BCC101 – Matemática Discreta Lecture 11 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/13/2017 BCC101 – Matemática Discreta Demonstração de Teoremas Prova de Bicondicional e Equivalência Prova de ∀ e Prova de ∃

Provas de Bicondicional Para provar uma afirmativa da forma P ↔︎ Q (P se, e somente se, Q) devemos provar P → Q e Q → P Exemplo 1: Prove que um inteiro n é par se, e somente se, n2 é par.

Provas de Bicondicional Exemplo 2: Suponha x,y ∈ 𝐑. Então x3 + x2y = y2 + xy se, e somente se, y = x2 ou y = -x. ⇒Suponha x3 + x2y = y2 + xy. Então x2 (x+y) = y (x+y). Portanto y = x2 ou y = -x ⟸ Suponha y = x2 ou y = -x Se y = x2: x3+x2y = x3+x4 = x4+x3=y2+xy Se y = -x: x3+x2y=x3-x3=0 e y2+xy=y2-y2=0

Provas de Equivalência Prove que as seguintes afirmações são equivalentes: q) n é impar b) (n+1) é par c) n2 é impar Queremos provar (a) ⇔ (b) ⇔ (c) Estratégia: (a) (b) (c)

Provas de Equivalência (a) (b): Suponha n impar, i.e., n=2k+1, para algum k∈𝐙. Então n+1=2k+2=2(k+1) ou seja, n+1 é par. (b) (c): Suponha (n+1) par, i.e, n+1=2k para algum k∈𝐙. Então n2=(n+1)2-(2n+1)=(2k)2-4k-1=4k2-4k-1=2(2k2-2k)-1, ou seja, n2 é impar (c) (a): Suponha, por contraposição, que n é par, i.e., n=2k para algum k∈𝐙. Então n2=4k2, ou seja, n2 é par. Portanto, se n2 é impar então n é impar

Provas envolvendo quantificadores Para provar uma afirmativa da forma ∀x. f(x), devemos provar que f(x) é verdadeira, para x arbitrário. Exemplo: Prove que, para quaisquer inteiros a,b,c, se a|b e b|c então a|c.

Provas envolvendo quantificadores Prove que, para quaisquer inteiros a,b,c, se a|b e b|c então a|c. Prova: Sejam a,b,c inteiros arbitrários e suponha a|b e b|c, isto é, b = na e c=mb, para alguns n,m inteiros. Então c = mb = m(n a) = (n m) a, isto é, a|c.

Provas envolvendo quantificadores Para provar uma afirmativa da forma ∃x.f(x), devemos mostrar um valor para x, digamos a, tal que f(a) seja verdadeira. Exemplo: Prove que, para todo número real x>0, existe um número real y>0 tal que y(y+1)=x

Provas envolvendo quantificadores Prove que, para todo número real x>0, existe um número real y>0 tal que y(y+1)=x Prova: Seja x real arbitrário e tome Então

Erros em provas Considere a seguinte afirmação incorreta: ∃x∈R. ∀y∈R. (x y2 = y-x) O que está errado com a seguinte prova desta afirmação: Prova: Seja x = y/(y2+1). Então y-x = y- y/(y2+1) = y3/(y2+1) = (y/(y2+1)) y2 = xy2

Prova de existência - construtiva Prove que existe um número inteiro que pode ser escrito como a soma de dois cubos de diferentes maneiras 1729 = 103 + 93 = 123 + 13

Prova de existência - não construtiva Prove que existem números irracionais x e y tais que xy é racional. Prova: Considere =√2√2 Temos 2 possíveis casos: √2√2 é racional, o que conclui a prova √2√2 é irracional. Então, tomando x = √2√2 e y = √2, temos xy = (√2√2) √2 = √22 = 2.

Prova de existência - construtiva Prove que existem números irracionais x e y tais que xy é racional. Prova: Considere x=√2 e y=log29. Temos √2log29 = √22log23 = (√22)log23 = 2log23 = 3 Sabemos que √2 é irracional. Para completar a prova, basta mostrar que log29 é irracional. (continua…)

Prova de existência - construtiva Provando que log29 é irracional. Suponha, por contradição, que log29 é racional, i.e., log29 = a/b, onde a,b ∈𝑍, b≠0 Isso significa que 2(a/b) = 9. Elevando ambos os lados a b, obtemos 2a = 9b. Mas 2a é par, e 9b é ímpar. 2a = 9b – ABSURDO! Portanto log29 é irracional.

Existência e Unicidade A prova de uma afirmativa da forma ∃! x. f(x) tem duas partes: Prova de existência:∃x. f(x) Prova de unicidade: (∀y∀z. f(y) ∧ f(z) ➝ y=z) Exemplo: Prove que, para todo número real x>0, existe um único real y>0 tal que y(y+1)=x