Lógica e Teoria dos Conjuntos Introdução à Lógica Bivalente Teste 1

Sempre que tiver dúvidas, consulte o Essencial e recorra ao sítio http://www.wolframalpha.com/ para testar as suas hipóteses.

Questão 1 «A Rita afirma que tem um tio e uma tia.» Na afirmação da Rita podemos identificar duas proposições: p: A Rita tem um tio. q: A Rita tem uma tia. Para que valores lógicos de p e de q se considera que a afirmação da Rita é verdadeira?

Resolução Dadas as proposições: p: A Rita tem um tio. q: A Rita tem uma tia. A afirmação «A Rita afirma que tem um tio e uma tia» pode traduzir-se pela proposição . Como a conjunção de proposições só é verdadeira se ambas as proposições forem verdadeiras, conclui-se que a afirmação da Rita é verdadeira quando as proposições p e q são verdadeiras.

Questão 2 «O João afirma que no próximo fim de semana vai à praia ou ao cinema.» Na afirmação do João podemos identificar duas proposições: p: O João vai à praia. q: O João vai ao cinema. Para que valores lógicos de p e de q se considera que a afirmação do João é falsa?

Resolução «O João afirma que no próximo fim de semana vai à praia ou ao cinema.» Dadas as proposições: p: O João vai à praia. q: O João vai ao cinema. A afirmação do João pode traduzir-se por . Como a disjunção de proposições é falsa somente quando ambas as proposições são falsas, conclui-se que a afirmação do João é falsa quando p e q são ambas falsas.

Questão 3 Sejam p, q e r proposições. Simplifique as proposições: 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

Resolução 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Resolução 3.6 3.7

Questão 4 Considere as proposições: p: A Cristina joga ténis. q: A Cristina pratica atletismo. r: A Cristina pratica natação. Seja a a proposição . 4.1 Escreva, sem utilizar o símbolo , uma expressão simplificada de a. 4.2 Escreva uma expressão simplificada de . 4.3 Escreva, em linguagem corrente, a negação da proposição a. 4.4 Num determinado mês sabe-se que é verdadeira. Identifique que desportos pratica a Cristina nesse mês.

Resolução 4.1 4.2 4.3 A Cristina joga ténis, pratica atletismo e pratica natação. 4.4 Se é verdadeira, então é falsa. Sabe-se, então, que é verdadeira e é falsa. Logo, p é falsa. Como é falsa, então é falsa e r também é falsa, ou seja, q é verdadeira e r é falsa. Portanto, nesse mês a Cristina pratica atletismo (não joga ténis nem pratica natação).

Questão 5 Indique uma proposição a , com as proposições p e q e envolvendo e , que admita a seguinte tabela de verdade: p q a F V

Resolução Considere-se . p q F V

Questão 6 Considere as proposições: Identifique, se existirem, proposições equivalentes.

Resolução p q r V F

Resolução V F

Resolução Por observação da tabela de verdade construída conclui-se que apenas as expressões e são equivalentes. Nota: Observe-se que as proposições são contrarrecíprocas. No sítio http://www.wolframalpha.com/ poderá verificar as respostas rapidamente.

Questão 7 Usando tabelas de verdade, verifique que: 7.1 As proposições e são equivalentes. 7.2 As proposições e são equivalentes.

Resolução 7.1 p q V F As proposições são equivalentes.

Resolução 7.2 p q r V F As proposições são equivalentes.

Questão 8 Prove que são tautologias as proposições: 8.1 ; 8.2 .

Resolução 8.1 p q V F é uma tautologia.

Resolução 8.2 p q V F é uma tautologia.

Questão 9 Sabendo que é verdadeira, determine o valor lógico das proposições p e q.

Resolução Como a conjunção de duas proposições é verdadeira apenas se as duas forem verdadeiras, conclui-se que e são proposições verdadeiras. Portanto, p é uma proposição falsa. Se p é falsa, então é uma proposição verdadeira e é falsa. Como é uma proposição verdadeira, é verdadeira, ou seja, q é verdadeira. Conclusão: p é uma proposição falsa e q é uma proposição verdadeira.

Questão 10 Considere as seguintes proposições: p: 3 é solução de q: r: 10.1 Determine o valor lógico de p, q e r.

Questão 10 10.2 Indique o valor lógico de: 10.2.1 10.2.2 10.2.3 10.2.4 10.2.5 10.2.6 10.2.7 10.2.8 10.2.9 10.2.10

Resolução 10.1 Como , 3 é solução de . Logo, p é verdadeira. Como , . Logo, q é falsa. Como , . Logo, r é verdadeira.

10.2 10.2.1 é falsa. 10.2.2 é verdadeira. 10.2.3 é verdadeira. 10.2.4 é falsa. 10.2.5 é verdadeira. 10.2.6 é verdadeira. 10.2.7 é verdadeira. 10.2.8 é falsa. 10.2.9 é verdadeira. 10.2.10 é verdadeira.