Decidibilidade e Indecidibilidade Universidade Federal de Campina Grande – UFCG Centro de Engenharia Elétrica e Informática – CEEI Departamento de Sistemas e Computação – DSC Decidibilidade e Indecidibilidade Teoria da Computação 2005.1

Problemas Decidíveis ( LR ) Linguagens Regulares Problemas computacionais relacionados a AF’s : saber se um AF aceita uma palavra saber se a linguagem de um AF é vazia saber se dois AF’s são equivalentes etc.

Problemas Decidíveis ( LR ) Representação do problema Podemos formular problemas computacionais em termos de teste de pertinência em uma linguagem. Por exemplo: Saber se um dado AFD B aceita uma dada entrada w pode ser expresso como o problema: Saber se <B,w> é um membro da linguagem: AAFD= {<B,w> : B é um AFD que aceita w}. Mostrar que a linguagem é decidível implica em mostrar que o problema computacional é decidível

Problemas Decidíveis ( LR ) Teorema 18 : AAFD é uma linguagem decidível. Prova: M = “Com entrada <B, w>, onde B é um AFD e w é uma palavra: 1. Simular B para a entrada w. 2. Se a simulação termina num estado final de B, aceitar. Se termina num estado não final, rejeitar.”

Problemas Decidíveis ( LR ) Teorema 19: AAFND = { <B,w> : B é um AFND que aceita w} é decidível.  Prova: N = “Com entrada <B, w>, onde B é um AFND e w uma palavra: 1. Converter B para um AFD equivalente C 2. Executar MT M com entrada <C,w>. 3. Se M aceita a entrada, aceitar. Caso contrário, rejeitar.”

Problemas Decidíveis ( LR ) Teorema 20: EAFD = { <A> : A é um AFD e L(A) = Ø} é decidível. Prova: T = “Com entrada <A>, onde A é um AFD: 1. Marcar o estado inicial de A. 2. Repetir até que nenhum novo estado seja marcado 3. Marcar todo o estado que tenha uma transição chegando de qualquer estado já marcado 4. Se nenhum estado final estiver marcado, aceitar. Caso contrário, rejeitar.”

Problemas Decidíveis ( LR ) Teorema 21: EQAFD = {<A,B> : A e B são AFDs e L(A) = L(B) } é decidível. L(C)= ( L(A)  L(B) )  ( L(A)  L(B) ) Prova: F = “Com entrada <A, B>, onde A e B são AFDs: 1. Construir o AFD C como descrito. 2. Executar MT T com entrada <C>. 3. Se T aceita <C>, aceitar. Caso contrário, rejeitar.”

Problemas Decidíveis ( LLC ) Linguagens Livre-de-contexto AGLC = { <G, w> | G é uma GLC que gera a cadeia w} O problema de saber se um string é um membro de uma linguagem livre de contexto é relacionado com o problema de reconhecimento e compilação de programas em uma linguagem de programação.

Problemas Decidíveis ( LLC ) Teorema 22: AGLC é uma linguagem decidível. Prova: S = “Com entrada <G, w>, onde G é uma GLC e w uma cadeia: Converter G em uma gramática equivalente G’ na Formal Normal de Chomsky. Listar todas as derivações com 2n-1 passos, onde n é o comprimento de w. Se alguma destas derivações gera w, aceitar. Senão, rejeitar.”

Problemas Decidíveis ( LLC ) Teorema 23: EGLC = {<G> | G é uma GLC e L(G) = } é decidível. Prova: R = “Com entrada <G>, onde G é uma GLC: 1. Marcar todos os símbolos terminais de G. 2. Repetir até que nenhuma variável seja marcada: 3. Marcar cada variável A de G aparecendo em uma regra do tipo A  U1U2...Uk onde cada símbolo U1, ... Uk já tenha sido marcado. 4. Se o símbolo inicial não estiver marcado, aceitar. Senão, rejeitar.”

Problemas Decidíveis ( LLC ) Teorema 24: Toda linguagem livre de contexto é decidível. Prova: Seja G uma GLC para a linguagem: MG = “Com entrada w: 1. Executar a MT S com entrada <G, w> 2. Se S aceita, aceitar. Senão, rejeitar.”

