Aula I Determinação dos esforços solicitantes em estruturas isostáticas

Apresentação da aula Análise estrutural em engenharia Classificação dos elementos e dos sistemas estruturais 2.1- Elementos estruturais 2.2- Sistemas estruturais Vinculação dos sistemas estruturais lineares planos 3.1- Elementos componentes 3.2- Vínculos e movimentos dos elementos 3.3- Determinação geométrica das estruturas planas Equações de equilíbrio dos sistemas estruturais planos isostáticos

5. Esforços solicitantes em estruturas planas isostáticas 6. Equações analíticas e diagrama de esforços 7. Relações diferenciais entre os esforços solicitantes e carregamentos

1. Análise estrutural em engenharia Mecânica clássica dos corpos Estática: estudo das condições de equilíbrio de um corpo ou de um sistema de corpos sujeitos à ação de forças externas; estudo das deformações do corpo Dinâmica: estudo dos movimentos dos corpos ou de um sistema de corpos

Elemento estrutural Elementos estruturais são os componentes da estrutura portante de uma edificação Funções - atender às condições arquitetônicas e funcionais e dar forma à edificação - transmitir os carregamentos advindos das ações às bases da estrutura (solo) – “caminho das cargas” - resistir às ações e garantir a estabilidade (segurança estrutural)

Projeto Estrutural - Geometria da edificação: arquitetura (função), forma, dimensões, espaços, localização - Sistema estrutural: classificação, definição e posicionamento dos elementos componentes, vinculações entre eles (concepção estrutural) - Ações: classificação, quantificação, combinação (carregamentos) - Esforços solicitantes nos elementos estruturais: análise do comportamento (resposta) estrutural do elemento submetido às ações (carregamentos) - Dimensionamento dos elementos estruturais: comportamento estrutural e resistência do material que o compõe

2. Classificação dos elementos e dos sistemas estruturais 2.1- Elementos estruturais Classificação segundo as dimensões Elementos tridimensionais Elementos bidimensionais ou planos Elementos unidimensionais ou lineares

Elementos tridimensionais Elementos com as três dimensões da mesma ordem de grandeza. Elementos de fundação, de arrimo (gravidade) ou de barragens

Elementos bidimensionais ou planos Elementos com duas dimensões preponderantes em relação à terceira. Submetidos a carregamentos no plano médio (chapas ou paredes) ou transversais (placas, cascas) Placas ou cascas: Sujeitos a esforços de flexão e de força cortante Transmite as cargas em direção aos apoios (bordas)- caminho das cargas

Elementos unidimensionais ou lineares Elementos com uma dimensão preponderante em relação às outras duas, de eixo reto ou curvo. Submetidos a carregamentos no eixo longitudinal (barras, colunas ou tirantes) ou transversais (vigas) Sujeitos a esforços normais(axiais), de flexão, de força cortante e de torção

2.1- Sistemas estruturais Espaciais (treliças, cúpulas, Planos (treliças, pórticos, cestas, cabos-treliça) arcos, cabos-treliça) Subsistemas horizontais – lajes, vigas, grelhas, cascas, treliças espaciais; Subsistemas verticais – treliças planas, pórticos planos, painéis e paredes

Subsistemas horizontais

Subsistemas verticais

3. Vinculação dos sistemas estruturais lineares planos 3.1- Elementos componentes Barras – elementos lineares simples (apenas esforços axiais) e gerais (qualquer esforço, chapa) Nós – ponto de une extremidades de barras Vínculos – ligações (vinculações) pelas quais as barras são unidas entre si ou com a “chapa-terra”, impedindo os deslocamentos relativos entre elas, translação ou rotação

3.2- Vínculos e movimentos dos elementos vínculos representação movimentos reação gráfica impedidos correspondente translação em Ry y translações em Rx, Ry x e y translações em x e y Rx, Ry, Mz e rotação em z x y z

