Tópicos Fundamentais de Cálculo Proposicional

Um problema a resolver com lógica: No seguimento do assalto a um Banco, as investigações policiais permitiram a identificação de três indivíduos (o João, o Manuel e a Ana) como suspeitos e a certeza de que pelo menos um deles é culpado. As informações recolhidas durante a investigação policial levaram ainda às seguintes conclusões: se o Manuel está metido no assunto, a Ana também está; se o João é culpado e o Manuel inocente, então a Ana é culpada; o João nunca faz equipa com a Ana; a Ana não podia fazer isto sozinha. Quem efetuou o assalto?

Linguagem Natural e Linguagem Formalizada (conjunto de fórmulas bem formadas) Objeto do Cálculo Proposicional Proposições Relações formais entre proposições Tradução 1: Redução das proposições a símbolos não interpretados (variáveis proposicionais) Tradução 2 Interpretação semântica das fórmulas bem formadas Uma linguagem: Variáveis proposicionais Operdadoes Argumentos em linguagem natural Proposições expressas em linguagem natural , empiricamente contrastáveis Uma sintaxe: Regras de formação Regras de transformação

Dois pressupostos do Cálculo Proposicional 1º Pressuposto: As proposições atómicas só admitem dois valores de verdade: O verdadeiro O Falso 2º Pressuposto: O valor de verdade das proposições complexas depende exclusivamente do valor de verdade das proposições atómicas.

Uma Linguagem Formal Variáveis proposicionais: Operadores lógicos: Símbolos (p, q, r, s, …) em vez de proposições Operadores lógicos: (ou conetores ou conetivas ou operadores verofuncionais) Operador unário: Negação ( ou ) Operadores binários: Conjunção (  ) Disjunção (  ) Implicação ( ) Equivalência ( ) Separadores: Sinais de pontuação : (…), [(…]], {[(…)]}

Expressões Bem Formadas (ebf) Regras de Formação e Expressões Bem Formadas (ebf) Qualquer variável proposicional é uma ebf. p, q, r são ebf. Se p, q, r são ebf, então: então ~p, ~q, ~r são ebf. P Ù q é uma ebf P Ú q é uma ebf p  q é uma ebf p  q é uma ebf.

Das linguagens naturais à linguagem do Cálculo Proposicional As proposições simples (atómicas): expressas a través de frases declarati- vas simples; são substituídas por símbolos (variáveis proposicionais). As proposições complexas (moleculares), relacionam logicamente pro- posições simples, são representadas: pelos simbolos (variáveis proposicionais) que repre-sentam as proposições simples; e pelos operadores lógicos que representam as rela-ções formais entre as vari-áveis proposicionais.

Proposições complexas (moleculares) Das linguagens naturais à linguagem do Cálculo Proposicional Proposições simples (atómicas) Descartes é francês ( p ) Kant é alemão ( q ) Proposições complexas (moleculares) Descartes é francês e Kant é alemão pq Descartes é francês ou Kant é alemão pq Se Descartes é francês, então Kant é alemão pq

Operações lógicas e tabelas de verdade Uma variável proposicional simboliza uma proposição. Se uma proposição é verdadeira ou falsa, o mesmo não se po- de dizer de uma variável proposicional. Mas as variáveis proposicionais, em lógica bivalente, podem assumir um de dois valores de verdade, distribuídos numa ta- bela de verdade: Verdadeiro (V) ou Falso (F). Uma tabela de verdade regista todos os valores de verdade que uma variável ou uma expressão proposicional pode as- sumir Assim, as variáveis proposicionais p e q atrás referidas têm as seguintes tabelas de verdade. p q V V F F

Tabela de verdade da negação Operações lógicas e tabelas de verdade Operador Negação Notação Formalização Tradução Exemplos  ou  p  p Não p Negação de p É falso que p Não é verdade que p Não é o caso que p Descartes não é alemão É falso que Descartes seja alemão. Não é verdade que Descartes seja alemão. Não é o caso que Descartes seja alemão Tabela de verdade da negação p p V F

Tabela de verdade da conjunção Operações lógicas e tabelas de verdade Operador Conjunção Notação Formalização Tradução Exemplos  p  q p e q Descartes é francês e Kant é alemão. Descartes é francês, mas Kant é alemão. Tabela de verdade da conjunção p, q p  q V, V V V, F F F, V A conjunção só é verdadeira na circunstância em que as as duas conjuntas são verdadeiras. Em todas as outras circunstâncias a conjunção é falsa.

