Representação de Grafos CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Representação de Grafos Por diagrama: mais usual e mais fácil de visualização de aspectos topológicos Percursos em grafos, adjacências, etc. Percepção de propriedades pode ser facilitada ou dificultada de acordo com o aspecto visual de um grafo Isomorfismos, planaridade Representação visual: não adequada para o computador Como armazenar a estrutura de um grafo? CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Representações mais usuais Lista de adjacência ou dicionário Simples Lista de listas de vértices Cada lista: formada por um vértice e seus adjacentes Adequada na representação de grafos esparsos Ineficiente na busca de uma aresta no grafo CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Lista de adjacência - exemplo 1 2 4 • 3 1 1 2 2 3 3 4 4 b c e • a d a e b c d CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Lista de adjacência A lista associada a um vértice pode ser vazia. Em grafos não orientados, pode-se evitar a repetição na representação de arestas adotando-se algum critério de ordenação. CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Matriz de Adjacência Seja G = (V,E) A = (aij), 1 ≤ i,j ≤ n aij = 1, quando {i,j}  E 0, caso contrário CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Matriz de Adjacência 1 a b c d e a e b c d a b c d e CC/EC/Mestrado 1 a e b c d a b c d e CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Matriz de Adjacência Diagonal principal nula: grafos sem laços Matriz simétrica: Número de 1´s na matriz = (grafo simples) Valores nulos: ausência de arestas Valores não nulos: presença de arestas ou arcos grafos sem laços grafo não orientado 2m CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Matriz de Incidência Seja G = (V,E) B = (bkl), 1 ≤ k ≤ n, 1 ≤ l ≤ m bkl = 1, quando o vértice k é incidente à aresta l 0, caso contrário CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Matriz de Incidência 1 {a,b} {a,c} {a,e} {b,c} {b,d} {c,d} {c,e} a b c a b c d e CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Matriz de Incidência Matriz esparsa de dimensão nxm Exige muito espaço de armazenamento Número de 1´s na matriz = 2m Representa exatamente um grafo Cada linha corresponde a um vértice Cada coluna corresponde a uma aresta Mais utilizada para representação de hipergrafos e programação inteira envolvendo estruturas de grafos CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Questão Qual das representações computacionais de um grafo é a mais adequada? CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Exercícios Considere o grafo G e construa: sua lista de adjacência b c Considere o grafo G e construa: sua lista de adjacência sua matriz A de adjacência sua matriz B de incidência Calcule: O produto A2. O que significam os números na diagonal? O produto B.Bt.O que significam os números na diagonal? E fora da diagonal? Existe relação entre a matriz de adjacência de um grafo G e a matriz de adjacência do seu grafo complementar G? d CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Percursos em um grafo 14

Definição Um percurso ou cadeia é uma seqüência de arestas sucessivamente adjacentes, cada uma tendo uma extremidade adjacente à anterior e a outra a subsequente (à exceção da primeira e da última) Percurso fechado: a última aresta da sucessão é adjacente a primeira; Percurso aberto: caso contrário 15

Notação A sucessão é indicada por: Vértices Arestas Vértices e arestas alternados 16

Exemplo e G a b c d 17

Comprimento de um percurso Número de arestas por ele utilizado (incluindo repetições) O que é o comprimento de um percurso em um grafo valorado? 18

Tipos de percurso Simples: não repete arestas Elementar: não repete vértices nem arestas (caminho) Ciclo: percurso simples e fechado Ciclo elementar: só há repetição do último vértice Uma corda é uma aresta que une dois vértices não consecutivos de um ciclo 19

Percurso abrangente Um percurso é abrangente a um dos conjuntos do grafo quando utiliza todos os elementos desse conjunto ao menos uma vez Euleriano Hamiltoniano 20

Exercícios G1 2 G2 Indique percursos simples e não simples em G1 Indique percursos elementares em G2 Todo percurso elementar é simples. Todo percurso simples é elementar? Explique. Indique um ciclo em G1 e um ciclo elementar em G2 Indique um caminho de comprimento 4 em G2 e um percurso de comprimento 6 em G2 a b G1 c d e 2 G2 21