ANÁLISE GRÁFICA DA FUNÇÃO E DE SUA DERIVADA Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e Matemática ANÁLISE GRÁFICA DA FUNÇÃO E DE SUA DERIVADA Profa: Silvia Prietsch Wendt Pinto Orientadora: Profa Eleni Bisognin 2010 1

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) Precursores do Cálculo Isaac Newton (1642 – 1727) Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) 2

Derivada Este trabalho é composto por atividades que trazem um retrospecto das noções sobre os estudo da derivada, visando analisá-la sobre o aspecto gráfico. Inicialmente será dada a noção de reta tangente ao gráfico de uma função num determinado ponto e numa sequência crescente as demais considerações sobre derivada. 3

Objetivos Sessão 1 – Analisar como os alunos resolvem problemas relativos ao conceito e aplicações da derivada. Sessão 2 – Analisar como os alunos utilizam o conceito e as propriedades da derivada para o traçado de gráficos e análise do comportamento das funções. Sessão 3 – Analisar como os alunos utilizam o conceito e as propriedades da derivada para traçar o gráfico de uma função a partir da análise do gráfico da função derivada. 4

SESSÃO 1

QUESTÕES DESENVOLVIDAS NA SESSÃO 1 Questão 1: Analisando o gráfico a seguir como determinar a inclinação da reta tangente a curva no ponto ? Clique aqui para saber mais sobre: “o problema da reta tangente” 6

Para responder a essa pergunta foi tomado um ponto Q(x1, f(x1)) sobre a curva e foi calculado a inclinação da reta secante PQ

Questão 2: Vamos analisar outra situação. Você está fazendo uma viagem de carro e num determinado momento percebe que o velocímetro enguiçou. Como você pode determinar a velocidade do carro para que não se ultrapasse os limites permitidos? Uma das estratégias é verificar a quilometragem que aparece no painel do carro. Se no instante que você verificou, a quilometragem era de 12.476 km e após 15 minutos 12.495 km, então a velocidade média nesse intervalo de tempo, pode ser calculada do seguinte modo:

A velocidade média do carro é definida por: A velocidade média para intervalos de tempos cada vez menores nos dá a velocidade instantânea, isto é, a velocidade do carro no tempo t qualquer.

Como definir a velocidade instantânea? Para determinar a velocidade do carro no instante, to, isto é, a velocidade instantânea, deve-se considerar um intervalo de tempo cada vez menor, isto é, define-se a velocidade instantânea por: O que podemos observar geometricamente em relação as velocidades média e instantânea?

Para entender o que vem a ser a, Interpretação Geométrica da Derivada e sua definição. Clique aqui

Questão 3: É possível traçar a tangente ao gráfico da função em qualquer ponto? Nos gráficos a seguir tem-se exemplos onde a tangente não pode ser traçada no ponto x0. (a) (b) Em (a) a função apresenta um “bico” em e em (b) a função apresenta um ponto de descontinuidade. E ambos os casos não conseguimos traçar a tangente à curva no ponto x0 . Nesse caso não existe f’(x0) . 19

Questão 4: É possível analisar o comportamento de uma função por meio da análise da reta tangente? É possível descobrir se uma função é crescente ou decrescente analisando o comportamento da reta tangente? Vamos analisar o comportamento da função quadrática, representadas nas figura acima, a parábola possui a concavidade voltada para baixo. A função é crescente, no intervalo e a reta tangente possui coeficiente angular positivo. No intervalo a função é decrescente e a reta tangente possui coeficiente angular negativo.

De modo análogo na figura abaixo observa-se que ao tomar-se um ponto à esquerda de c, isto é, para x < c, a reta tangente a f, possui declividade negativa. No ponto x = c , a função assume seu valor mínimo nesse ponto, a reta tangente é paralela ao eixo x e seu coeficiente angular é zero. Para os pontos à direita c, isto é, para x > c , a função é crescente, e a declividade da reta tangente é positiva. Assim, concluímos que a função derivada assume valores positivos (f´(x) > 0) nos intervalos para os quais f é uma função crescente e assume valores negativos (f ´(x) < 0) nos intervalos para os quais f é uma função decrescente Além disso, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de nos pontos em que ocorrem máximos ou mínimos é zero, ou seja, f´(x) = 0 .

Questão 5: Vamos analisar o comportamento da função por meio da análise da reta tangente? Primeiramente vamos determinar a função derivada: O que podemos observar?

