 Sucesso: deslocar a Base Direção x2 + 2 Sucesso: deslocar a Base - 1 10 Base 15 - 2 12 Insucesso: permanece na Base x1

Direção x1 x2 Unimodalidade: dispensa + 1 Direção x2 13 Insucesso: permanecer na Base + 2 Direção provável do ótimo Sucesso: deslocar a Base - 1 10 Base 15 - 2 12 Insucesso: permanecer na Base x1

x2 Direção x1 Direção x2 Unimodalidade: dispensa + 2 Sucesso: deslocar a Base - 1 +1 10 Base 15 7 Insucesso: permanecer na Base - 2 Sucesso: deslocar a Base 18 Direção provável do ótimo x1

Direção provável do ótimo x2 Direção x1 Sucesso: deslocar a Base 18 Direção x2 + 2 - 1 +1 Sucesso: deslocar a Base 10 Base 15 7 Insucesso: permanecer na Base - 2 12 Insucesso: permanecer na Base x1

x2 Direção x1 Insucesso: permanecer na Base 11 Direção x2 + 2 Sucesso: deslocar a Base - 1 +1 10 Base 15 7 Insucesso: permanecer na Base - 2 Direção provável do ótimo Insucesso: permanecer na Base 12 x1

x2 Direção x1 Direção x2 Unimodalidade: dispensa + 2 10 Base - 1 +1 Insucesso: permanecer na Base 7 8 Insucesso: permanecer na Base - 2 Sucesso: deslocar a Base 15 Direção provável do ótimo x1

Direção provável do ótimo x2 Direção x1 Sucesso: deslocar a Base 15 Direção x2 + 2 - 1 +1 Insucesso: permanecer na Base Insucesso: permanecer na Base 7 10 8 Base - 2 Insucesso: permanecer na Base 9 x1

x2 Direção x1 Insucesso: permanecer na Base 5 Direção x2 + 2 - 1 +1 Insucesso: permanecer na Base Insucesso: permanecer na Base 7 10 8 Base - 2 Insucesso: permanecer na Base 9 A Base deve estar próxima do ótimo ! x1

Progredir com duplo incremento até ocorrer um Insucesso Método de Hooke & Jeeves : Fase de Progressão 22 Insucesso! Permanecer na Base (25) Progredir com duplo incremento até ocorrer um Insucesso x2 + 2 2 +2 1 Sucesso! Mover a Base. Continuar a Progressão 25 Exploração a partir da Base (25) com 1 e 2 . + 2 2 +2 1 15 +1 10 Base + 2 18 Resultado da Exploração x1

Senão: reduzir os incrementos Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar A Base estará suficientemente próxima para ser declarada como o ótimo? Se todos os incrementos estiverem menores do que as tolerâncias, SIM!: Finalizar Se algum deles estiver maior, então este deve ser reduzido à metade. Inicia-se uma nova Exploração à volta da Base com os novos incrementos

Senão: reduzir os incrementos Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar x2 9 - 1 7 - 2 +1 10 Base + 2 5 8 + 1 - 1 + 2 - 2 1 > 1 e 2 > 2 : ainda não chegou ao ótimo : 1 = 1 /2 , 2 = 2 /2 x1

1 < 1 e 2 < 2 : a Base pode ser considerada o Ponto Ótimo Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar x2 + 1 - 2 + 2 8 - 1 7 - 2 +1 10 Base + 2 9 5 1 < 1 e 2 < 2 : a Base pode ser considerada o Ponto Ótimo x1

Método de Hooke & Jeeves ALGORITMO Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável Escolher uma Base Repetir Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo) Se houve Sucesso em alguma direção Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso Senão: (proximidade do ótimo) Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar Senão: reduzir os incrementos

Funções Unimodais O método converge sempre para o único extremo independentemente da base inicial. Os incrementos iniciais afetam apenas o número de tentativas.

Funções Multimodais O método pode convergir para extremos locais diferentes dependendo da base inicial e dos incrementos iniciais selecionados. (a) partindo de bases iniciais diferentes pode-se alcançar extremos locais diferentes com os mesmos incrementos iniciais. (b) partindo de uma mesma base inicial pode-se alcançar extremos locais diferentes com incrementos iniciais diferentes f (x) = (x12 + x2 – 11)2 + (x22 + x1 – 7)2

Método dos poliedros flexíveis É um método de busca multivariável (J.A. Nelder e R. Mead, 1964, também chamado de Simplex), onde o pior vértice de um poliedro com n + 1 vértices é substituído por um novo vértice colinear com o vértice antigo e o centróide. Centróide: onde xh,j é o pior vértice.

Método dos poliedros flexíveis O algoritmo envolve quatro operações de busca, que para o caso da minimização da função objetivo têm as seguintes formas: onde é o melhor vértice. Expansão Reflexão Contração Redução

Método dos poliedros flexíveis O critério usado por Nelder e Mead para terminar a busca é o seguinte:

DIMENSIONAMENTO POR SIMULAÇÕES SUCESSIVAS EMPREGADO POR “SOFTWARES” COMERCIAIS Empregam, para dimensionamento, os módulos ordenados para simulação. Mas exige um procedimento de otimização: função objetivo (a ser minimizada): diferença, em valor absoluto, entre os valores obtidos para as variáveis de saída e os valores estipulados como metas variáveis de projeto: as dimensões dos equipamentos

Exemplo: Extrator FO = |x – 0,008| T oC W = 3.750 kgB/h rafinado y = 0,032kg AB/kg B r = 0,60 extrato Q* = 10.000 kgA/h xo*= 0,02 kg AB/kg A To oC Ts oC x* = 0,008 kgAB/kg A alimentação solvente Normal Simulações Sucessivas T oC W = ??? kgB/h rafinado y = kg AB/kg B extrato W = kgB/h Q* = 10.000 kgA/h xo*= 0,02 kg AB/kg A To oC Ts oC x = ??? kgAB/kg A alimentação solvente FO = |x – 0,008|

