“O homem que fala dois idiomas vale por dois” - Ditado Popular Capítulo IV Realce no Domínio da Freqüência Há coisas que são expressas melhor num idioma que em outro. Da mesma forma há aspectos de uma função que são melhor expressos num domínio do que em outro. Conhecendo o domínio da freqüência, conforme nos propicia a Transformada de Fourier, nos permite expressar ou visualizar o que desejamos usando o domínio mais apropriado. Precisamos entender a relação entre um e outro domínio. “O homem que fala dois idiomas vale por dois” - Ditado Popular RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Jean Baptiste Joseph Fourier 1768  Auxerre, França 1807  1822  On the Propagation of Heat in Solid Bodies (Série de Fourier) 1830  Paris RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Transformada de Fourier Contínua A Transformada de Fourier de uma função contínua de uma variável f(x) em R é definida por : Define-se a correspondente Transformada Inversa de Fourier como: A Transformada de Fourier de uma função contínua de duas variáveis f(x,y) em R2 é definida por : Define-se a a correspondente Transformada Inversa de Fourier como: RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Analogia entre Transformada de Fourier e um Prisma f(x) F(M-1)  F(1) F(0) Transformada de Fourier RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Transformada de Fourier Discreta (DFT) de Uma Variável A DFT F(u) de uma função discreta de uma variável f(x), x=0, 1, 2, ... M-1 em R é dada pela equação : componente em freqüência domínio da freqüência Define-se a correspondente DFT Inversa como: O conceito de Domínio da Freqüência decorre da fórmula de Euler: Substituindo na primeira equação obtém-se: RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Transformada de Fourier em Uma Dimensão f(x) será neste curso sempre uma função real. F(u) é em geral uma função complexa. Espectro de Potência de f(x) Válido para as transformadas Contínuas e Discretas RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Transformada de Fourier Discreta (DFT) de Uma Variável . . . |F(1)| |F(2)| |F(0)| f(x) M amostras AK/M M amostras |F(u)| AK/M M amostras |F(u)| f(x0) f(x0+Δx) f(x0+2Δx) f(x0+[M-1]Δx) . . . f(0) f(1) f(2) f(M-1) Δu ∆u = 1 M ∆x Δx f(x) para x=0,1,2,..., M representam M amostras igualmente espaçadas da correspondente função contínua x0 é o primeiro ponto da seqüência e a primeira amostra é, portanto, f (x0) a próxima amostra é tomada Δx unidades adiante, isto é, f (x0+ Δx) a k-ésima amostra é, f (x0+ kΔx), e a última f (x0+ [M-1]Δx), para tornar independente da resolução faz-se f (k) = f(x0+ kΔx)  análogo para F(u), sendo que u0 é necessariamente igual a 0 (zero) RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Transformada de Fourier Discreta Bidimensional As transformadas direta e inversa discreta em duas dimensões ficam: para u=0, 1, 2,...,M-1, v=0, 1, 2,...,N-1, e f(x,y) representa as amostras da função f(x0+xx,y0+yy) , para . x=0, 1, 2,...,M-1, e y=0, 1, 2,...,N-1. Aplica-se o mesmo a F(u,v). Os incrementos nas amostras em ambos os domínios estão relacionados por: e RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Transformada de Fourier Discreta Bidimensional f(x,y) será neste curso sempre uma função real de dimensão 2, tipicamente uma imagem. F(u,v) é em geral uma função complexa. Espectro de Potência de f(x) RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Exemplo de Senos e Cossenos em Duas Dimensões As figuras abaixo estão normalizada de modo a se ajustarem ao intervalo [0:1] cos[2(0,y)] cos[2 (x,0)] sen[2 (0,y)] sen[2 (x,0)] cos[2 (3x,4y)] sen[2 (5x,2y)] cos[2 (3x,-5y)] sen[2 (-3x,6y)] RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Propriedade da Periodicidade e Simetria do Conjugado Exemplo: A validade desta propriedade pode ser demonstrada por substituição direta. A propriedade da periodicidade diz que F(u,v) tem período N,N . A propriedade do conjugado diz que a magnitude da transforma está centrada na origem. RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Propriedade da Translação Exemplo: Transformada sem deslocamento origem origem Imagem Original A origem da transformada de Fourier de f(x,y) pode ser movida para o centro do quadrado de freqüência NxN meramente multiplicando f(x,y) por (-1)x+y. Transformada com origem no centro da matriz RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Propriedade da Rotação Introduzindo coordenadas polares f(x,y) e F(u,v) se tornam f(r,) e F(, ) Exemplo: Imagem original Espectro Observa-se que ao rodar a imagem original de um ângulo 0 a transformada rodará do mesmo ângulo Imagem rotacionada Espectro resultante RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Propriedades da Distributividade, Escala, Similaridade, Valor Médio depende da implementação Valor Médio: RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Visualização da