Para mais informações clique aqui Observa-se que, a função derivada f´ não está definida para x = 0 . Nos demais pontos x > 0, f´(x) existe e é positiva, e a reta tangente tem inclinação positiva. O gráfico a seguir ilustra essa situação. Nessa questão a função raiz quadrada é positiva em todo o seu domínio e a derivada ou a inclinação da reta tangente é sempre positiva.. Para mais informações clique aqui Gráfico da função

Figura (a): Curva crescente Vamos analisar outras situações. Nas figuras (a) e (b) a seguir são mostrados os gráficos de funções que apresentam um ponto onde a curva muda a concavidade. Podemos verificar na Figura (a) que a curva é crescente e a concavidade é voltada para baixo, para valores à esquerda de c. No ponto de abscissa x =c , ela muda sua concavidade, e para valores à direita de c , isto é, para x > c , a concavidade é voltada para cima. Analisando a derivada de f observa-se que a inclinação da reta tangente é sempre positiva, tanto para valores à esquerda como para valores à direita de c anulando-se no ponto . Figura (a): Curva crescente

No gráfico da Figura (b) a curva é decrescente com a concavidade voltada para cima para valores à esquerda de c. No ponto de abscissa x = c , ela muda sua concavidade voltando-se para baixo, para valores à direita de c , isto é, para x > c . A derivada neste caso não muda de sinal ela é sempre negativa e anula-se no ponto x = c . O ponto x = c, onde a curva muda sua concavidade ora voltada para cima, ora voltada para baixo dá-se o nome de ponto de inflexão. Figura (b): Curva decrescente Das situações analisadas pode-se concluir que quando a derivada de uma função é positiva, isto é, f´(x) > 0, então a função é crescente. E quando a derivada é negativa, f´(x) < 0, então a função é decrescente.

Questão 6: O gráfico abaixo representa a curva posição de uma partícula em função do tempo, que move-se ao longo de uma linha reta. Pergunta-se: Qual é a velocidade média no intervalo de tempo ? Solução: clique aqui

Questão 7: Analise o gráfico abaixo ele representa a curva posição de uma partícula em função do tempo, que move-se ao longo de uma linha reta. Pergunta-se: Em que instantes a partícula se move mais rapidamente,no ponto t0 ou no ponto t2 ? Explique. Solução: clique aqui

Questão 8: Observem o gráfico ao lado Questão 8: Observem o gráfico ao lado. Esse gráfico apresenta pontos de inflexão? Apresenta pontos de máximo ou de mínimo? Em que intervalo a função é crescente ou decrescente? Essa curva apresenta concavidade voltada para cima ou para baixo? Solução: clique aqui

ATIVIDADES DESENVOLVIDAS PARA A SESSÃO 1 Vocês conseguem desenhar o gráfico o gráfico de uma função que tenha um ponto de máximo local em e que seja possível desenhar a reta tangente nesse ponto? E outro gráfico que não seja possível traçar a reta tangente nesse ponto? Solução:clique aqui

Atividade 2. Vocês conseguem esboçar o gráfico de uma função f, contínua no intervalo fechado [1,5] e que satisfaça a seguinte condição: f não tem ponto de máximo e nem de mínimo local, mas x = 2 e x = 4 são pontos críticos. Solução: clique aqui

Atividade 3. Analisem o gráfico da função no intervalo . A função apresenta pontos de máximo? Apresenta pontos de mínimo? Apresenta pontos de inflexão? Quais são as coordenadas desses pontos? Justifique suas respostas. Solução: clique aqui

SESSÃO 2

QUESTÕES DESENVOLVIDAS NA SESSÃO 2 Questão 1: Consideremos a função identidade f(x) = x. O gráfico dessa função é a reta y = x. Como é o traçado do gráfico da função derivada? Solução: O traçado do gráfico da função f é crescente para todo o valor de x, logo a derivada é positiva, f´(x) > 0 para todo o x, ou seja, seu traçado está acima do eixo x, e nesse caso sua derivada é a função constante, a reta y´ = 1.

Questão 2: Se a função é constante, isto é, f(x) = c Questão 2: Se a função é constante, isto é, f(x) = c. Como é o traçado do gráfico de sua função derivada? Solução: A função f sendo uma constante, tem por função derivada a reta y´ = 0, localizada sobre o eixo do x.