Tabela de verdade da disjunção Operações lógicas e tabelas de verdade Operador Disjunção Notação Formalização Tradução Exemplos  p  q p ou q Descartes é francês ou Kant é alemão. Tabela de verdade da disjunção p, q p  q V, V V V, F F, V F A disjunção só é falsa na circunstância em que as duas disjuntas são falsas. Em todas as outras circunstâncias a disjunção é verdadeira. A verdade da disjunção apenas nos compromete com a verdade de uma das disjuntas.

Operações lógicas e tabelas de verdade Operador Condicional ou Implicação Material Notação Formalização Tradução Exemplos  p  q Se p então q Se Descartes é francês então Kant é alemão. Descartes é francês, a não ser que Kant seja alemão. Tabela de verdade da implicação p, q p  q V, V V V, F F F, V A condicional só é falsa na circunstância em que a antecedente é verdadeira e a consequente falsa. Em todas as outras circunstâncias a condicional é verdadeira. Assim, qualquer condicional como uma antecedente falsa é verdadeira.

Operações lógicas e tabelas de verdade Operador Bicondicional ou Equivalência Notação Formalização Tradução Exemplos  P q p se e só se q Descartes não é francês e Kant é alemão. Descartes é francês, mas Kant é alemão. Tabela de verdade da Equivalência p, q p q V, V V V, F F F, V F, F A bicondicional é verdadeira na circunstância em que as variáveis proposicioanis são ambas verdadeiras ou são ambas falsas. Em qualquer outra circunstância é falsa.

Tabelas de verdade de proposições complexas A noção de âmbito de uma conetiva: O âmbito de uma conetiva é o conjunto das variáveis propo- sicionais que por ela são afetadas. O uso de parêntesis (quais sinais de pontuação) ajuda a de- limitar o âmbito de uma conetiva. Exemplos: P p  q p  q p  q p  q p  q p  q p  q p  q (pq) (p q) p  (q  p) p v [q  (p  q)]

Exercícios com tabelas de verdade Construa a tabela de verdade das seguintes proposições complexas. pq pq (pq) (pq) (pq)

Exercícios com tabelas de verdade Construa a tabela de verdade das seguintes proposições complexas. (pq)r p(qr) q(pr) [(qr)(pr)](rp) [(pq)r](rp)

Formalização de Proposições Complexas Converta para linguagem do cálculo proposicional: Se a caixa é amarela, então a bola não é verde. Se eu sou jogador, então a bola não é verde A caixa não é amarela ou a bola não é verde A bola é verde, se e só se a caixa é amarela Os aventureiros são destemidos e heróis. Os cobardes ficam em casa.

Formalização de Proposições Complexas Converta para linguagem do cálculo proposicional: Se está sol e a leitura é agradável, então estudo. Se Deus é omnipotente, o mundo é perfeito. Se o mundo é perfeito, o homem não sofre. Assim, se Deus é omnipotente, o homem não sofre. Se os homens são racionais, têm consciência do que fazem. Os doentes mentais não têm consciência do que fazem. É claro que os doentes mentais não são racionais. A inteligência é fundamental, a não ser que as emoções e a sensibilidade sejam controláveis. Mas as emoções e a sensibilidade não são controláveis. Por conseguinte, a inteligência é fundamental.

Tautologias, Contradições, Contingências Construa as tabelas de verdade das seguintes proposições complexas: (pq)(qp) (pq)r (pq)(pq)

Tautologias, Contradições, Contingências Tautologia : é uma fórmula proposicional que é sempre verdadeira, qualquer que seja o valor de verdade dos enunciados que a compõem. A sua verdade depende apenas da sua estrutura lógica, indepen- dentemente do valor de verdade das proposições atómicas que as constituem. O seu valor de verdade não depende da experiência empírica que temos do mundo. Tais fórmulas lógicas são válidas em to- dos os mundos possíveis. Contradição: é uma fórmula proposicional que é sempre falsa, seja qual for o valor lógico das proposições elementares que a constituem. A contradição é necessariamente falsa, não por razões empíricas, mas apenas pela sua estrutura lógica. Contingentes (indeterminadas): são fórmulas proposicionais que podem ser verdadeiras ou falsas, em função do valor de verdade das proposições atómicas que as constituem. Só o recurso ao domínio empírico pode decidir do respetivo valor de verdade.

