Fractais L-Systems - Computação Natural - Componentes: Alessandro Oliveira Giovanni Comarela Leonel Fonseca Tatiana Pontes Yuri Tavares

Sumário Fractais Introdução Motivação Dimensão fractal L-systems Definição Histórico Estrutura Exemplos Aplicações

Introdução Surgimento dos fractais: Do latim fractus: quebrado, fraturado O termo “fractal” surgiu em 1975 (Benoît Mandelbrot) Inspirado no paradoxo da costa Características dos fractais: Autossimilaridade e/ou autossimilaridade estatística Maneira bem definida de criação do fractal Pertencem a uma “dimensão fractal”

Motivação Modelagem de estruturas naturais (árvores, flocos de neve, etc) Modelagem de objetos que possuem uma natureza caótica Maneira relativamente simples de se representar estruturas complexas Natureza aleatória de eventos naturais (crescimento de galhos numa árvore)

Motivação Problema da costa da Grã-Bretanha Quanto menor o instrumento de métrica, maior o comprimento da costa

Dimensão fracionária Contando ε-bolas (modelo simplificado): Cada ε-bola consiste em uma esfera de raio ε Considere que para cobrir os segmentos do objeto em questão sejam necessárias N ε-bolas A análise da influência da diminuição do raio ε sobre o número N necessário para cobrir o objeto estima a dimensão do objeto

Definição L-systems L-System é uma variação de uma gramática formal, que permite reescrita paralela; Sua aplicação mais famosa é a modelagem do crescimento de plantas; Permite modelar crescimento morfológico de uma variedade de organismos; Utilizada para gerar fractais auto-similares;

Definição L-systems A principal diferença em relação em relação as gramáticas de Chomsky está em como aplicar regras de produção: sequencial x paralela; Esta diferença reflete a motivação biológica. Produções capturam divição das células de organismos multicelulares (Várias divisões ocorrem simultaneamente);

Definição (cont.) L-Systems = Lindenmayer Systems Aristid Lindenmayer 1925–1989

Histórico Como biólogo, Lindenmayer trabalhou com leveduras e fungos filamentosos e estudou os padrões de crescimento de vários tipos de algas. Originalmente, L-Systems foram concebidas para fornecer uma descrição formal do desenvolvimento de tais simples organismos multicelulares. Posteriormente, esse sistema foi estendido para descrever as plantas e estruturas complexas de ramificação.

Classificação Existem vários tipos de L-Systems: Context-Free L-Systems; Stochastic L-Sytems; Branching Structures; 3D; Context-Sensitive L-Systems; ...

DOL-Systems

Interpretação Gramáticas geram strings. O que fazer com estas strings para que elas tenham uma interpretação gráfica? A cada símbolo do alfabeto é dada uma semântica para que cada string gerada possa ser mapeada em um “desenho”; Turtle Interpretation: Considere uma tartaruga andando no espaço bidimensional. O estado da tartaruga é dado pela tripla (x, y, a), onde (x,y) é uma coordenada no plano e a um ângulo (direção do próximo passo da tartaruga);

Interpretação (cont.) Turtle Interpretation: Considere o estado da tartaruga como a tripla (x, y, a), onde (x,y) é uma coordenada no plano e a um ângulo (direção do próximo passo da tartaruga).

Interpretação (cont.) Curva de Koch: Variável: F Constantes: + e – Axioma: F Produção: F -> F + F - F - F + F Ângulo delta: 90 graus

Interpretação (cont.)

Interpretação (cont.) Fractal Planta: Variáveis: F e X Constantes: +, -, [ e ] Axioma: X Produções: X -> F−[[X]+X]+F[+FX]−X e F -> FF Ângulo delta: 25 graus

Interpretação (cont.) Fractal Planta (Estágio n = 6)

Stochastic L-Systems

Stochastic L-Systems 6 imagens produzidas pela mesma gramáticas. Todas representam o 5 estágio.

Stochastic L-Systems Exemplo mais complexo (Flower Field)

Exemplos Curva do dragão: Applet

Exemplos Curva do dragão: O Heighway Dragon (também conhecido como Jurassic Park Dragon) foi inicialmente estudado por físicos da NASA Apareceu na novela Jurassic Park, de Michael Crichton, a qual deu origem ao filme Na história, o conhecido matemático e teórico do caos Ian Malcon criou curvas do dragão para simular as ações que seriam tomadas no parque

Exemplos Curva do dragão: Descrição Começando por um segmento base, substitua cada segmento por dois segmentos com um ângulo de 90° entre eles e com uma rotação de 45° alternadamente para a esquerda e para a direita.

