O que você deve saber sobre POLINÔMIOS As funções afins e quadráticas são exemplos de polinômios cujos graus são 1 e 2, respectivamente. Funções de grau maior, expandindo-se o domínio ao campo dos números complexos, ampliam as possibilidades do uso dessa ferramenta na modelagem de situações cotidianas.

I. Definição e nomenclatura Polinômio ou função polinomial: soma de dois ou mais monômios (formados pelo produto entre números e letras). Forma geral de um polinômio: onde an, an-1, an-2, ..., a1 e a0 são coeficientes complexos, n o expoente (natural) e x a variável complexa. • Termos do polinômio: os monômios anxn, an-1xn-1, an-2xn-2, ..., a2x2, a1x e a0, sendo a0 o termo independente, pois não multiplica variável alguma; • Grau do polinômio: o maior expoente da variável entre os termos não nulos que o compõem. Se o grau de um polinômio P(x) é n, indica-se gr(P) = n, no caso de an ≠ 0. POLINÔMIOS

II. Valor numérico e raiz de um polinômio Valor obtido quando se substitui a variável por um número complexo e efetuam-se todas as operações estabelecidas. Quando o número complexo  é tal que P() = 0,  é chamado raiz do polinômio P(x). POLINÔMIOS

III. Operações entre polinômios a) Polinômios idênticos: seus respectivos valores numéricos para um mesmo x =  (  ) são iguais. Consequência: os coeficientes dos termos de mesmo grau de cada um dos polinômios são iguais. b) Adição e subtração: efetua-se a operação desejada entre os termos semelhantes (de mesmo grau), ou seja, conserva-se a parte literal desses termos e operam-se os respectivos coeficientes. POLINÔMIOS

III. Operações entre polinômios c) Multiplicação: multiplica-se cada termo de um polinômio por todos os termos do outro. Por fim, reduzem-se os termos semelhantes (de mesmo grau). d) Potência: forma abreviada de escrever o produto do mesmo polinômio n vezes. Denota-se por P(x)n, ou seja: POLINÔMIOS

III. Operações entre polinômios e) Divisão: determina dois polinômios: Q(x), o quociente, e R(x), o resto, a partir dos polinômios P(x), o dividendo, e D(x), o divisor. Para isso, devem satisfazer à seguinte condição: Além disso, seus graus devem ser tais que: gr(P)  gr(D); gr(R) < gr(D) ou gr(R) = 0. POLINÔMIOS

III. Operações entre polinômios Divisão, a partir do método da chave, dos polinômios P(x) = 8x3 + 6x2 + 3 (dividendo) e D(x) = 4x2 + x (divisor): Quociente: Q (x) = 2x+1 Resto: R (x) = - x + 3 POLINÔMIOS

III. Operações entre polinômios • Dispositivo prático de Briot-Ruffini: método utilizado apenas quando o divisor for um binômio do tipo (x  a). Aplicação na divisão dos polinômios P(x) = x2 + 1 e D(x) = x  2 • O último número na linha dos resultados é o resto. • Os demais correspondem aos coeficientes do polinômio quociente, cujo grau é uma unidade menor que a do dividendo. Portanto: POLINÔMIOS

IV. Equações polinomiais ou algébricas  São todas as equações redutíveis à forma: onde an, an-1, an-2, ..., a1 e a0 são coeficientes complexos, n é o expoente (natural não nulo), e x, a incógnita complexa.  Resolução: basta determinar as raízes de um polinômio equivalente ao primeiro membro da equação.  Conjunto-solução: o conjunto de todas as suas raízes POLINÔMIOS

V. Teoremas e consequências a) Teorema do resto Para um polinômio P(x), com gr(P)  1, o resto de sua divisão por (x  a) é dado por P(a). b) Teorema de D’Alembert Se o polinômio P(x) for divisível por D(x), ou seja, se o resto da divisão entre ambos for nulo, o valor a é raiz de P(x), ou seja, P(a) = 0. c) Teorema fundamental da álgebra Toda equação algébrica P(x) = 0, de grau n (n  1), tem pelo menos uma raiz complexa. POLINÔMIOS

V. Teoremas e consequências d) Teorema da decomposição Como consequência, todo polinômio P(x) = anxn + an-1xn - 1 + an - 2xn - 2 + ... + a2x2 + a1x + a0, de grau n, na variável complexa x, pode ser expresso por: sendo an o coeficiente dominante (termo de maior grau), e 1, 2, ..., n - 1, n as raízes do polinômio. Todo polinômio de grau n, n  1 tem n raízes complexas, mas não necessariamente distintas, pois eventualmente um polinômio de grau n > 1 pode ter raízes múltiplas. POLINÔMIOS

