8.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Parte 7A 8.1–INTRODUÇÃO – PVI’s 8.2–MÉTODOS DE PASSO SIMPLES 8.3–MÉTODOS DE PASSO MÚLTIPLO 8.4–MÉTODOS PREVISOR-CORRETOR 8.5–EDOs DE ORDEM SUPERIOR 8.6-PVC’s E O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS hoje

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.1. Introdução Seja um PVC de segunda ordem dado por: onde são constantes reais conhecidas, tais que nem , nem , sejam nulas, simultaneamente.

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.1. Introdução O PVC de segunda ordem dado, tem a forma mais geral possível. Quando os valores de um PVC são dados na fronteira, por exemplo: dizemos que temos um problema de Dirichlet. Quando os valores da derivada de um PVC são dados na fronteira, por exemplo: dizemos que temos um problema de Neumann. P.G. Dirichlet (1805-1858) e K.G. Neumann (1832-1925)

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.1. Introdução Para o PVC de segunda ordem onde , dizemos que o PVC é homogêneo e a solução trivial é solução.

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização A idéia básica do Método de Diferenças Finitas transformar o PVC em um sistema de equaçõ-es algébricas, aproximando as derivadas por Diferenças Finitas. Considere o intervalo do PVC dado por Fazemos . Fazendo uma partição Regular, sejam n subintervalos iguais de compri- mento

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização Assim, Notação: Se for linear em o sistema algébrico a ser resolvido será linear e podemos utilizar o Método de Lagrange para resolvê-lo. Se for não-linear em o sistema algébrico a ser resolvido será não-linear e podemos utilizar o Método de Newton para resolvê-lo.

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização As aproximações mais utilizadas para de- rivadas primeiras são: Diferença avançada Diferença atrasada Diferença centrada

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização Graficamente: aproximação por diferença avançada Derivada aproximada Derivada correta

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização Graficamente: aproximação por diferença atrasada Derivada correta Derivada aproximada

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização Graficamente: aproximação por diferença centrada Derivada aproximada Derivada correta

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização Note que cometemos um erro ao aproximar a derivada pelas fórmulas discretas apresen- tadas. O erro cometido, da fórmula de Taylor, é Assim:

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização Definição: Dizemos que é , se existe uma constante . Da definição, se , então a expressão de diferença avançada, para aproxi- mar são de ordem , pois

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização Analogamente, da definição, se então a expressão de diferença atrasada, para aproximar é de ordem , pois

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização Enfim, para diferença centrada temos que: Somando as aproximações

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização De modo que, a aproximação por diferença cen- Trada é de ordem . A fórmula de diferen- ças centradas é mais utilizada.

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização Discretização de derivadas segundas. Novamen- te a partir da série de Taylor, expandindo até a terceira ordem Somando as aproximações:

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.2. Discretização

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear Exemplo 1: PVC linear Dividindo o intervalo [0,1] em n subintervalos de comprimento h, segue que Como conhecemos resta calcular

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear Utilizando diferenças centradas para a deriva-da primeira e a discretização deduzida para a derivada segunda, ou seja: e sendo ambas aproximações de segunda ordem, para cada i, a EDO discretizada fica

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear Como reescrevemos a equação discreta A primeira equação (i=1), utilizando as condi- ções no contorno, escreve-se como: Analogamente, para (i=n-1), temos a equação

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear Temos que resolver o seguinte sistema linear Temos um sistema de n-1 equações, tridiagonal, a resolver, vejamos matricialmente:

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear Reescrevendo matricialmente o sistema linear onde

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear Note que matrizes tridiagonais são esparsas e neste caso não é conveniente utilizar métodos diretos para resolvê-las, ou seja, Método de Gauss, LU, Cholesky, entre outros. Métodos diretos provocam o preenchimento da matriz, ou seja, durante o processo de eliminação, os erros de truncamento, geram não-nulos em posições onde antes, originalmente, tínhamos termos nulos. Em matrizes esparsas deve-se utilizar métodos iterativos tipo Gauss-Seidel, associados a técnicas especiais para o armazenamento da matriz, as quais tiram proveito de sua esparsidade.