Indecidibilidade Teorema 25: AMT não é decidível Prova: Vamos assumir que AMT é decidível e chegar a uma contradição Supor que H é uma MT que decide AMT : aceite se M aceita w rejeite se M não aceita w H(<M, w>) =

Indecidibilidade Vamos construir uma outra MT D que usa H da seguinte forma : D recebe como entrada uma MT M e chama H para determinar o que M faz quando tem como entrada sua própria descrição <M>. Uma vez D tenha determinado isso, ela faz o oposto: ela rejeita se M aceita e aceita se M rejeita.

Indecidibilidade D = “com entrada<M>, onde M é uma MT: 1. Execute H para a entrada <M, <M>>. 2. Retorne o contrário do que H retorna, isto é, se H aceita, rejeitar, se H rejeita, aceitar.” ou seja : aceite se M não aceita <M> rejeite se M aceita <M> D(<M>) =

Indecidibilidade O que acontece quando executamos D com sua própria descrição <D> como entrada ? aceite se D não aceita <D> rejeite se D aceita <D> D(<D>) = CONTRADIÇÃO !!!!!!!!!!!!!!!!!!! Portanto, nem MT D nem MT H podem existir. Esse problema é uma versão do Problema da Parada

Decidibilidade Teorema 26: Uma linguagem é decidível se e somente se ela e seu complemento são Turing -reconhecíveis Prova: ) Se A é decidível, podemos ver facilmente que tanto A quanto seu complemento são Turing- reconhecíveis, visto que qualquer linguagem decidível é Turing-reconhecível e o complemento de uma linguagem decidível é também decidível.

Decidibilidade ) Se ambas, A e seu complemento são Turing- reconhecíveis , então sejam M1 e M2 reconhecedores para elas, respectivamente. Então : M = “ com entrada w” 1. Executar simultaneamente M1 e M2 com entrada w. 2. Se M1 aceita, aceitar; se M2 aceita, rejeitar.

Indecidibilidade Corolário: O complemento de AMT não é Turing-reconhecível Prova: AMT é Turing-reconhecível. Se o seu complemento fosse Turing-reconhecível, pelo teorema 26, AMT seria decidível o que contraria o teorema 25.

Redução O problema A é redutível ao problema B implica em que uma solução para B leva a uma solução para A. Em termos da Teoria da Computação: Se A é redutível a B e B é decidível, então A é decidível. Se A é indecidível e redutível a B, então B é indecidível

O Problema da Parada (versão 2) HaltMT = {<M,w> : M é uma MT e M pára para w} Teorema 27: HaltMT é indecidível Prova: Vamos mostrar que AMT é redutível a HaltMT. Vamos assumir que HaltMT é decidível. Então seja R a MT que decide HaltMT. Se R existe, podemos construir uma MT que decide AMT:

O Problema da Parada (versão 2) S =“ com entrada <M,w>, onde M é uma MT e w string: 1. Executar R com entrada <M,w> 2. Se R rejeitar, rejeitar. 3. Se R aceitar, simular M com w até parar. 4. Se M aceitar, aceitar; senão rejeitar “. Se R decide HaltMT então S decide AMT. Como AMT é indecidível, HaltMT também deve ser, ou seja, R não pode existir.

Redução EMT = {<M> : M é uma MT e L(M) = } Teorema 28: EMT é indecidível. Prova: Vamos assumir que EMT é decidível e então mostrar que isso leva a conclusão que AMT é decidível !!!!

Redução Seja R uma MT que decide EMT. Como mostrar que a existência de R leva a existência de S que decide AMT? Idéia para S: 1. Rodar R com entrada <M> e ver se ela é aceita. Se ela aceita, sabemos então que L(M) =Ø e portanto M não aceita w. Mas, se R rejeita<M>, tudo que sabemos é que L(M)  Ø e portanto aceita algum string não necessariamente w.

Redução 2. Em vez de rodar R com <M>, rodar R com uma modificação de M: Modificamos M para garantir que ela rejeita todos os strings exceto w, e com entrada w, ela trabalha normalmente. Então usamos R para testar se a máquina modificada reconhece a linguagem vazia. O único string que a máquina pode aceitar agora é w. Então a linguagem será não nula se e somente se ela aceita w.