Questão 3: Qual é o gráfico da derivada da função quadrática f(x) = x2 ? Solução: Estuda-se os sinais de f e f´, antes e depois de x = 0 e constata-se que para x < 0, f é decrescente, logo, f´(x) < 0, ou seja, o traçado de seu gráfico está abaixo do eixo x para valores de x < 0. Para valores de x > 0, f é crescente, logo f´(x) > 0, ou seja, o traçado de seu gráfico está acima do eixo x para valores de x > 0. Em x = 0, f tem sua raiz, um ponto de mínimo. A função derivada de f(x) = x2, é a reta y´ = 2x.

Gráfico da Derivada Questão 4: Como será o gráfico de sua derivada da função f, cujo gráfico está na figura abaixo ?

Gráfico da Derivada Observe o comportamento do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função:

Variação do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função Gráfico da Derivada Variação do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função Gráfico de f ’(x)

Gráfico da função f Estudo do sinal da função f

Gráfico da Derivada Questão 5: Como será o gráfico da derivada da função f que possui esse gráfico?

Gráfico da Derivada Observe o comportamento do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função:

Variação do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função Gráfico da Derivada Variação do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função Gráfico de f ’(x)

Gráfico da função f Estudo do sinal da função f

ATIVIDADES DESENVOLVIDAS PARA A SESSÃO 2 Atividade 1: Qual dos gráficos da função derivada corresponde ao gráfico da função? Gráfico das funções: (a) (b) (c) Solução: Clique aqui Gráfico das derivadas: (s) (r) (t)

Atividade 2: Analisem o gráfico da função f ao lado. Qual dos gráfico a seguir pode ser o gráfico da sua derivada? Solução:Clique aqui

Atividade 3: Associe o gráfico de cada uma das funções abaixo representadas nos itens de (a) a (d), com o gráfico de sua derivada em I a IV. Justifique suas escolhas. Solução:Clique aqui Gráfico das funções: (a) (b) (c) (d) Gráfico das derivadas: (I) (II) (III) (IV)

Atividade 4: Como será o traçado do gráfico da função f´ , conhecendo os gráficos da função f ? Suponha os eixos com a mesma escala, esboce o gráfico de f’. (a) (b) (c) Solução:Clique aqui

(a) (b) (c)

SESSÃO 3

QUESTÕES DESENVOLVIDAS NA SESSÃO 3 Questão 1. Se f´(x) = 1, é possível descobrir uma função que dá origem a esta derivada? O gráfico de f´ é mostrado ao lado e trata-se de uma função constante. O gráfico da função associada a ela é o da função identidade f(x) = x, obtida pela análise do sinal da derivada, uma vez que a mesma é positiva, f´(x) > 0, pois está acima do eixo x, sendo f crescente para valores de x < 0 e x > 0.

Questão 2: Se tivermos f´(x) = - 2 x , como podemos obter o gráfico da função f ? Em que intervalos a função f será crescente? E onde f será decrescente? O gráfico de f’ é mostrado ao lado e trata-se de uma função linear. O gráfico da função associada a função derivada, é o gráfico da função quadrática f(x) = - x2, obtido pela análise do sinal da derivada, uma vez que a mesma é positiva para x < 0, pois está acima do eixo x, sendo f crescente nesse intervalo, passa por x = 0, que é uma raiz de f´, logo em f será um ponto de máximo. É negativa para valores de x > 0, pois f´ está abaixo do eixo x, sendo f decrescente nesse intervalo.

Questão 3: Se a função derivada for da forma f´(x) =x2 como obter graficamente a função f ? Em que intervalo a derivada é positiva? E negativa? Em que intervalos a função f é crescente? E onde f é decrescente? O gráfico de f’ é mostrado ao lado trata-se de uma função quadrática. O gráfico da função associada a derivada é o da função de terceiro grau, f(x) = 1/3x3, obtido pela análise do sinal da derivada, uma vez que a mesma é positiva para x < 0, pois f´ está acima do eixo x, sendo f crescente nesse intervalo e tem a concavidade voltada para baixo, passa por x = 0, que é uma raiz de f´, logo em f será um ponto de inflexão. A derivada continua sendo positiva para valores de x > 0, pois continua acima do eixo x. A função f continua crescente nesse intervalo, contudo com a concavidade voltada para cima.