Transformada em 2D A transformada de Fourier Discreta bidimensional é freqüentemente visualizada como uma função de intensidade. Para facilitar a visualização, ao invés de se apresentar |F(u,v)|, o que se apresenta é a função: onde c é uma constante arbitrária. Exemplo |F(u,v)| D(u,v) RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Filtragem em Freqüência – relações espaço × freqüência Características: bordas a ±45º duas incrustações de óxido imagem transformada imagem microscópica de um circuito integrado RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Filtragem no Domínio da Freqüência - procedimento H(u,v) parte real (4) (1) (3) × Transformada Inversa de Fourier Transformada de Fourier f(x,y) g(x,y) domínio do espaço (2) F(u,v) G(u,v) domínio da freqüência RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Filtros Básicos: “Notch” RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Filtros Básicos: Passa-Baixas Filtros Passa-Baixas (FPB) “borram” a imagem Função de Transferência Imagem produzida por FPB RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Filtros Básicos: Passa-Altas Filtros Passa-Baixas (FPA) realçam detalhes da imagem. Função de Transferência Imagem produzida por FPA RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Filtragem Espacial – Convolução - Correlação A convolução entre duas funções f(x,y) e h(x,y) de dimensões M×N é definida por Exemplo: f(, ):h(-,-)   x y f(,):h(-,-)   f(, ):h(-,-)   x y f(, ):h(-,-)   x y h(-,-)   f(,)   RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Correlação Convolução Filtragem Digital Comparação Correlação Convolução Filtragem Digital f (0)=0; f (1)=0; f (2)=1; f (3)=0; f (4)=0 w(0)=1; w(1)=2; w(2)=3 f (0)=0; f (1)=0; f (2)=1; f (3)=0; f (4)=0 w(0)=1; w(1)=2; w(2)=3 f (0)=0; f (1)=0; f (2)=1; f (3)=0; f (4)=0 w(-1)=1; w(0)=2; w(1)=3 0 0 1 0 0 1 2 3 3 2 1 0 0 1 0 0 1 2 3 0 0 0 0 1 0 0 3 2 1 1 2 3 3 2 1 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x -2 -1 1 2 3 4 5 6 x -2 -1 1 2 3 4 5 6 x a ordem importa! eqüivale a tomar o simétrico de w e fazer a convolução. a ordem não importa! a ordem importa! eqüivale a deslocar w e fazer a correlação, ou a tomar o simétrico de w, deslocar e fazer a correlação. RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Realce no Domínio da Freqüência Filtragem nos Dois Domínios - Teorema da Convolução Sejam F(u,v) a transformada de Fourier de f(x,y), isto é, e H(u,v) a transformada de Fourier de h(x,y), isto é, então vale a relação O símbolo indica que a expressão do lado esquerdo pode ser obtida pela transforma inversa de Fourier da expressão do lado direito, e vice-versa. A Função de Transferência H(u,v) usada na filtragem no domínio da freqüência é (quase) a transformada de Fourier da máscara h(x,y) usada nos filtros lineares espaciais. RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Mais sobre Periodicidade O que se assume quanto aos valores de f(x+y) fora do intervalo coberto pelas MN amostras disponíveis? Da definição da transformada inversa decorre analogamente conclui-se que: =1, pois uZ A DFT assume implicitamente que f (x,y) é periódica, com período M e N. RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Mais sobre Periodicidade A convolução: f (m) m m h (m) h (-m) f (m)*h (m) x m x RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Mais sobre Periodicidade A convolução considerando a periodicidade implícita na DFT: f (m) m m h (m) wraparound error h (-m) x f (m)*h (m) x m RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Mais sobre Periodicidade Para contornar o problema acrescentam-se zeros (zero padding) f (m) h (m) m m h (-m) x f (m)*h (m) x m RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Realce no Domínio da Freqüência “Zero padding” em 2 D Para que o teorema da convolução seja válido, as funções no espaço devem ter zeros “apendados” convenientemente. Consideram-se f(x,y) e h(x,y) matrizes de dimensões AB e CD respectivamente. As funções discretas são estendidas: onde M ≥ A+ C -1 e N ≥ B+ D -1 No MATLAB: [A B]=size(f); [C D]=size(h); fe=zeros(A+C-1,B+D-1); he=fe; fe(1:A,1:B)=f; he(1:C,1:D)=h; RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Correspondência Entre a Filtragem nos Dois Domínios exemplo de “zero padding” B B D A C A máscara h(x,y) imagem filtrada no espaço g(x,y) imagem f(x,y) B D-1 D B-1 B C A A A-1 C-1 imagem estendida fe(x,y) máscara estendida he (x,y) imagem filtrada na freqüência g(x,y) (miolo) RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Filtragem no Domínio da Freqüência – procedimento completo H(u,v) × Transformada de Fourier Transformada Inversa de Fourier f(x,y) “ zero padding ” “ zero unpadding” g(x,y) F(u,v) G(u,v) RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Filtros de Passa-Baixa Ideal (FPBI) RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Filtros de Passa-Baixa Ideal (FPBI) - Exemplo