Redução M1 = “ com entrada x : ” 1. Se x  w, rejeitar; 2. Se x = w, executar M com entrada w e aceitar se M aceita. S = “ com entrada<M,w>, M MT e w string: 1. Construir M1, a partir de M e de w; 2. Executar R com entrada <M1>; 3. Se R aceita, rejeitar; se R rejeita, aceitar. Se R é um “decider” para EMT ,S seria um “decider” para AMT . Um “decider” de AMT não pode existir, então também não existe um para EMT.

Redução REGULARMT ={<M> : M é MT e L(M) é regular} Teorema 29 REGULARMT é indecidível Prova: Redução de AMT. Vamos assumir que temos uma MT R que decide REGULARMT . Vamos usar R para construir S que que decide AMT. Vamos modificar M de tal forma que a resultante M2 reconheça uma linguagem regular se e somente se aceita w:

Redução ( M2 reconhece a linguagem não-regular { 0n1n: n>0} se M não aceite w e reconhece a linguagem regular Σ* se M aceita w ) S = “ com entrada <M,w>: 1. Construa a seguinte MT M2. M2 = “ com entrada x : 1. Se x tem a forma 0n1n, aceitar. 2. Se x não tem essa forma, rodar M com entrada w e aceitar se M aceita w.” 2. Rodar R com entrada <M2> 3. Se R aceita, aceitar. Se R rejeita, rejeitar.”

Redução LIVRE-DE-CONTEXTOMT = { <M> : M é MT e L(M) é livre de contexto} DECIDÍVELMT ={<M> : M é MT e L(M) é decidível} FINITOMT ={<M> : M é MT e L(M) é finito} Teorema 30: LIVRE-DE-CONTEXTOMT,DECIDIVELMT e FINITOMT são indecidíveis. Teorema de Rice: Qualquer propriedade de linguagem reconhecidas por Máquinas de Turing é indecidível.

Redução Teorema 31: Prova: EQMT={<M1, M2> :M1 e M2 são MT’s e L(M1) = L(M2) } Teorema 31: EQMT é indecidível. Prova: Redução de EMT. Vamos supor que temos MT R que decide EQMT. Vamos construir S para decidir EMT: S =“com entrada <M>, onde M é uma MT: 1. Rodar R com entrada <M,M1>, onde M1 é uma MT que rejeita todas as entradas. 2. Se R aceita, aceitar. Se R rejeita, rejeitar.” Então, se R decide EQMT, S decide EMT. Como EMT é indecidível, então EQMTtambém é.

Redução Seja M uma MT e w um string de entrada Uma história da computação de aceitação, para M com w é uma sequência de configuração c1, c2, ..., cl, onde: - C1 é a configuração inicial de M com w - Cl é uma configuração de aceitação - cada Ci segue de Ci-1 de acordo com a resposta de M Uma história da computação de rejeição para M com w é definida simultaneamente, exceto que Cl é uma configuração de rejeição.

Redução Histórias da computação são seqüências finitas. Se M não pára para w, não existe história da computação para M com w. Máquinas determinísticas tem no máximo uma história da computação para qualquer dada entrada.

ALBA = { <M,w> : M é LBA e aceita w } Redução ALBA = { <M,w> : M é LBA e aceita w } Teorema 32: ALBA é decidível

Redução Lema 3: Seja M um LBA com q estados e g símbolos no alfabeto da fita. Existem qngn distintas configurações de M para uma fita de comprimento n. Prova: Uma configuração consiste do estado do controle, da posição do cabeçote e do conteúdo da fita: M tem q estados. O comprimento da fita é n, então o cabeçote pode estar em uma das n posições e gn possíveis strings podem estar na fita. Então o número total de diferentes configurações é q.n.gn .

Redução O lema estabelece que um LBA pode ter apenas um número limitado de configuração quando um string de comprimento n é a entrada.

Redução Retornando : ALBA = { <M,w> : M é LBA aceita w } Teorema 33: ALBA é decidível Prova: Quando M computa com w, ela vai de configuração em configuração. Se M repete uma configuração M vai repetir e repetir entrando em loop.

