EQUAÇÕES POLINOMIAIS Prof. Marlon

1. Conceitos Iniciais Denomina-se equação polinomial ou equação algébrica de grau n, na variável x e C, toda equação que pode ser reduzida à forma: anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x1 + a0 = 0. Nessa igualdade an, an1, ... , a2, a1 e a0 são números complexos chamados coeficientes; n  IN*; an  0 e a0 é o termo independente. Exemplos: 3x - 4 = 0 é uma equação algébrica do 1º grau. 2x2  5x + 8 = 0 é uma equação algébrica do 2º grau. 4x3 + 5x2  3x + 4 = 0 é uma equação algébrica de grau 3. x5  2/3x4 + 3x  6 = 0 é uma equação algébrica de grau 5

2. Raiz ou Zero de Uma Equação Denomina-se raiz ou zero de uma equação polinomial P(x) = 0 todo número complexo  para o qual P() = 0 é uma sentença verdadeira.    é raiz de P(x)  P() = 0 Na equação algébrica x3 + 2x2  13x + 10 = 0, por exemplo, temos: 2 é raiz da equação, pois: (2)3 + 2  (2)2  13  (2) +10 = 0  3 não é raiz da equação, pois: (3)3 + 2  (3)2  13  (3) + 10 = 16  0

3. Conjunto Solução Chamamos de conjunto solução ou conjunto verdade, num certo conjunto universo U, o conjunto das raízes da equação algébrica que pertencem a U. Quando não citarmos o conjunto universo de uma equação algébrica estaremos considerando-o como sendo o conjunto dos números complexos. Resolver uma equação algébrica é encontrar o seu conjunto solução ou conjunto verdade.

4. Teorema Fundamental da Álgebra Nas equações do 1º e do 2º grau, os zeros ou raízes da equação são obtidos por fórmulas que envolvem os coeficientes das equações, as operações fundamentais e a extração de raízes. ax + b = 0 com a  0 é uma equação do 1a grau cuja raíz é: ax2 + bx + c = 0 com a  0 é uma equação do 2º grau cujas raízes são: , com  = b2  4ac.

4. Teorema Fundamental da Álgebra Para a resolução de equações de grau igual ou maior que 3, utilizamos métodos baseados no teorema fundamental da Álgebra, enunciado abaixo:   Toda equação algébrica P(x) = 0, de grau n (n  1), tem pelo menos uma raiz real ou complexa.

5. Teorema da Decomposição Observe os polinômios a seguir e as suas raízes: P1(x) = 4x  12 de raiz 3 P2(x) = x2  5x + 6 de raízes 2 e 3 P3(x) = x3 + x2  4x - 4 de raízes 2, 1 e 2 P4(x) = x4  5x2  36 de raízes 3, 3, 2i e 2i Cada um dos polinômios acima pode ser escrito nas seguintes formas fatoradas:   P1(x) = 4x  12  P1(x) = 4(x  3) P2(x) = x2  5x + 6  P2(x) = (x  2)(x  3) P3(x) = x3 + x2  4x  4  P3(x) = (x + 1)(x  2)(x + 2) P4(x) = x4  5x  36  P4(x) = (x  3)(x + 3)(x  2i)(x + 2i)

5. Teorema da Decomposição De maneira geral, todo polinômio P(x) = anxn + an1xn1 + ... + a2x2 + a1x + a0 pode ser escrito na forma fatorada:   P(x) = an(x  1) (x  2) ... (x  n) em que 1, 2 ...,n são as raízes de P(x). Daí, podemos enunciar o seguinte teorema: Toda equação polinomial P(x) = 0, de grau n, n1, tem exatamente n raízes reais ou complexas. A forma fatorada de P(x) = an(x  1)(x  2) ... (x  n) mostra que o conjunto solução da equação P(x) = 0 tem no máximo n elementos, pois não sabemos se os números 1, 2, 3, ..., n são todos distintos dois a dois. Considerando que a ordem dos fatores não altera o produto, essa decomposição é única.

6. Multiplicidade de uma raiz As raízes de uma equação algébrica podem ser todas distintas ou não. Se um número a for uma só vez raiz de uma equação algébrica, ele será chamado raiz simples. Se uma equação algébrica tiver duas raízes iguais a um certo número, esse número será uma raiz de multiplicidade 2, isto é, será uma raiz dupla; se tiver três raízes iguais, o número será uma raiz de multiplicidade 3, isto é, será uma raiz tripla, e assim sucessivamente. Seja a equação algébrica: (x  2)2.(x + 1)3.(x  3) = 0, que pode ser colocada na forma: (x  2)(x  2)(x + 1)(x + 1)(x + 1)(x  3) = 0.

