Resolução de sistemas de equações não-lineares Pontos mais importantes: -forma geral de sistemas de equações não-lineares -método de Newton -métodos lineares generalizados (IPF) Características de solução: -difícil demostrar a existência e unicidade de zeros -só em casos excepcionalmente simples admite uma solução analítica (directa) -nos métodos iterativos são adoptadas as vias seguintes: -generalização dos métodos para uma eq. não linear única -generalização dos métodos para o caso de sistemas lineares -combinação das duas vias anteriores 1

Representação geral de sistemas não-lineares -procuramos os valores de x1, x2,........,xn que satisfaçam simultaneamente as seguintes funções: f1(x1, x2,........,xn )=0 f2(x1, x2,........,xn )=0 ou f(x1, x2,........,xn )=0 ... fn(x1, x2,........,xn )=0 -sistemas não-lineares são sistemas onde pelo menos uma das equações anteriores é não linear -como uma consequência do processo iterativo é que é necessário considerar: -existência e velocidade de convergência -necessidade de estimativas iniciais realistas 2

Generalização do método de Newton Raphson -aplicando a expansão de Taylor em torno de zero: -truncando os primeiros termos e rearranjando, resulta a formula de NR para estimativa da nova raiz: -expansão de Taylor para a equação “i” num sistemas de equações: 3

Generalização do método de Newton Raphson -rearranjando a eq. anterior resulta um sistema linear: [J(k)]*{h(k)}=-{f(k)} onde {h(k)}={x(k+1)}-{x(k)} e [J(k)] é chamada matriz Jacobiana definida pelas derivadas parciais: -expressão alternativa: {x(k+1)}={x(k)} -[J(k)]-1* {f(k)} 4

Generalização do método de Newton Raphson -o método de NR pode divergir se a estimativa inicial não estiver suficientemente próxima das raízes -as estimativas iniciais são geralmente difíceis de estabelecer (conhecimento do sistema ou, muitas as vezes, por tentativa e erro) -se as estimativas iniciais estiverem suficientemente próxima a solução, a ordem de convergência é quadrática (p=2) -determinar n2 derivadas para formar o Jacobiano pode ser uma tarefa bastante complicada------> aproximação com diferenças finitas -a possibilidade de o Jacobiano se tornar singular pode obrigar a recomeçar a solução exemplo: 5

-exemplo k=1 x(0)=y(0)=2 k=2 k=3 6

Métodos iterativos estacionários (Generalização do método de IPF) -esta família de métodos pode obter-se com métodos iterativos para sistemas lineares -uma só equação: xk+1=G(xk) -para um sistema: {xk+1}={G(xk,xk+1)} -a forma particular de G depende do método utilizado: -Jacobi: -Gauss-Seidel: -critério de convergência: 7

Métodos iterativos estacionários (Generalização do método de IPF) -exemplo (x1=2, x2=3): converge diverge 8