Redução Como para um LBA apenas um número finito de configuração é possível (lema), basta simular M para um número máximo de passos (dado pelo lema) : L = “ com entrada <M,w>, onde M é um LBA : 1. Simular M com entrada w para qngn passos ou até que pare. 2. Se M tem parado, aceitar se ele aceitou e rejeitar se ele rejeitou. Se M não parou, rejeitar . “

Redução ELBA = {<M> : M é um LBA e L(M) = Ø } Teorema 34: Prova: ELBA é indecidível. Prova: Redução de ALBA Para uma MT M e uma entrada w, podemos determinar se M aceita w pela construção de um certo LBA B e pelo teste então se L(B) é vazio

Redução Construimos B para aceitar sua entrada x se x é uma história da computação aceitante para M com w. # C1 C2 C3 Cl ... MT S que decide AMT na suposição de termos a máquina R que decide ELBA. S = “ com entrada <M,w>, onde M é MT e w string: 1. Construir LBA B de M e w como descrito. 2. Rodar R com entrada <B> 3. Se R rejeita, aceitar. Se R aceita, rejeitar.”

Redução por Mapeamento Reduzir um problema A para um problema B usando uma redução por mapeamento significa que existe uma função computável que converte instâncias do problema A para instâncias do problema B. Se temos uma tal conversão (função de ), chamada uma redução, podemos resolver A com um resolvedor (solucionador) para B. Definição formal: A linguagem A é redutível por mapeamento para a linguagem B (A < B) se existe uma função compatível f : Σ*  Σ* onde para todo w, w є A  f(w) є B. A função f é chamada a redução de A para B.

Redução por Mapeamento Teorema 35: Se A < B e B é decidível, então A é decidível. Prova : Seja M uma MT que decide B e f uma redução de A para B. N = Entrada w 1. Computar f(w) 2. Executar M para entrada f(w). Se M aceita, aceitar. Se não, rejeitar.

Redução por Mapeamento Corolário: Se A < B e A é indecidível, então B é indecidível. Teorema 36: Se A < B e B é Turing-reconhecível, então A também é Turing-reconhecível. Corolário: Se A < B e A não é Turing-reconhecível, então B não é Turing-reconhecível.

Auto Referência (Self-Reference) Vamos construir uma MT que ignore sua entrada e imprime (na fita) como saída sua própria descrição (SELF). Lema 4: Existe uma função computável q: Σ*  Σ* tal que para qualquer string w, q(w) é a descrição de uma MT Pw que imprime w e então pára.

Auto Referência (Self-Reference) Prova: A seguinte MT computa q: Q = “ Entrada string w: 1. Construir a seguinte MT Pw: Pw = “Entrada qualquer: 1. Apagar entrada 2. Escrever w na fita 3. Parar” 2. Escrever Pw na fita Se M é uma MT e <M> sua descrição, q(<M>) = <P<M>>

Auto Referência (Self-Reference) Vamos construir SELF como a função de 2 máquinas A e B <SELF> = <AB> A parte A roda primeiro e depois passa o controle para a parte B. O resultado da execução de A é escrever na fita uma descrição de B, e o resultado da execução de B é escrever convenientemente na fita uma descrição de A. O resultado final então é escrever na fita uma descrição de SELF.

Auto Referência (Self-Reference) A = P<B> e B = “ Entrada <M>, onde M é uma MT: 1. computar q(<M>) 2. combinar o resultado com <M> para ter uma descrição de uma MT. 3. escrever uma descrição e parar.” Obs : q(<B>) = <P<B>> = <A>

Teorema da Recursão Teorema 37: Seja T uma MT que computa uma função t: Σ*x Σ* Σ*. Existe uma MT R que computa uma função r: Σ*  Σ* onde para todo w, r(w) = t(<R>,w)

Teorema da Recursão Prova: R = “entrada w” 1. obter <R> 2. Computar t(<R>,w) obter <R>: A = P<BT> B = “Entrada <M> 1. Computar q(<M>) 2. Combinar remetido com <M> 3. Escrever na fita.