6. Multiplicidade de uma raiz Podemos observar que a equação tem 6 raízes: uma raiz dupla igual a 2; uma raiz tripla igual a 1; e uma raiz simples igual a 3. De uma maneira geral, se um polinômio P(x) é tal que: P(x) = (x  )m  Q(x) com Q()  0, dizemos que a é raiz de multiplicidade m da equação P(x) = 0. OBSERVAÇÃO: Toda equação algébrica, cujo termo independente é zero, admite o número zero como raiz de multiplicidade igual ao menor expoente da incógnita. Exemplo: x3 – 4x2 + 5x = 0  x(x2 – 4x + 5) = 0  uma raiz nula.

7. Teorema das Raízes Complexas Todo polinômio, com coeficientes reais, que admite uma raiz complexa não real (a + bi, com b ≠ 0) admite também o seu conjugado (a – bi, com b ≠ 0). Exercício Resolvido 1: Dado P(x) = x4 + x2 - 2x + 6, verificar se 1 + i é raiz de P(x). Resolução: P(1 + i) = (1 + i)4 + (1 + i)2 – 2(1 + i) + 6 P(1 + i) = – 4 + 2i – 2 – 2i + 6 P(1 + i) = 0 Observe que se 1 + i é raiz de P(x), então seu conjugado 1 – i, também será.

Observações Importantes: 1) Se um número complexo é raiz de multiplicidade m de um polinômio, então seu conjugado também será; 2) Numa equação de terceiro grau, pelo menos uma das raízes será real. Aliás, numa equação de grau ímpar pelo menos uma das raízes será real. 3) O número de raízes complexas, não reais, de um polinômio será sempre par (de duas em duas – a raiz e seu conjugado) Exercício Resolvido 2: Qual o menor grau possível para uma equação polinomial de coeficientes reais que admita as raízes -2, 3i e 1 – i? Resolução: Incluindo os conjugados podemos perceber que a equação possui pelo menos 5 raízes... portanto, no mínimo, GRAU 5.

Resolver, em C, a equação polinomial Exercício Resolvido 3: Resolver, em C, a equação polinomial x4 – 2x3 + x2 – 8x – 12 = 0 sabendo que 2i é uma de suas raízes. Resolução: Se 2i é raiz, então P(x) = x4 – 2x3 + x2 – 8x – 12 = 0 é divisível por (x – 2i); - 2i , conjugado de 2i, também é raiz, então P(x) = x4 – 2x3 + x2 – 8x – 12 = 0 é divisível por (x + 2i); Se P(x) é divisível por (x - 2i) e também é divisível por (x + 2i), então ele será divisível pelo produto (x – 2i) . (x + 2i) = x2 + 4; Usando a regra da chave efetue a divisão de P(x) por x2 + 4;

S = {2i, -2i, 3, -1} A partir desta divisão percebemos que a forma fatorada de P(x) pode ser escrita como (x2 + 4) . (x2 – 2x - 3) = 0; Portanto, para achar as demais raízes de P(x) basta igualar o quociente Q(x) encontrado a zero:

Também poderíamos chegar aos mesmos resultados através do dispositivo de Briot-Ruffini: demais raízes

Exercício Resolvido 4: Os números complexos 1 + i e 1 – 2i são raízes de um polinômio com coeficientes reais de grau 8. O número de raízes reais deste polinômio, no máximo, é: Resolução: Se 1 + i é raiz, então 1 – i também é raiz; Se 1 – 2i é raiz, então 1 + 2i também é raiz Deste modo P(x) terá, no mínimo, 4 raízes complexas, e portanto, no máximo, 4 raízes reais

Exercício Resolvido 5: O polinômio x4 + x2 – 2x + 6 = 0 admite 1 + i como raiz, no qual i2 = -1. O número de raízes reais deste polinômio é: Resolução: Pelo enunciado sabemos que 1 + i é raiz, e também o seu conjugado 1 - i; P(x) é divisível por [x - (1 + i)] e também é por [(x – (1 - i)], então ele será divisível pelo produto: [(x – 1) - i] . [(x – 1) + i] = (x – 1)2 – i2 = x2 – 2x + 2 Usando a regra da chave efetue a divisão: P(x) por x2 – 2x + 2;

