Seções cônicas: parábola

Seções cônicas Parábola Uma parábola é o lugar geométrico dos pontos em um plano cujas distâncias a um ponto fixo F (foco) e a uma reta fixa d (diretriz) são iguais. O ponto médio do segmento FD (distância entre F e d) é denominado V (vértice). A reta e que passa por F e é perpendicular a d é denominada eixo da parábola. O comprimento de FD é denominado p (parâmetro).

Uma propriedade interessante das parábolas Seções cônicas Uma propriedade interessante das parábolas A luz de uma fonte localizada em F será refletida ao longo de uma reta paralela ao eixo x (Figura 1). É por isso que os paraboloides, superfícies obtidas a partir de rotações de parábolas, são usados na fabricação de faróis. O contrário acontece quando raios de luz incidem na parábola paralelamente ao eixo x: todos esses raios convergem para o ponto F (Figura 2). Figura 1 Figura 2

Equação da parábola no plano cartesiano Seções cônicas Equação da parábola no plano cartesiano Podemos facilitar a obtenção da equação de uma parábola colocando seu vértice V na origem O(0, 0) e sua diretriz d paralela ao eixo x. Estabelecendo o foco como F(0, c), a equação de d será y = – c. Se P(x, y) é um ponto genérico da parábola, obtemos a equação demonstrada ao lado.

Seções cônicas Invertendo o eixo Se transferirmos a diretriz de uma parábola para uma reta paralela ao eixo y, obteremos resultados análogos. Estabelecendo o foco como F(c, 0), a equação de d será x = – c. Se P(x, y) é um ponto genérico da parábola, obtemos a equação demonstrada ao lado.

Equação geral da parábola com vértice V(xv, yv) Seções cônicas Equação geral da parábola com vértice V(xv, yv) Usamos até agora como vértice da parábola a origem O(0, 0). Podemos deslocar o seu vértice para qualquer ponto V(xv, yv). Obtendo as equações como anteriormente, teremos uma simples mudança, mostrada a seguir.

Equação geral da parábola com vértice V(xv, yv) Seções cônicas Equação geral da parábola com vértice V(xv, yv) Usamos até agora como vértice da parábola a origem O(0, 0). Podemos deslocar o seu vértice para qualquer ponto V(xv, yv). Obtendo as equações como anteriormente, teremos uma simples mudança, mostrada a seguir.

Exercícios resolvidos Seções cônicas Exercícios resolvidos 1. Encontre o foco e a diretriz da parábola y2 + 10x = 0. Resolução: Se escrevermos a equação como y2 = –10x e a compararmos com a equação-padrão das parábolas, veremos que 4c = –10, ou seja, c = – 5/2. Portanto, o foco é (– 5/2, 0) e a diretriz é x = 5/2. Encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola 4x2 = – y. Resolução: Se escrevermos a equação como x2 = – y/4 e a compararmos com a equação-padrão das parábolas, veremos que 4c = –1/4, ou seja, c = –1/16. Portanto, o foco é (0, –1/16), a diretriz y = 1/16 e o vértice (0, 0).

Seções cônicas Exercícios propostos 1. Determine a equação da parábola com vértice (1, –1) que passe pelos pontos (–1, 3) e (3, 3). 2. (Unifor-CE) Seja a parábola de equação y = – x2 – 4x + 1. A equação da reta que passa pelo vértice dessa parábola e pela origem do sistema cartesiano é: a) 2x + 5y = 0 b) 5x + 2y = 0 c) 5x – 2y = 0 d) 13x + 2y = 0 e) 13x – 2y = 0

Seções cônicas Exercícios propostos Esboce o gráfico de y = x2 – 6x + 13. (Unifor-CE) Seja r a reta perpendicular à bissetriz dos quadrantes pares e que contém a interseção das parábolas de equações x = (y – 3)2 e x = (y + 7)2. A equação de r é: a) x + y + 23 = 0 b) x + y + 27 = 0 c) x – y – 27 = 0 d) x – y + 27 = 0 e) x – y – 23 = 0