Por Seção Áurea, 0 < W < 1.000  W = 3.750 Exemplo: Extrator T oC W = ??? kgB/h rafinado y = kg AB/kg B extrato W = kgB/h Q* = 10.000 kgA/h xo*= 0,02 kg AB/kg A To oC Ts oC x = ??? kgAB/kg A alimentação solvente FO = |x – 0,008| Simulações Sucessivas 1. Q(xo – x) – W y = 0 2. y – k x = 0 x = Q xo / (Q + k W ) Por Seção Áurea, 0 < W < 1.000  W = 3.750

Exemplo: Trocador de Calor Normal T1* = 80 oC W1* = 30.000 kg/h A = 265,6 m2 T 2* = 25 oC W3 = 44.000 kg/h T3* = 15 oC T4* = 30 oC Simulações Sucessivas T1* = 80 oC W1* = 30.000 kg/h A T 2* ??? W3 T3* = 15 oC T4* = ??? T2 = T1 – Q/W1Cp1 T4 = T3 + Q/W3Cp3 Por Hooke&Jeeves 0 < A < 1.000 0 < W3 < 100.000

MATERIAL COMPLEMENTAR

Subsídio para o Problema 5.10: divisão de correntes Q WCpQ = 10 kW/oC F2 WCpF2 = 7 kW/oC 2 1 F1 WCpF1 = 5 kW/oC T1* = 180 oC T8* = 170 oC T7* = 100oC T6* = 117,2 oC T4* = 102,4 oC T5* = 60oC x ? 1-x T3 ? T2 ?

Balanço de Informação G = 1 Modelo Matemático Q WCpQ = 10 kW/oC F2 WCpF2 = 7 kW/oC 2 1 x ? - x F1 WCpF1 = 5 kW/oC T1* = 180 oC T2 ? T3 ? T8* = 170 oC T7* = 100oC T6* = 117,2 oC T4* = 102,4 oC T5* = 60oC Q1 = WF1 (T6 - T5) Q1 = WQ x (T1 – T2) Q2 = WF2 (T8 - T7)  Q2 = WQ (1 – x) (T1 – T3) Balanço de Informação G = 1 Variável de Projeto: x Função Objetivo Max LE = aR – b(Cmp + Cutil) – c ISBL

Balanço de Informação G = 1 Modelo Matemático Q WCpQ = 10 kW/oC F2 WCpF2 = 7 kW/oC 2 1 x ? - x F1 WCpF1 = 5 kW/oC T1* = 180 oC T2 ? T3 ? T8* = 170 oC T7* = 100oC T6* = 117,2 oC T4* = 102,4 oC T5* = 60oC Q1 = WF1 (T6 - T5) Q1 = WQ x (T1 – T2) Q2 = WF2 (T8 - T7)  Q2 = WQ (1 – x) (T1 – T3) Balanço de Informação G = 1 Variável de Projeto: x Função Objetivo Max LE = aR – b(Cmp + Cutil) – c ISBL Min C = A10,65 + A20,65

Resolução: Seção Áurea Modelo Matemático Q WCpQ = 10 kW/oC F2 WCpF2 = 7 kW/oC 2 1 x ? - x F1 WCpF1 = 5 kW/oC T1* = 180 oC T2 ? T3 ? T8* = 170 oC T7* = 100oC T6* = 117,2 oC T4* = 102,4 oC T5* = 60oC Q1 = WF1 (T6 - T5) Q1 = WQ x (T1 – T2) Q2 = WF2 (T8 - T7)  Q2 = WQ (1 – x) (T1 – T3) Função Objetivo Min C = A10,65 + A20,65 Resolução: Seção Áurea Limites de x T2 = T1 - Q1 / x WQ > T5  xi = Q1 / WQ (T1 - T5) T3 = T1 - Q2 / WQ (1 - x) > T7  xs = 1 - Q2 / WQ (T1 - T7)

Q WCpQ = 10 kW/oC F2 WCpF2 = 7 kW/oC 2 1 x = 0,74 F1 WCpF1 = 5 kW/oC T1* = 180 oC T2 = 70oC T3 = 113,8 oC T8* = 170 oC T7* = 100oC T6* = 117,2 oC T4* = 102,4 oC T5* = 60oC Solução T3 = T1 - Q2 / WQ (1 - x) > T7  xs = 1 - Q2 / WQ (T1 - T7) T2 = T1 - Q1 / x WQ > T5  xi = Q1 / WQ (T1 - T5) Limites de x

Vazão de cada fluido refrigerante? Problema 5.12 Resfriar uma corrente com 3 fluidos refrigerantes que vaporizam a T constante. Vazão de cada fluido refrigerante? t2 = - 22 oF t3 = - 70 oF t1 = 15 oF to*= 50 oF Wo* = 10.000 lb/h T1* = 0 oF T2* = - 40 oF T3* = - 80 oF W1 lb/h ? W2 lb/h ? W3 lb/h ?

Modelo Matemático para cada Trocador i Q W C t i o p - = ( ) 1 Q UA i - = d i t T - = ln 1 d Q W i - = l t2 = - 22 oF t3 = - 70 oF t1 = 15 oF to*= 50 oF W1 lb/h ? W2 lb/h ? W3 lb/h ? Wo* = 10.000 lb/h T1* = 0 oF T2* = - 40 oF T3* = - 80 oF O custo de cada trocador é dado por ($/h)