Questão 4. Se tivermos apenas o gráfico da função derivada, sem conhecermos sua lei, é possível traçar o gráfico da função? A cada intervalo analisa-se os sinais da derivada. Se seu gráfico estiver traçado abaixo do eixo x, então f´(x) < 0 e f é decrescente nesse intervalo. Se o seu traçado estiver acima do eixo x, então f´(x) > 0 e f é crescente nesse intervalo. As raízes de f´, ou seja, f´(x) = 0, serão serão os pontos máximos e mínimos de f.

Questão 5. Se conhecermos algumas coordenadas dos pontos do gráfico da derivada f’, é possível traçar o gráfico da função f ? Temos os seguintes valores: Ao tomar-se os pontos dados, o gráfico de f´ fica representado como ao lado: A cada intervalo analisa-se os sinais da derivada. Se f´(x) < 0, então f é decrescente nesse intervalo. Se f´(x) > 0, então f é crescente nesse intervalo. As raízes de f´, ou seja, f´(x) = 0, serão serão os pontos máximos e mínimos de f.

ATIVIDADES DESENVOLVIDAS PARA A SESSÃO 3 Atividade 1 Sendo dadas as coordenadas dos pontos do gráfico da derivada f´, como será o traçado do gráfico da função f ? Solução: Clique aqui

Atividade 2: É possível obtermos informações sobre o gráfico da função f, analisando-se o gráfico da função derivada? Tem-se o gráfico da função derivada. Como podemos descobrir quais os intervalos onde a função é crescente ou decrescente? b) Quais são as abscissas dos pontos de máximo, de mínimo e de inflexão da função f ? c) Como ficará o esboço do gráfico de f ? Solução: Clique aqui

Atividade 3: Agora temos o gráfico de uma função derivada mais elaborado. Analisando este gráfico é possível obter informações para esboçar o gráfico da função que deu origem a esta derivada? Para esboçar o gráfico da função f vamos respondendo algumas questões para obter informações. a) Em que intervalos f é crescente? Explique. b) Em que valores de x a função f têm um máximo ou um mínimo local? Explique. c) Em que intervalos f tem concavidade para cima e/ou para baixo? Explique. d) Quais são as coordenadas x dos pontos de inflexão de f(x)? Justifique. Solução: Clique aqui

Referências ANTON, H. Cálculo um novo horizonte. Tradução Cyro de Carvalho Patarra e Márcia Tamanaha. 6 ed. v.1. Porto Alegre: Bookman, 2000. STEWART, J. Cálculo I. 5 ed. São Paulo: Pioneira Tomson Learning, 2006. http://www.interaula.com/ap1au009_01m.html http://www.interaula.com/matweb/gplana/214/ganalit.htm www.pessoal.utfpr.edu.br/previero/CalculoI/derivada.pps

O problema da reta tangente a uma curva num ponto 59

Quais das duas retas é tangente ao gráfico da curva dada? O problema da tangente Quais das duas retas é tangente ao gráfico da curva dada?

O problema da tangente A reta em vermelho é tangente ao gráfico da função? Mas essa reta toca o gráfico da função em mais de um ponto! E agora?

O problema da tangente Seja C uma circunferência e P um ponto, sendo P pertencente a C. Você lembra como se define a reta tangente a C no ponto P ? - A tangente em P é uma reta que passa por P, e é perpendicular ao raio por esse mesmo ponto. P - A tangente em P é a reta que só toca a circunferência neste ponto O - Podemos dizer que se trata da reta que passa por P e toca a circunferência apenas neste ponto. Mas também podemos afirmar que é a reta que passa por P e é perpendicular ao raio OP, sendo O o centro da circunferência.

O problema da tangente Eis um desafio: Definir a reta tangente a uma curva C no ponto P pertencente a C, sendo C o gráfico de alguma função contínua y = f (x) . As idéias expostas para definir a tangente a uma circunferência não podem ser aproveitadas. Se a curva não é parte de uma circunferência, não faz sentido falar em centro e raio.

O problema da tangente Por outro lado, a reta tangente a uma curva qualquer C pode sim interceptar a própria curva em outro ponto. Veja a figura: Devido as dúvidas surgidas, devemos ter uma definição mais precisa do conceito de reta tangente ao gráfico da função num ponto dado. Clique aqui para saber mais

Referências http://www.interaula.com/ap1au009_01m.html http://www.interaula.com/matweb/gplana/214/ganalit.htm www.pessoal.utfpr.edu.br/previero/CalculoI/derivada.pps