CAPÍTULO 9 cosmologia relativística

Resumo de aulas anteriores Geodésica: menor distância entre dois pontos espaço euclidiano: linhas retas espaço esférico: arco de círculo máximo espaço hiperbólico: hipérbole Um caminho descrito por um corpo livre que obedece a 1a lei de Newton de movimento pode ser descrita expressando suas coordenadas espaciais como função do tempo: x(t), y(t), z(t) t absoluto Este caminho representa a menor distância entre dois pontos geodésica do espaço

CASO RELATIVÍSTICO: t é relativo Supondo um espaço plano 3-D dado por dl2=dx2+dy2+dz2 Pode-se substituí-lo por um espaço-tempo 4-D de Minkowski, definido pelas coordenadas espaciais x,y,z e pela distância temporal ct, onde x() , y() , z() , t() tempo próprio (absoluto) métrica pseudo-euclidiana ds2=c2dt2-|dl2| a distância espacial dl entre dois pontos num espaço 3-D é generalizada à distância ds entre dois eventos num E-T 4-D definido pelas coordenadas de tempo e espaço

Dois eventos separados no E-T são causamente conectados por sua separação espacial dl e temporal dt obedecendo a lei: ds2=c2dt2-|dl2| , se dl/dt=c dl=cdt ds2=c2dt2-c2dt2= 0 um sinal de luz tem separação nula ou atravessa um espaço de geodésicas nulas (ligth-like) O intervalo de tempo próprio d = ds/c (entre dois eventos ao longo da linha de mundo de um corpo) luz : d = 0 Limita o universo observável presente contém todas as linhas de mundo que podem ser observadas em princípio

Ҝ(t)=k / R2(t) Ҝ= 1/R2 R P Ҝ= -1/R2 MÉTRICA DE ROBERTSON-WALKER Sai do caso plano (K=0), para diferentes K ou geometrias possíveis Mas K é sempre constante (princípio cosmológico) Ҝ= 1/R2 X Y Z R P Ҝ= -1/R2 Geometrias Possíveis: fator de escala ou parâmetro de expansão Definição: Ҝ(t)=k / R2(t) k =-1,0,+1 A curvatura é constante somente num dado t, mas varia para tempos diferentes

universo como um fluído isotrópico e homogêneo : fluído cosmológico Suposições: universo como um fluído isotrópico e homogêneo : fluído cosmológico descrição da posição de um objeto no espaço: coordenadas comóveis como coordenadas lagrangeanas quantidade absoluta:  = tempo próprio medido por “relógios” em repouso em relação ao fluído cosmológico referencial inercial Vimos que a métrica de um espaço 3-D de Ҝ constante pode ser descrito como: a Raio próprio Onde a não é o raio próprio no espaço

a não é comóvel   = sin expandindo ou a contraindo a esfera a muda o seu valor mas  fica constante a R  corte vertical da esfera anterior: adimens. Podemos usar como coordenada comóvel:  = sin Substituindo na métrica r=R(t) e Ҝ=k/R2(t) MÉTRICA DE ROBERTSON WALKER (MRB) (1934)

MRW : ds2 = distância entre dois eventos num E-T 4D definidos pelas coordenadas de tempo e espaço Ao longo da linha de mundo de um observador comóvel (em repouso em relação a um dado ref. inercial) ds2espacial=0  ds2=c2dt2-ds2espacial  dds/c d=dt Pode-se demonstrar que se (,,) = constante é uma geodésica no E-T (todos os observadores comóveis estão em “queda livre”) Se (,,) = constante  d=d= d=0  ds2espacial=0  d=dt

Pelo princípio da equivalência: Demonstração: Pelo princípio da equivalência: gravitação é considerada como um aspecto intrínseco do E-T Campo gravitacional é uma “manifestação” da curvatura do E-T: goo determina propriedades geométricas do E-T (ex. K) Cada galáxia segue, além da expansão, um caminho “natural” descrito pela geometria do E-T movimentos de algumas galáxias são observados em direções diferentes da direção dada pelo movimento de recessão devido à expansão Postulado da TRG: corpos livres movem-se ao longo de geodésicas no E-T curvo Se (,,) = constante é uma geodésica  referencial comóvel  observador em “queda livre”

Sistema de coordenadas comóveis: está em repouso em relação à matéria no universo DEFINIÇÕES DE DISTÂNCIAS E VELOCIDADES PRÓPRIAS em termos da MRW Seja: nossa galáxia →coordenadas (,,)=(0,0,0) galáxia arbitrária → coordenadas (,0,0) definição de D própria → dDP=cdt (no E-T ds2=0) dD2P

Sendo  e  fixos: DP depende de R que depende do t Analisando: k=0 : DP=R(t)   pode crescer sem limite com DP Espaço plano (=a/R(t), DP=a)  universo não-ligado

 /2R k=+1: DP= R(t)arcsin  =sin(DP/R(t)) valor máximo de  : DP= /2R Viajando a uma distância DP=R através de um espaço curvo 3D voltamos ao ponto de partida!!! Universo com k>0 : ligado e fechado

 pode crescer indefinidamente com DP → k=-1: DP= R(t)arcsinh  =sinh(DP/R(t)) sinhx=(ex-e-x)/2  DP  pode crescer indefinidamente com DP → k=-1: universo não-ligado e aberto

Velocidade própria entre duas galáxias: Se Então: Onde: é o parâmetro de Hubble VP=H(t)DP é uma equação semelhante à de Hubble, não Estritamente igual pois envolvem DP e VP que não podem Ser medidas diretamente

EQUAÇÕES DE FRIEDMANN Obtidas a partir das equações de Einstein da TRG, usando a MRW: Gij = tensor de Einstein : descreve a geometria do universo Tij = tensor energia-momentum: descreve a distribuição de matéria e energia Distribuição de matéria+energia provoca uma curvatura no E-T que é descrita pelas equações de Einstein

Vimos que: campo gravitacional é uma “manifestação” da curvatura do E-T: Generalização desta equação para a TRG: A TRE diz que toda a forma de energia possui massa (E=mc2)  = matéria+ energia a generalização de  nos leva a Tij = distribuição de matéria e energia generalização de para uma métrica pseudo-riemanniana arbitrária leva ao chamado tensor de Einstein Gij que depende de gij e suas derivadas 1a e 2a

Em cosmologia Tij vai depender de 2 funções: pressão p(t) e densidade (t), onde p(t) é a pressão exercida num fluído cosmológico devido à radiação + movimento peculiar das galáxias pressão dinâmica Então chega-se a duas equações fundamentais que descrevem a dinâmica do universo: constante cosmológica

 → introduzida por Einstein para obter soluções para um universo em equilíbrio Soluções estáticas (R=cte) Combinando as duas equações: Equação do movimento que vai definir a expansão ou contração do universo Estas equações nos dão: k (geometria) e R(escalas de distância) do universo, conhecendo-se  e p. Obtemos a equação da evolução do universo R(t)  t para uma dada geometria

Notinha: se =0 e p=0  = cosmologia newtoniana para cte =0 No entanto R(t) tem outra interpretação... Vê-se que não existem soluções estáticas para =0,isto é, R=cte... por isso Einsten introduziu 