3.3- Determinação geométrica das estruturas planas Estruturas treliçadas (barras simples) – necessários dois (02) vínculos para determinação geométrica de um nó no plano, correspondentes a duas translações (nas direções x e y) Barras gerais (ou chapas) – necessários três (03) vínculos para determinação geométrica no plano, correspondentes a três movimentos de corpo rígido, duas translações (nas direções x e y) e uma rotação (na direção z, perpendicular ao plano x,y)

Estruturas com barras simples e gerais: Número de nós: n Número de barras (chapas): c Número de barras (vínculos) necessárias: bnec = 3.c + 2.n Determinação geométrica de estruturas estrutura bexistentes < bnec = 3.c + 2.n - hipostática bexistentes = bnec = 3.c + 2.n - isostática bexistentes > bnec = 3.c + 2.n - hiperestática

4. Equações de equilíbrio dos sistemas estruturais planos isostáticos Estruturas isostáticas Estruturas com vínculos externos em número necessário e suficiente para sua determinação geométrica, ou seja, com as equações de equilíbrio é possível a determinação das forças externas incógnitas (reativas) .

Tipos de cargas externas Cargas distribuídas: carregamento distribuído ao longo do comprimento de uma barra, na direção ou perpendicularmente ao seu eixo axial. Cargas concentradas: carregamento distribuído em um comprimento considerado pequeno em relação ao comprimento de uma barra, podendo ser considerado como praticamente concentrado em um ponto.

Exemplo: parede de tijolo apoiada sobre viga, ao longo de seu comprimento Carregamento = peso da viga de peso próprio da viga comprimento da viga Carregamento = peso da parede de peso próprio da parede comprimento da viga

Tipos de reações de apoio Apoio contínuo ou distribuído: caso de barras apoiadas em meio contínuo, como vigas de fundação ou sapata corrida, apoiadas sobre o solo ao longo do seu comprimento e com reação na direção perpendicular ao seu eixo axial. Apoios discretos ou pontuais: elemento de apoio cuja dimensão de contato com a barra tem um comprimento considerado pequeno em relação ao comprimento desta barra, podendo ser considerado como praticamente concentrado em um ponto (barra de vínculo).

Equações de equilíbrio no plano Definição: Um sistema estrutural, submetido a carregamentos conhecidos, mantém-se em equilíbrio devido às reações (incógnitas) correspondentes aos vínculos externos que restringem os graus de liberdade (movimentos) deste sistema. Reações de apoio: Dado o corpo rígido (chapa) qualquer contido no plano Oxy, sujeito a carregamento externo conhecido, para o seu equilíbrio deve-se ter:

Estrutura de chapa isostática Número de vínculos externos: bext = 3.c = 3.1 = 3 3 reações de apoio incógnitas Equações de equilíbrio x y z

5. Esforços solicitantes em estruturas planas isostáticas 5.1- Definição e convenção de sinais Definição: Em uma estrutura em equilíbrio, os esforços solicitantes em uma seção transversal genérica são as forças que equilibram as ações externas que atuam à esquerda ou à direita desta seção. Os esforços solicitantes formam pares (ação e reação entre corpos) de mesma direção e intensidade, porém de sentidos contrários, nas duas seções transversais.

Estas forças atuantes na seção transversal podem ser reduzidas a uma força resultante aplicada em um ponto (centro de gravidade da seção) e a um momento (binário) resultante. Para facilitar os cálculos destes esforços solicitantes, obtêm-se as componentes destas resultantes nas direções do eixo longitudinal e dos eixos ortogonais a este, que contêm a seção transversal da barra.

N - força normal ou axial V - força cortante M - momento fletor T - momento torçor As componentes destas forças, considerando-se estrutura plana e carregamento contidos no plano xy, são os esforços solicitantes esforço axial N, momento fletor Mz e esforço cortante Vy.