Exemplos Curva do dragão: Variáveis: X Y Constantes: F + - Axioma: FX Regras: Ângulo: 90° “F”, “+” e “-” representam ações de desenho X e Y são usados apenas para controlar a evolução da curva.

Exemplos Curva do dragão: Também pode ser gerado pelo conjunto limite da seguinte IFS (iterated function system), no plano Real Essa representação é mais usada em softwares como o Aphophysis, da Microsoft

Exemplos Curva do dragão: Dobrando o Dragão Para as primeiras iterações, a sequência de viradas é a seguinte: 1st iteration: R 2nd iteration: R R L 3rd iteration: R R L R R L L 4th iteration: R R L R R L L R R R L L R L L Padrão: Pegue a iteração anterior e adicione um R ao fim dela. Pegue a iteração original de trás para frente, mude cada letra e adicione o resultado após o R

Exemplos Curva do dragão: Dobrando o Dragão Esse padrão origina o método de dobramento conhecido como “dobrando uma tira de papel”

Exemplos Curva do dragão: Dobrando o Dragão Esse padrão também possibilita calcular a direção do n-ésimo giro da sequência Para tal, primeiro expressa-se n sob a forma em que k é um número ímpar. Depois, divide-se k por 4. Se o resto da divisão for 1, então o giro é para a direita. Se for 3, o giro é para a esquerda. Exemplo: 76376º giro 76376 = 9547 x 8. 9547 = 2386x4 + 3 so 9547 mod 4 = 3 so turn 76376 is L

Exemplos Curva do dragão: Dimensões

Exemplos Curva do dragão: Dimensões Seu perímetro é infinito, uma vez que é incrementado por um fator de a cada iteração A curva nunca cruza ela mesma Sua dimensão fractal pode ser calculada: A dimensão fractal de sua fronteira foi aproximada numericamente por Chang & Zhang:

Exemplos Curva do dragão: Dimensões Possui muitas auto-similaridades, sendo a mais óbvia a repetição do mesmo padrão rotacionado de 45° e com o tamanho modificado por uma taxa de

Lírio-do-brejo (Convallaria majalis): A → I[IF0]A Fi → Fi+1 Onde I representa ramos e Fi o crescimento de uma flor

Aplicando as regras da gramática: I[IF0]A I[IF1]I[IF0]A I[IF2]I[IF1]I[IF0]A I[IF3]I[IF2]I[IF1]I[IF0]A

Lírio-do-brejo (Convallaria majalis)

Aplicações Floco de neve de von Koch Divide segmento de reta em 3 segmentos iguais. Desenha triângulo equilátero com segmento central como base. Apaga o segmento que serviu de base ao triângulo do passo 2.

Aplicações Floco de neve de von Koch Divide segmento de reta em 3 segmentos iguais. Desenha triângulo equilátero com segmento central como base. Apaga o segmento que serviu de base ao triângulo do passo 2.

Aplicações Montanhas fractais Modelagem de relevo. Cada iteração estabelece uma altura para as medianas dos segmentos.

L-systems e Algoritmos Genéticos Aplicações L-systems e Algoritmos Genéticos GA com genótipos inspirados em L-systems. Função de fitness baseada em hipóteses evolucionistas sobre fatores que tiveram maior efeito sobre a evolução das plantas.

L-systems e Algoritmos Genéticos Aplicações L-systems e Algoritmos Genéticos GA para construção de figuras simétricas. Função de fitness favorece estruturas com simetria bilateral.

Aplicações Mitose Celular Processo de divisão celular conservativa. Célula inicial origina duas novas células com a mesma composição genética.

Aplicações Iris do Olho Humano Iris do olho humano formada por interpolação de padrões.

Aplicações Arquitetura de Plantas Crescimento de plantas representado por um l-systems.

Aplicações Arte em L-systems

Considerações finais L-systems são úteis e importantes por vários motivos: Permitem modelagem da natureza com estruturas complexas de essência caótica e aleatória. Possuem diversas aplicações práticas, uma vez que auxiliam na obtenção de formatos mais próximos da realidade. Devido à sua utilidade, há vários códigos disponíveis na web (de fácil uso) para a criação de novos L-systems.

Referências http://jsxgraph.uni-bayreuth.de/wiki/index.php/Plant_generation_I http://www.biologie.uni-hamburg.de/b-online/e28_3/lsys.html http://www.generation5.org/content/2002/lse.asp http://algorithmicbotany.org/papers/WebApps/LSystems/LSys.html http://en.wikipedia.org/wiki/L-system Lindenmayer A (1968). Mathematical models for cellular interaction in development I. Filaments with one-sided inputs. Journal of Theoretical Biology 18:280-289 Prusinkiewicz P, Lindenmayer A (1990). The Algorithmic Beauty of Plants. Springer-Verlag:New York