Nenhuma raiz real Portanto, para achar as demais raízes de P(x) basta igualar o quociente Q(x) encontrado a zero:

Exercício Resolvido 6: Resolva a equação 3x4 – 8x3 - 5x2 + 36x – 20 = 0, sabendo que 2 + i é uma de suas raízes. Resolução: Se 2 + i é raiz, então 2 – i também é; Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini para baixar o grau da equação temos: demais raízes

8. Teorema das Raízes Racionais Se uma equação polinomial, anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x1 + a0 = 0, de coeficientes inteiros, admitir uma raiz racional e possuir raiz(es) racional(is), elas estarão no conjunto p/q, tal que p seja divisor inteiro de a0 e q seja divisor de an, em que p, q são inteiros, q ≠ 0, p e q primos entre si. Exercício Resolvido 7: Encontrar as raízes racionais da equação: 2x4 - 3x3 - 6x2 – 8x – 3 = 0. Resolução: Então, temos an = 2, a0 = -3. Divisores inteiros de a0: (p) = ± 3, ± 1. Divisores inteiros de an: (q) = ± 2, ± 1.

Portanto, de acordo com o teorema das raízes racionais, as possíveis raízes da equação são da forma: Agora, basta testar todas elas na equação, ou por substituição ou pelo dispositivo de Briot-Ruffini. P(-3) = 210 → -3 não é raiz. ..... P(3) = 0 → 3 é raiz. -1/2 é raiz. Por verificação conclui-se que apenas 3 e -1/2 são raízes racionais.

8. Teorema das Raízes Racionais OBSERVAÇÕES: Este teorema não garante a existência de raízes racionais, mas, no caso de elas existirem, mostra como obtê-las. O teorema possibilita a formação de um conjunto de possíveis raízes racionais obtidas dos divisores de an e a0. Se nenhum elemento desse conjunto for raiz da equação, esta não admitirá raízes racionais. Se an = ±1 e os demais coeficientes são inteiros, a equação não admite raízes fracionárias, podendo, entretanto, admitir raízes inteiras que são divisores de an. Em toda equação algébrica cuja soma dos coeficientes for igual a zero, o número 1 será raiz da equação.

Resolva a equação x3 - 5x2 + 9x – 5 = 0. Exercício Resolvido 8: Resolva a equação x3 - 5x2 + 9x – 5 = 0. Resolução: Temos an = 1, a0 = -5. Divisores inteiros de a0: (p) = ± 5, ± 1. Divisores inteiros de an: (q) = ± 1. Portanto, de acordo com o teorema das raízes racionais, as possíveis raízes da equação são da forma: P(1) = 0 → 1 é raiz.

Resolva a equação x6 - 1 = 0, em C. Exercício Resolvido 9: Resolva a equação x6 - 1 = 0, em C. Resolução: Temos: x6 – 1 = (x3 - 1).(x3 + 1) 1 é raiz de x3 – 1. -1 é raiz de x3 + 1.

Exercício Resolvido 10: Resolva, em C, a equação x4 – ax3 – bx2 - ax + 2 = 0, com a e b números inteiros, sabendo que duas de suas raízes são números inteiros positivos e consecutivos. Resolução: Divisores inteiros de a0: (p) = ± 2, ± 1. Divisores inteiros de an: (q) = ± 1. Portanto, de acordo com o teorema das raízes racionais, as possíveis raízes da equação são da forma: Com base no enunciado, 1 e 2 são raízes.

Agora que sabemos os valores de a e b, temos que a equação ficou assim: E sabemos ainda que 1 e 2 são raízes. demais raízes

Resolver a equação 2x4 – 5x3 – 2x2 - 4x + 3 = 0. Exercício Resolvido 11: Resolver a equação 2x4 – 5x3 – 2x2 - 4x + 3 = 0. Resolução: p {± 3, ± 1} e q {± 2, ± 1}. Portanto: P(3/2) ≠ 0 P(-3/2) ≠ 0 P(3) = 0 P(-3) ≠ 0 P(-1/2) ≠ 0 P(1/2) = 0 P(1) ≠ 0 P(-1) ≠ 0