Tautologias, Contradições, Contingências Para cada uma das expressões proposicionais seguintes, verifique se é uma tautologia, uma contradição ou uma contingência. (pq)(pq) (pq)q [(pq)q]p (pq)(pq)

O método dos Inspetores de Circunstâncias Análise de Proposições Complexas e Avaliação de Argumentos O método dos Inspetores de Circunstâncias Até agora trabalhamos com fórmulas proposicionais, sem ter em conta se se trata ou não de argumentos. Há fórmulas proposicionais que são argumentos. Há fórmulas proposicionais que não são argumentos Um argumento é uma sequência de proposições ordenadas de tal forma que uma delas é a conclusão e a(s) outra(s) é (são) as premissas.

Análise de Proposições Complexas e Avaliação de Argumentos O método dos Inspetores de Circunstâncias Há argumentos dedutivos e argumentos não dedutivos Há argumentos válidos e argumentos não válidos A Lógica Formal considera apenas os argumentos dedutivos Um argumento dedutivo válido que parte de premissas verdadeiras conduz a uma conclusão verdadeira: Num argumento dedutivo válido, as premissas implicam a conclusão. As premissas implicam a conclusão se for impossível que, sendo as premissas verdadeiras, a conclusão seja falsa.

O método do Inspetor de Circunstâncias Análise de Proposições Complexas e Avaliação de Argumentos O método do Inspetor de Circunstâncias Uma vez que as condições de verdade das conetivas se podem representar em tabelas de verdade, podemos também usar sequências de tabelas de verdade para testar a validade de argumentos baseados nas conectivas. O método das tabelas de verdade serve para determinar o valor de verdade de proposições atómicas ou moleculares. O método do inspetor de circunstâncias serve para testar a validade dos argumentos. Um argumento não tem valores de verdade, é válido ou não válido. O método do inspetor de circunstâncias consiste em apresentar, lado a lado, as tabelas das premissas e da conclusão e verificar se há ou não um caso em que, sendo as premissas ver­dadeiras, a conclusão seja falsa

O método do Inspetor de Circunstâncias Análise de Proposições Complexas e Avaliação de Argumentos O método do Inspetor de Circunstâncias Exemplo 1: O João copiou ou o João estudou Ora o João não copiou Logo, o João estudou Dicionário: Simbolicamente: p: O João copiou pq q: O João estudou. p q Mas o argumento também pode ser representado assim: “pq, ~p ╞ q”. As premissas estão separadas por vírgulas e o símbolo “╞”, chamado “martelo semântico” e que se lê “logo”, precede a conclusão, separando-a das premissas. O argumento pode ainda ser representado por uma sequência de tabelas de verdade, como abaixo p, q pq p ╞ q V, V V F V, F F, V F, F

O método do Inspetor de Circunstâncias Análise de Proposições Complexas e Avaliação de Argumentos O método do Inspetor de Circunstâncias O dispositivo gráfico (o inspetor de circunstâncias) mostra todas as circunstâncias (linhas) possíveis para a combinação dos valores de verdade de p e de q (1ª coluna), bem como os valores de verdade que, nessas circunstâncias, são assumidos por cada uma das premissas e pela conclusão. p, q pq p ╞ q V, V V F V, F F, V F, F Observando o inspetor de circunstâncias, verifica-se que: Consideradas todas as linhas, não acontece que a premissas verda- deiras se suceda uma conclusão falsa. Como o inspetor esgota as circunstâncias (linhas) possíveis, prova-se que é impossível que a premissas verdadeiras se suceda uma con- clusão falsa. Assim, o argumento é válido.

O método do Inspetor de Circunstâncias Análise de Proposições Complexas e Avaliação de Argumentos O método do Inspetor de Circunstâncias Exemplo 2: Sócrates é romano ou grego. Logo, é romano Dicionário: Simbolicamente: p: Sócrates é romano pq q: Sócrates é grego. p Mas o argumento também pode ser representado assim: “pq╞ p”. O argumento pode ainda ser representado por uma sequência de tabelas de verdade, como abaixo p, q pq ╞ p V, V V V, F F, V F F, F O argumento é inválido: Numa das circunstâncias em que a premissa é verdadeira, a conclusão é falsa. Neste argumento, a conclusão pode ser falsa, ainda que a premissa seja verdadeira – precisamente o que não pode acontecer num argumento váli- do.

