CI202Y - Métodos Numéricos Nelson Suga 2010 2 CONCEITO DE ERRO

Agenda Introdução Erros na fase de modelagem Erros na fase de resolução Erros absolutos e relativos Erro de arredondamento Erro de truncamento Conclusão Erros 15+1

Introdução Porque tratar de erros? 1 Para determinar a acuracidade dos resultados numéricos 2 Para desenvolver os critérios de parada usados nos algoritmos iterativos Erro é a diferença entre o valor exato e o valor apresentado Erros 15+1

Erro – é inerente nas soluções numéricas O erro está sempre presente nas soluções numéricas devido à incerteza sobre o valor real na entrada. Exemplo: Representação intervalar de dados Comprimento (50,3 ± 0,2) cm Volume (1,57 ± 0,01) ml Massa (110,276 ± 1,25) Kg Tensão elétrica (12,57 ± 0,05) V Erros 15+1

Erros na fase de modelagem Devido às simplificações do problema George Box (estatístico): todos os modelos estão errados; alguns modelos são mais úteis do que outros. Exemplos de simplificações Modelo de queda livre dos corpos, sem considerar a resistência do ar e outros fatores Modelo linear de redução de custo de produção por unidade, com a capacidade instalada de fabricação Erros 15+1

Erros na fase de resolução Erros de solução Devido à representação numérica utilizada pelo computador ser finita Devido à capacidade do computador em armazenar os resultados intermediários das operações sobre os dados ser limitada Arredondamento Erros 15+1

Erros absolutos e relativos Erro Absoluto (EA): é a diferença entre o valor exato de um número N e de seu valor aproximado N’ EAN = N-N’ Erro Relativo: é definido como o erro absoluto dividido pelo valor aproximado ERN = EAN/N’ = (N-N’)/N Erros 15+1

Exemplos |EAα|=|α-α’|=0,373 |EAβ|=|β-β’|=0,373 Seja α’ a parte inteira de α=3876,373, usando somente a parte inteira: |EAα|=|α-α’|=0,373 Seja agora β’ a parte inteira de β=1,373 |EAβ|=|β-β’|=0,373 Os dois erros absolutos são iguais. Entretanto, o efeito da aproximação em β é muito maior que em α, como traduz o cálculo do erro relativo: Erros 15+1

Limitação do erro absoluto Como o valor exato de um resultado não é normalmente conhecido, trabalha-se com uma limitação máxima para o erro, por exemplo pi=3,141592654... Ex: Tomando-se um valor de dentro deste intervalo, erro absoluto cometido é limitado por Erros 15+1

Erro de arredondamento Erros devidos a valores iniciais, intermediários e finais conduzem a erro global Tipos de arredondamento: Arredondamento para baixo ou por falta - truncamento Arredondamento para cima ou por excesso Arredondamento para o número de máquina mais próximo Erros 15+1

Critério de arredondamento Erro de Arredondamento: incrementa-se ou despreza-se parte de x, para que se alcance determinada precisão. Regra: somar meia unidade após a última casa decimal a conservar; e desprezar as demais casas. Ex: Erro de Truncamento: despreza-se parte de x para que se alcance determinada precisão. Erros 15+1

Erro de truncamento . Número de iterações Erro proveniente da limitação do número de iterações dos métodos numéricos durante a determinação de um valor de interesse Número de iterações Teórico  Infinito ou muito grande Prático  Limitado por restrições associadas à capacidade de processamento/ armazenamento do sistema. Exemplo: calcula-se a somatória seguinte com menos de 20 termos na maioria das vezes: . Erros 15+1

Exemplo Calcular Resultado no computador (programa; não em planilha) Por que? O valor 0,1 decimal não tem representação binária finita. Veremos no próximo capítulo. Erros 15+1

Como garantir excelência nas soluções: seguir um padrão de melhores práticas Certificar os instrumentos de trabalho Graus e radianos para ângulos Número de dígitos significativos (usar 6 casas ou tudo que a calculadora possibilita) Planejar: espaço e tempo para entendimento e solução Ler e reler o enunciado para saber o que está sendo pedido e o que está sendo fornecido Auto-auditar ubiquamente (em todos os lugares e o tempo todo) Verificar cada passagem e validar os resultados intermediários Destacar claramente a resposta Erros 15+1

Conclusão Relembrando: a disciplina é sobre números e métodos: Métodos Numéricos É importante saber quanto de erro pode estar cometendo, para saber os limites da resposta Erros nas diversas fases: modelagem e resolução Erro: relativo, absoluto, arredondamento e truncamento Garantir excelência nos resultados (correção e mais do que a correção) através de uso de padrão de solução e auditoria ubíqua Erros 15+1

Muito obrigado! Erros 15+1