Conservação de Massa Esvaziamento de um tanque de água

Características do Tanque Base retangular com 13,9cm por 32,0cm de dimensões internas, e profundidade máxima de 25,0cm.

Característica Experimental ho nível inicial da água; hf é o nível final é ; h é o nível da água no instante genérico t; m é a massa correspondente de água contida no reservatório nesse mesmo instante; A, uma constante neste caso, é a área da superfície livre da água.

Resultados Experimentais

Primeira etapa da Modelagem – Lei fundamental de conservação Em um instante t e um pequeno intervalo de tempo t, tem-se: No instante t a massa de água contida no tanque é m e esse valor sofre uma redução de m durante o intervalo de t, pois uma pequena quantidade de água abandona o reservatório. m = - aQt, onde a é a massa específica da água e Q a vazão de efluxo. Dividindo-se por t, chega-se a m/t = - aQ, ou, no limite, com t tendendo a zero,

Substituindo-se m pelo produto aA(h-hf) obtém-se a equação diferencial seguinte: com a condição inicial, h=ho quanto t=0

Segunda Etapa da Modelagem – lei particular Conhecimento de como a Vazão (Q) depende da diferença de potencial (h-hf)

Primeira hipótese Supõe-se inicialmente, que a vazão de saída da água pelo orifício seja constante, igual a Qo, o seu valor observado no ínicio do processo, ou seja, na vizinhança de t=0. Como hf é uma constante

Resultado

Segunda hipótese Supõe-se que Q seja linearmente proporcional ao potencial (h–hf) em que Cb é uma constante. Substituindo-se este valor de Q na equação: Resulta uma nova equação diferencial:

O valor de Cb pode ser estimado a partir da condição inicial: ou: Resulta na equação diferencial: Equação Diferencial Ordinária Linear de 1ªOrdem

Resultado da Integração

Gráfico 1ª Hipótese 2ª Hipótese

Equação Separável não Linear Terceira Hipótese Supõe-se agora que Q = Cc (h – hf)1/2, em que Cc é uma nova constante. Q0 = Cc (h0 – hf)1/2 Equação Separável não Linear

Resultado da Integração

Gráfico 3ª Hipótese

Outra Alternativa Uma outra alternativa, igualmente válida, poderia ser a de um maior investimento na linha dedutiva ao se construir o modelo matemático Deixando-se menos espaço para a busca de relações particulares como foi feito neste caso, no qual foi preciso pesquisar-se a relação entre a vazão de saída Q e a carga hidráulica (h – hf).

Imagine... Um reservatório com nível constante (condição para regime permanente) descarrega água (supostamente um fluido incompressível) por um orifício circular na sua base. Por hipótese, o escoamento não tem perdas (fluido hipoteticamente não viscoso). Nestas condições, pode-se aplicar a equação de Bernoulli (que resulta do princípio de conservação da quantidade de movimento linear) entre dois pontos da mesma linha de corrente, digamos, os pontos 1 e 2 na Figura abaixo:

Relação entre Q e (h-hf) Equação de Bernoulli Como p1 e p2 são iguais à pressão atmosférica e V1 é igual a zero, resulta que a vazão de saída Q é proporcional à raiz quadrada da carga hidráulica.

Nova Situação

m = a (Qe - Qs).t

m = aA(h–hf) Note que Qe é constante e Qs é regido pela mesma lei particular observada nos experimentos anteriores.