Relações de Girard para equações do 2º grau É comum possuirmos alguma informação sobre as raízes de uma equação antes de resolvê-la. Por exemplo: uma raiz é o dobro da outra; uma raiz é dupla; o produto das raízes é 6; etc. Quando já são conhecidas certas condições sobre as raízes de uma equação, podemos utilizar as Relações de Girard, que são expressões envolvendo somas e produtos das raízes da equação e seus coeficientes. Relações de Girard para equações do 2º grau Forma Geral: ax2 + bx + c = 0 Raízes: x1 e x2 Forma fatorada: a.(x – x1).(x – x2) = 0 Desenvolvimento: ax2 – a(x1 + x2)x + ax1x2 = 0 b c Comparação com a forma Geral: - a(x1+ x2) = b e ax1x2 = c

Relações de Girard para equações do 3º grau Desta forma temos: x1+ x2 = -b/a e x1x2 = c/a As relações de Girard para equações do 2º grau são: Soma das raízes: Produto das raízes: Relações de Girard para equações do 3º grau Forma Geral: ax3 + bx2 + cx + d = 0 Raízes: x1, x2 e x3 Forma fatorada: a.(x – x1).(x – x2).(x – x3) = 0 Desenvolvimento: ax3 – a(x1 + x2 + x3)x2 + a(x1x2 + x1x3 + x2x3)x – ax1x2x3 = 0 b c d

Comparação com a forma Geral: - a(x1+ x2 + x3) = b e a(x1x2 + x1x3 + x2x3) = c e - ax1x2x3 = d Desta forma temos: x1 + x2 + x3 = -b/a , (x1x2 + x1x3 + x2x3) = c/a e x1x2x3 = c/a As relações de Girard para equações do 3º grau são: Soma das raízes: Soma dos produto das raízes, duas a duas: Produto das raízes:

Relações de Girard para equações do 3º grau Forma Geral: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 Raízes: x1, x2, x3 e x4 Repetindo o raciocínio dos casos anteriores temos que as relações de Girard para equações do 4º grau são: : Soma das raízes: Soma dos produto das raízes, duas a duas: Soma dos produto das raízes, três a três: Produto das raízes:

Relações de Girard para equações de grau n Generalizando: Equação: anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 = 0 Soma das raízes: Soma dos produto das raízes, duas a duas: Soma dos produto das raízes, três a três: Produto das raízes:

Exercício Resolvido 12: Sejam r, s e t as raízes da equação x3 – 4x2 + 6x – 5 = 0. Calcular o valor de: a) r + s + t b) rs + rt + st c) rst d) 1/r + 1/s + 1/t

Exercício Resolvido 13: Resolva, a equação x3 – 8x2 + 19x – 12 = 0, sabendo que uma das raízes é igual a soma das outra duas. Resolução: vamos chamar as raízes de x1, x2 e x3 Das relações de Girard, temos:

Agora que temos uma das raízes, aplicamos o dispositivo de Briot-Ruffini, baixamos o grau da equação e encontramos as demais raízes. demais raízes

Exercício Resolvido 14: Sabendo que 2 – 3i é raiz da equação x3 – 6x2 + 21x – 26 = 0, determinar as demais raízes. Resolução: Se 2 – 3i é raiz, então 2 + 3i também é. Das relações de Girard, temos:

Mas, qual destes valores? Exercício Resolvido 15: Determinar o conjunto solução da equação 4x3 – 20x2 + 17x – 4 = 0, sabendo que ela admite uma raiz dupla. Resolução: Chamaremos as raízes de: r, r e s Das relações de Girard, temos: Mas, qual destes valores?

Se r = 1/2 então: Se r = 17/6 então: Se substituirmos os valores encontrados na 3ª relação (a do produto das raízes), vamos observar que quando r = 17/6 e s = - 2/3 a sentença obtida é falsa (não dá certo) Já quando substituímos r = 1/2 e s = 4, o resultado encontrado é verdadeiro. Deste modo, o conjunto solução da equação é:

Exercício Resolvido 16: Determine o valor de k, para que as raízes da equação x3 – 3x2 – 6x + k = 0 formem uma progressão aritmética. Resolução: Chamaremos as raízes de: m – r, m, m + r Das relações de Girard, temos: Agora que sabemos que 1 é uma das raízes, vamos substituir x por 1 e calcular o valor de k