Convenção de sinais: sentidos positivos dos esforços Esforço normal (axial): N Esforço cortante: V Momento fletor: M Momento torçor: T

Determinação dos esforços solicitantes As equações de equilíbrio determinam as condições da estrutura, ou de parte dela, à esquerda ou à direita da seção transversal estudada. Exemplo apoio fixo A: deslocamentos restritos vx e vy apoio móvel C: deslocamento restrito vy x 5,0 kN/m y 8,0 kN B A C 4,0 1,5 m 8,0 kN HA VA Vc

Equações de equilíbrio Reações de apoio Carga distribuída transformada em força concentrada fictícia, Fq = 5,0.5,5=27,5 kN Equações de equilíbrio x y RA Rc HA 4,0 1,5 m 27,5 kN 8,0 kN

Esforços solicitantes Seção transversal B (distante 2 metros do apoio A) equações de equilíbrio x y 2,0 10,0 kN MB HA NB RA VB

6. Equações analíticas e diagrama de esforços Os esforços solicitantes são obtidos em uma determinada seção transversal; Deseja-se, porém, conhecer a sua evolução (variação) ao longo do elemento estrutural ou da estrutura como um todo; Pode-se obter as expressões analíticas dos esforços em função da coordenada x, onde são representados os valores ao longo da estrutura, adotando-se uma seção transversal de referência em posição genérica. As funções obtidas são contínuas para carregamentos contínuos e descontínuas onde houver alguma força (ou reação) concentrada ou descontinuidade geométrica da estrutura.

Esforços solicitantes Seção transversal S (distante de s do apoio A) Variação de a coordenada s: 0 < s < 4,0 m equações de equilíbrio x y s s 5,0.s MS HA NS RA VS

Esforços solicitantes para o trecho AC, entre apoios Para s=0: Para s=4,0 (seção à esquerda do apoio C):

Esforços solicitantes Seção transversal S (distante de s do apoio A) Variação de a coordenada s: 4,0 < s < 5,5 m x y s s 5,0.s MS HA NS RA RC VS

Esforços solicitantes para o trecho CD, em balanço Para s=4,0: Para s=5,5 (seção extrema do balanço):

Diagrama dos esforços solicitantes As expressões obtidas permitem traçar os diagramas dos esforços solicitantes seguindo algumas convenções: Momento fletor e força cortante, valores positivos indicados abaixo do eixo de abcissa x B 1,4 11,4 _ V (kN) + 7,5 + 8,6 5,6 _ M (kN.m) + 7,2

Observações: Força cortante: descontinuidade no diagrama devido a uma carga concentrada no ponto C (reação de apoio) A diferença (ou a soma dos módulos) dos valores de força cortante, à direita e à esquerda do apoio (VC,dir–VC,esq=7,5-(-11,4)=18,9kN) representam a carga concentrada naquele ponto (reação de apoio VC=18,9kN) Momento fletor: descontinuidade da inclinação no diagrama devido a uma carga concentrada no ponto C (reação de apoio)

7. Relações diferenciais entre os esforços solicitantes e carregamentos As expressões analíticas dos esforços solicitantes de flexão (momento fletor e força cortante) apresentam relações diferenciais entre si. Considere-se um elemento de comprimento infinitesimal dx de uma barra geral em equilíbrio, sobrecarregada uniformemente:

Equações de equilíbrio

Integrando-se as duas equações, tem-se: onde C1 e C2 são constantes de integração e são conhecidos a partir da definição de condições de contorno do problema estudado.

Segundo as expressões diferenciais pode-se prever a forma dos diagramas de esforços M e V para os diversos tipos de carga distribuída: q=0: V - constante M - variação linear q=constante: V - variação linear M - polinômio 2o. grau q=linear: V – pol. 2o. Grau M - polinômio 3o. grau E ainda:

Bibliografia ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - NBR6120 – Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro: ABNT, 1980. 6p. DIAS, L. A M. Estruturas de aço: conceitos, técnicas e linguagem. Zigurate, 1998. FUSCO, P.B. Estruturas de concreto: Fundamentos do projeto estrutural. São Paulo: McGraw Hill, 1976. GIONGO, J.S. Estruturas de concreto armado. São Carlos: Publicação EESC/USP, 1993. MACHADO JUNIOR, E.F. Introdução à isostática. São Carlos: Publicação EESC/USP,1999. SCHIEL, F. Introdução à resistência dos materiais. São Paulo: Harbra, 1984.