Inferências para uma amostra Até agora: ICs e testes de hipótese para uma amostra X1, X2, …, Xn i.i.d. N(0,1) Baseados no fato de que, sob a hipótese nula (m = m0 ou s2 = s02), determinadas estatísticas têm distribuições conhecidas. Para testar a hipótese nula, basta comparar o valor dessas estatísticas com os pontos críticos apropriados de suas distribuições.

Inferências para uma amostra Estatísticas de Teste: (sob a hipótese nula)

Inferências para duas amostras X1, …, Xm i.i.d N(m1, s12) Y1, …, Yn i.i.d N(m2, s22) com Xi e Yj independentes, para todo i e j (observações não pareadas) Também pode ser considerado o caso em que as observações são pareadas.

Testes e ICs para as médias Baseados nas estatísticas (variâncias conhecidas ou grandes amostras) (variâncias desconhecidas, mas iguais) No caso geral, é necessário recorrer a um teste aproximado.

Testes e ICs para variância Ho: s12 = s22 vs H1: s12  s22 Estatística do teste:

A distribuição F Sejam U e V v.a. independentes, com distribuição cm2 e cn2, respectivamente. A distribuição de é chamada de distribuição F com (m, n) graus de liberdade.

Exemplo

Inferência para m amostras Análise da Variância (ANOVA) com um único fator m grupos de observações Xi1, Xi2, …, Xi ni i.i.d. N(mi, si2), i = 1, .., I todas as observações independentes entre si. em geral, a análise é feita supondo que as variâncias de todos os grupos são iguais.

Teste para a igualdade das médias H0: m1 = m2 = …= mI H1: nem todas as médias são iguais Estatísticas de interesse:

Teste para a igualdade das médias Teorema SQT = SQTr + SQE Sob a hipótese nula, SQTr e SQE são independentes, com distribuições c2I–1 e c2N–I, respectivamente, onde N = n1+…+nI é o número total de observações. Logo, QME = SQE/(N–I) é um estimador não viciado da variância s2.

Tabela ANOVA Fonte de Variação Graus de liberdade Soma dos Quadrados Média dos Quadrados F Tratamentos (Entre) I–1 SQTr QMtr QMTr/QME Erros (Intra) N–I SQE QME Total N–1 SQT

Exemplo

Regressão Linear Simples Modelo: Yi = b0 + b1xi + ei, i = 1, …, n, onde e1, e2, …, en i.i.d. N(0, s2) Problemas Estimação pontual e intervalar de b0 e b1 Testes de hipótese (o mais importante: teste de “relevância do modelo”). Predição

Estimação Pontual A estimação de máxima verossimilhança de b0 e b1 resulta da minimização de S (Yi – b0 – b1xi)2 Os estimadores acima são os ENVUMV de b0 e b1 O ENVUMV de s2 é:

Exemplo Xi Yi 1 2 3 7

Relevância do Modelo Teste de utilidade do modelo H0: b1 = 0 vs. H1: b1  0 Pode-se empregar um teste relativo à distribuição de b1 (teste t) ou um teste ANOVA (generalizável para regressão múltipla) Estatísticas relevantes

Teste de Relevância do Modelo Teorema SQT = SQR + SQE Sob a hipótese nula, SQR e SQE são independentes, com distribuições c21 e c2n–2, respectivamente. Logo A razão R2 = SQR/SQT é chamado de coeficiente de determinação.

Tabela ANOVA Fonte de Variação Graus de liberdade Soma dos Quadrados Média dos Quadrados F Regressão 1 SQR QMR QMR/S2 Erros n–2 SQE S2 Total n–1 SQT

Inferências relativas aos coeficientes Baseadas nas estatísticas abaixo:

Intervalos de Predição Para predizer o valor de Y quando x = x* Baseados em