imagem 500×500 pixels Saída FPBI raio=5 Saída FPBI raio=15 Saída FPBI raio=30 Saída FPBI raio=80 Saída FPBI raio=230 RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Filtros de Passa-Baixa de Butterworth(FPBB) grau do filtro freqüência de corte RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Filtros de Passa-Baixa de Butterworth(FPBB) - Exemplo imagem 500×500 pixels Saída FPBB raio=5 Saída FPBB raio=15 Saída FPBB raio=30 Saída FPBB raio=80 Saída FPBB raio=230 RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Filtros de Passa-Baixa Gaussiano(FPBG) abertura do filtro RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Filtros de Passa-Baixa Gaussiano (FPBG) - Exemplo imagem 500×500 pixels Saída FPBG raio=5 Saída FPBG raio=15 Saída FPBG raio=30 Saída FPBG raio=80 Saída FPBG raio=230 RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Realce no Domínio da Freqüência Filtros de Passa-Alta Hfpai=1-Hfpbi Hfpab=1-Hfpbb Hfpag=1-Hfpbg RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Filtros de Passa-Alta - Exemplos D0 = 15 D0 = 30 D0 = 80 Passa-alta Ideal Passa-alta Butterworth Passa-alta Gaussiano RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Unsharp Masking, High Bosst e Ênfase de Altas Freqüências Subtrai da imagem parte da saída de um filtro de suavização (passa-baixa) fum(x,y) = f(x,y) – B fpb(x,y)  Hum(u,v) = 1 – B Hpb(u,v) High Boost: Acrescenta à imagem parte da saída de um filtro de nitidez (passa-alta) fhb(x,y) = f(x,y) + B fpa(x,y)  Hhb(u,v) = 1 + A Hpa(u,v) Ênfase de Altas Freqüências: Combina a imagem com a saída de um filtro de nitidez (passa-alta) faf(x,y) = a f(x,y) + b fpa(x,y)  Haf(u,v) = a + b Hpa(u,v) RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Filtro de Ênfase de Altas Freqüências - Exemplo imagem de Raio-X saída de um FPAB saída de um filtro de ênfase de altas freqüências após equalização de histograma RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Filtros Rejeita-Faixa Ideal Butterworth Gaussiano RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Filtros Rejeita-Faixa - Exemplo imagem com ruído senoidal espectro da imagem filtro rejeita-faixa de Butterworth resultado da filtragem RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Realce no Domínio da Freqüência Filtros Notch Sendo Ideal Butterworth Gaussiano RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Exemplo de Filtragem em Freqüência no MATLAB %--------------------------------------- % Procedimento de Filtragem % Carrega a imagem, seja lá de onde for load imdemos f=im2double(flower); [M,N]=size(f); % Cria as matrizes contendo as coordenadas u e v nas mesmas dimensões da imagem [u,v]=freqspace( [2*M 2*N],'meshgrid'); % Define os parâmetros do filtro, no caso, de Batterworth rejeita-faixa W= 0.1; n=1; D0=.7; % Construção da Função de Transferencia % Cria uma matriz que contem o D(u,v) D=sqrt(u.^2 +v.^2); % Monta a função de transferencia H=1./(1+((D*W)./(D.^2-D0.^2)).^(2*n)); % Filtragem no Domínio da Freqüência H=fftshift(H); % coloca a origem no canto superior esquerdo de H F=fft2(f,[2*M 2*N]); % Calcula a transformada da imagem de saída apendando zeros G=H.*F; % Filtragem no domínio da freqüência g=real(ifft2(G)); % Parte real da transformada inversa g=g(1:M,1:N); % Recorta a área correspondente a imagem original RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Exemplo de Filtragem em Freqüência no MATLAB - Visualização %--------------------------------------- % Visualizacao figure(1) % Abre nova janela surfl(fftshift(H)); % Visualiza Função de Transferência em 3D shading interp; % colormap copper % figure(2) % Abre nova janela subplot(2,2,1);imshow(f);title('Imagem de Entrada') % Visualiza a Imagem de Entrada subplot(2,2,2); imshow(real(g)); title('Imagem Filtrada') % Visualiza a Imagem de Saída % Prepara a Visualizacao da Transformada da Imagem de Entrada Faux=log(1+(abs(F))); Faux=Faux-min(Faux(:)); Faux=Faux./max(Faux(:)); subplot(2,2,3); imshow(fftshift(Faux)); title('Transformada da Imagem de Entrada') % Visualiza Transformada da Imagem de Entrada % Prepara a Visualizacao da Transformada da Imagem Filtrada Gaux=log(1+(abs(G))); Gaux=Gaux-min(Gaux(:)); Gaux=Gaux./max(Gaux(:)); subplot(2,2,4); imshow(fftshift(Gaux)); title('Transformada da Imagem Filtrada') % Visualiza Transformada da Imagem de Entrada RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência

Realce de Imagens Coloridas Converte-se a imagem de RGB para HSI, opera-se sobre uma das componentes, como para tons de cinza, e converte-se de volta para RGB. Em geral sobre a componente INTENSIDADE; exemplo : Highboost Cores mais “vivas” obtém-se multiplicando a SATURAÇÃO por um fator >1; exemplo: S= 2  S Somar (subtrair) uma constante ao MATIZ “esquenta” (“esfria”) a imagem. Se a constante for elevada, pode haver alteração significativa na aparência da imagem. RQF-Agostol/2004 Realce no Domínio da Freqüência