Notas complementares: Análise de Proposições Complexas e Avaliação de Argumentos O método do Inspetor de Circunstâncias Notas complementares: 1.Pode parecer que o argumento é válido nas duas primeiras circunstâncias (duas primeiras linhas) e inválido na terceira. Mas tenha-se em conta o seguinte: Não se pode dar o caso de um argumento ser válido uma vezes e não válido outras vezes. Um argumento ou é válido ou não é válido. 2.Um argumento válido é aquele em que, em todas as circunstân- cias (linhas) em que as premissas sejam verdadeiras, a conclu- são também o seja.

O método do Inspetor de Circunstâncias Análise de Proposições Complexas e Avaliação de Argumentos O método do Inspetor de Circunstâncias Notas complementares – (Cont.): 3.Importa não esquecer estes dois pontos sobre o argumento válido: Se tem premissas verdadeiras, não pode ter conclusão falsa; Se tem conclusão falsa, então pelo menos uma das premissas é falsa. 4.Um argumento válido que parte de premissas verdadeiras leva necessariamente a uma conclusão verdadeira. 5.Um argumento que respeite as duas condições para garantir a verdade da conclusão — a de ser válido e a de ter premissas verdadeiras — cumpre o objetivo de todo o argumento dedutivo e chamamos-lhe argumento sólido.

Argumento Válido vs Argumento Sólido Análise de Proposições Complexas e Avaliação de Argumentos O método do Inspetor de Circunstâncias Argumento Válido vs Argumento Sólido Exemplo 3: As baleias são peixes ou as baleias são insetos Ora, as baleias não são insetos. Logo, as baleias são peixes. Para: p –as baleias são peixes; q – as baleias são insetos p  q, q ╞ p p, q pq q ╞ p V, V V F V, F F, V F, F O argumento é válido – em nenhuma circunstância se verifica que a premis- sas verdadeiras se suceda uma conclusão falsa (tem a mesma forma do argu- mento do exemplo 1). Mas, em vez de ser sólido, este é um argumento muito mau: a primeira pre- missa é uma falsidade grosseira, como o é também a conclusão.

O método do Inspetor de Circunstâncias Análise de Proposições Complexas e Avaliação de Argumentos O método do Inspetor de Circunstâncias Exemplo 4: Se a baleia é um mamífero, então a baleia não é um inseto. Ora, a baleia não é um inseto. Logo, a baleia é um mamífero Para: p – A baleia é um mamífero q – A baleia é um inseto pq, q ╞ p p, q pq q ╞ p V, V F V V, F F, V F, F Neste argumento, como se sabe, tanto as premissas como a conclusão são verda-deiras. Mas o argumento não é válido – na quarta linha, as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa. Não sendo o argumento válido, obviamente também não é sólido – o facto de a conclusão ser verdadeira é irrelevante – o inspetor prova que tal acontece por acaso, não por a conclusão ser implicada pelas premissas.

Formas de Inferência Válidas Recapitulando 1: As fórmulas proposicionais, considerando os seus possíveis valores de verdade, podem ser: Analíticas Tautologias Contradições Sintáticas Contingentes Tautologias São leis lógicas (assu-mem sempre o valor de verdade “verdadeiro”, para todos os valores de verdade que as vari-áveis proposicionais nelas contidas possam assumir. Contradições São impossibilidades ló-gicas (necessariamente falsas, pela sua estrutura formal, para todos os va-lores de verdade que as variáveis proposicionais nelas contidas possam assumir). Contingentes O valor de verdade das ex-pressões contingentes só pode ser decidido por re-curso à tradução das suas variáveis proposicionais em proposições empiricamente significantes.