VI. Multiplicidade de uma raiz  Quantidade de vezes que a raiz aparece quando se escreve a equação ou o polinômio na sua forma decomposta.  É sempre menor que o grau do polinômio ou equação ou igual a ele. POLINÔMIOS

VII. Raízes complexas não reais Se um número complexo z = a + bi, com b ≠ 0, for raiz de uma equação polinomial com coeficientes reais, então seu conjugado z = a - bi também será raiz do polinômio. Além disso, se o complexo z tem multiplicidade m, seu conjugado terá a mesma multiplicidade. POLINÔMIOS

VIII. Relações de Girard São relações entre as raízes e os coeficientes de uma equação polinomial utilizadas para auxiliar na sua resolução. a) Relações entre os coeficientes e as raízes de uma equação do 2o grau: ax2 + bx + c = 0, com raízes 1 e 2 b) Relações entre os coeficientes e as raízes de uma equação do 3o grau: ax3 + bx2 + cx + d = 0, com raízes 1, 2 e 3 POLINÔMIOS

VIII. Relações de Girard c) Relações entre os coeficientes e raízes de uma equação de grau n: anxn + an - 1xn - 1 + an - 2xn - 2 + ... + a2x2 + a1x+ a0 = 0, com raízes 1, 2, ... , n1 e n POLINÔMIOS

Determine o polinômio de quarto grau, cujo esboço do gráfico é: 1 (Ufla-MG) Determine o polinômio de quarto grau, cujo esboço do gráfico é: EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: POLINÔMIOS  NO VESTIBULAR

O nível de combustível deles se iguala em t = 0 e também para: 3 (Cefet-MG) Uma fábrica utiliza dois tanques para armazenar combustível, sendo seus níveis expressos, respectivamente, por: H1(t) = 250t3 - 190t + 10 H2(t) = 150t3 + 210t + 10, sendo t o tempo, em horas. O nível de combustível deles se iguala em t = 0 e também para: a) t = 1,0. b) t = 1,5. c) t = 2,0. d) t = 2,5. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: C POLINÔMIOS  NO VESTIBULAR

4 (UEL-PR) Considere as funções polinomiais dadas por p(x) = x3 - 4x2 + 7x - 3 e q(x) = -6x - 3. Os números complexos na forma z = a + bi, que satisfazem a equação p(z) = q(z), são: a) z = 0, z = 3 + 2i e z = 3 - 2i. b) z = 0, z = 2 + 3i e z = 2 - 3i. c) z = 0, z = -2 + 3i e z = -2 - 3i. d) z = 0, z = 3 + 2i e z = 2 + 2i. e) z = 0, z = 3 + 3i e z = 3 - 3i. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: B POLINÔMIOS  NO VESTIBULAR

9 (UFMG) O gráfico da função p(x) = x3 + (a + 3)x2 - 5x + b contém os pontos (-1, 0) e (2, 0). Assim sendo, o valor de p(0) é: a) 1. b) –6. c) –1. d) 6. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: B POLINÔMIOS  NO VESTIBULAR

Assinale a alternativa correta. 1 12 (UFPR) Abaixo estão representados os gráficos das funções f e g. Sobre esses gráficos, considere as seguintes afirmativas: 1. A equação f(x) . g(x) = 0 possui quatro soluções no intervalo fechado [-10, 10]. 2. A função y = f(x) . g(x) assume apenas valores positivos no intervalo aberto (0, 3). 3. f(g(0)) = g(f(0)). 4. No intervalo fechado [3, 10], a função f é decrescente e a função g é crescente. Assinale a alternativa correta. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS y = g(x) y = f(x) POLINÔMIOS  NO VESTIBULAR

a) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. 12 1 a) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. b) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. c) Somente as afirmativas 3 e 4 são verdadeiras. d) Somente as afirmativas 1, 2 e 4 são verdadeiras. e) Somente as afirmativas 1, 3 e 4 são verdadeiras. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: A POLINÔMIOS  NO VESTIBULAR

a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. RESPOSTA: C 13 1 (ITA-SP) Considere as funções f(x) = x4 + 2x3 - 2x - 1 e g(x) = x2 - 2x + 1. A multiplicidade das raízes não reais da função composta f  g é igual a: a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: C POLINÔMIOS  NO VESTIBULAR

a) 9. b) 7. c) 5. d) 3. e) 1. RESPOSTA: B 18 1 (ITA-SP) Seja Q(z) um polinômio do quinto grau, definido sobre o conjunto dos números complexos, cujo coeficiente de z5 é igual a 1. Sendo z3 + z2 + z + 1 um fator de Q(z), Q(0) = 2 e Q(1) = 8, então, podemos afirmar que a soma dos quadrados dos módulos das raízes de Q(z) é igual a: a) 9. b) 7. c) 5. d) 3. e) 1. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: B POLINÔMIOS  NO VESTIBULAR