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear Resolvendo o sistema linear iterativamente por Gauss- Seidel, para , temos erros de ordem x Sol. Numer. Sol. Exata Erro 0.1000 -0.2720 -0.2713 0.0007 0.2000 -0.4911 -0.49 0.0011 0.3000 -0.6641 -0.6629 0.0013 0.4000 -0.7969 -0.7956 0.5000 -0.8947 -0.8935 0.0012 0.6000 -0.9620 -0.9610 0.0010 0.7000 -1.0029 -1.0020 0.0009 0.8000 -1.0208 -1.0203 0.0006 0.9000 -1.0190 -1.0187 0.0003

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear Novamente por Gauss-Seidel, com , e erros de x Sol. Numer. Sol. Exata Erro 0.0500 -0.1428 -0.1427 0.0001 0.1000 -0.2715 -0.2713 0.0002 0.1500 -0.3870 -0.3868 0.2000 -0.4903 -0.49 0.0003 0.2500 -0.5821 -0.5818 0.3000 -0.6632 -0.6629 0.3500 -0.7342 -0.7339 0.4000 -0.7959 -0.7956 0.4500 -0.8489 -0.8486 0.5000 -0.8938 -0.8935 .... 0.8000 -1.0204 -1.0203 0.8500 -1.0219 -1.0218 0.9000 -1.0188 -1.0187 0.9500 -1.0114 -1.0113

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.4. PVC Não-Linear Exemplo 2: PVC não-linear Dividindo o intervalo [0,1] em n subintervalos de comprimento h, segue que Como conhecemos resta calcular

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.4. PVC Não-Linear Utilizando diferenças centradas para a deriva-da primeira e a discretização deduzida para a derivada segunda, ou seja: e sendo ambas aproximações de segunda ordem, para cada i, a EDO discretizada fica

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.4. PVC Não-Linear Como reescrevemos a equação discreta A primeira equação (i=1), utilizando as condi- ções no contorno, escreve-se como: Analogamente, para (i=n-1), temos a equação

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.4. PVC Não-Linear Temos que resolver o seguinte sistema linear Temos um sistema de n-1 equações, tridiagonal, a resolver. Utilize um método quase-Newton, por exemplo, para resolvê-lo.

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.5. PVC Condições Mistas Quando temos condições mistas do tipo uma idéia é utilizar diferenças avançadas para descrever e deste modo a com- dição de contorno escreve-se como:

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.5. PVC Condições Mistas Exemplo 3: PVC linear com condição mista Discretizando a EDO A primeira equação (i=1), utilizando as condi- ções no contorno,

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.5. PVC Condições Mistas Exemplo 3: PVC linear com condição mista Discretizando a EDO A primeira equação (i=1), utilizando as condi- ções no contorno,

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.5. PVC Condições Mistas Note que ao aproximar a derivada primeira na condição de contorno por diferença avançada, cometemos erros da ordem de . Poderíamos ter aproximado a derivada, na condição de contorno, por diferença centrada e com isto garantido erros da ordem Neste caso, temos que incluir um ponto a mais (x-1,y-1) nossa tabela e temos um sistema nxn

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.4. PVC Não-Linear Então temos o sistema com a condição A primeira equação (i=0), utilizando a condição no contorno, escreve-se como: Cuidado: deduzida para i=1,2,..,n-1

8. PVC’s e Diferenças Finitas 8.5.3. PVC Linear Enfim, temos que resolver o seguinte sistema linear Temos um sistema de n equações, tridiagonal, a resolver.

Trabalho Final Seção 11.4 – Burden – Faires Exercício 1 – Carolina Exercício 3 a – Everton Exercício 3 a – José Exercício 3 a – João Exercício 3 a – Vinícius