Formas de Inferência Válidas Recapitulando 2: Por inferência entende-se o processo pelo qual, partindo de certas proposições dadas (premissas), se obtém, por dedução, outra proposição (conclusão). O que sustenta a conclusão A validade do processo de passagem das premissas à conclusão O valor de verdade das premissas + Se as premissas forem verdadeiras e se a derivação lógica (dedução) for válida, a conclusão é necessariamente verdadeira

Formas de Inferência Válidas Assim: O processo dedutivo (de caráter puramente lógico, formal) assenta apenas em bases lógicas. A passagem das premissas à conclusão assenta apenas em regras lógicas (tautologias) que lhe servem de garantia formal. As tautologias funcionam como fórmulas intermediárias cuja função é estabelecer uma relação lógica entre as premissas e a conclusão. As tautologias apresentam-se assim como regras de derivação (regras de transformação)que permitem substituir umas proposições (premissas) por outras que lhes são equivalentes.

Formas de Inferência Válidas Algumas regras de inferência: O modus ponens (de ponere = afirmar): Dada uma condicional, afirmar o antecedente implica afirmar o consequente). [( p → q )  p ] → q Dada a afirmação (p →q), a afirmação da verdade de p implica a afirmação da verdade de q. Modus Tollens (de tollere - negar) Dada uma condicional, negar o consequente implica negar o antecedente. [( p → q ) ~q] → ~ p Dada a afirmação ( p → q ), a negação da verdade de q implica a negação da verdade de p.

Formas de Inferência Válidas Mais regras de inferência: Contraposição (do condicional): (p→q) ↔ (~q→~p) Silogismo hipotético (ou da transitividade do condicional): [(p→q)  (q→r)]→ (p→r) Silogismo disjuntivo (ou da inferência da alternativa): [(pq)~q]→p As Leis de Morgan: Negação da conjunção: (p  p) ↔(~p  ~q) (primeira lei de Morgan) Negação da disjunção: ~(pp) ↔(~p~q) (segunda lei de Morgan).

Falácias Formais A lógica trata da análise da estrutura formal do raciocínio, tendo em vista determinar a sua correção (formal). Mas... determinar a correção do raciocínio é também determinar em que condições um raciocí-nio é incorreto. Nem sempre a correção (ou incorreção) de um raciocínio se nota imediatamente. Acontece mesmo, por vezes, que o raciocínio incorreto (que contém em si um erro lógico) se apresente aparentemente como verdadeiro.

Falácias Formais Uma falácia é um raciocínio incorreto (ainda que aparentemente possa parecer correto). Uma falácia é um erro de raciocínio (um erro lógico). A falácia manifesta-se como: uma verdade aparente que dá ao raciocínio uma força persuasiva injustificada. um erro oculto (uma infração das regras do pensamento correto) – porque admite premissas falsas ou porque delas extrai conclusões ilegítimas.

Falácias Formais Tipos de Falácias: Antes de mais uma falácia pode ser: involuntária (um erro lógico não intencional) e chama-se paralogismo ou voluntária (um erro lógico intencional, visando enganar o interlocutor) e chama-se sofisma. Além disso, as falácias podem ser: formais (do domínio lógico-dedutivo); informais (delas trataremos noutro capítulo)

Falácias Formais Falácias Dedutivas (Falácias Formais) A dedução é uma operação que se funda exclusivamente em regras formais de inferência. Dada a verdade das premissas e respeitadas as regras formais de inferência, a conclusão é necessariamente verdadeira. Viu-se que, em termos de cálculo proposicional, uma inferência só é válida se é uma tautologia. Um raciocínio válido pode sempre ser reduzido a uma tautologia. Sermpre que há violação de uma regra de infer~encia dedutiva

Falácias Formais Sempre que há violação de uma regra de inferência dedutiva, há uma falácia formal. Sempre que há violação de uma regra de inferência dedutiva, há uma falácia formal. A um argumento válido pode sempre estar associada uma falácia (por violação das regras de inferência válida. Exemplos de argumentos dedutivos válidos e respe-tivas falácias formais: Argumento válido Falácia Modus ponens: Afirmando o antecedente, afirma-se o consequente Falácia do modus ponens: Afirmando o consequente, afirma-se o antecedente [( p → q )  p ] → q [( p → q )  q ] → p Modus tollens: Negando o consequente, nega-se o antecedente Falácia do modus tollens Negando o antecedente, nega-se o consequente [( p → q ) ~q] → ~ p [( p → q ) ~p] → ~ q