Campus de Caraguatatuba Aula 18: Sistemas de Equações Lineares (6) Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba Licenciatura em Matemática 10 Semestre de 2013 Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 18: Sistemas de Equações Lineares (6)

Introdução Os métodos numéricos destinados a resolver sistemas lineares são divididos em dois grupos: Os Métodos Diretos; e Os Métodos Iterativos. Os Métodos Diretos são aqueles que, exceto por erros de arredondamento, fornecem a solução exata de um sistema de equações lineares, caso ela exista, por meio de um número finito de operações aritméticas. Os Métodos Iterativos são aqueles que geram uma sequência de vetores {x(k)}, a partir de uma aproximação inicial x(0). Sob certas condições, a sequência converge para a solução x*, caso ela exista.

Métodos Diretos (1) Seja o sistema linear Ax = b, onde se tem, A: matriz de coeficientes, n x n; X: vetor das variáveis, n x 1; e B: vetor dos termos constantes, n x 1. Esse sistema é convertido, sob a aplicação de alguma sistemática, num outro sistema do tipo x = Cx + g, onde a matriz C é n x n e o vetor g é um vetor n x 1. Tem-se então que a função φ(x) = Cx + g é uma função de iteração dada na forma matricial.

Métodos Diretos (2) Sistemática utilizada: Parte-se de x(0) (vetor aproximação inicial) e se constrói, de forma consecutiva, os vetores a seguir, A aproximação x(k+1), é calculada pela fórmula a seguir, Ou seja,

Métodos Diretos (3) Critérios de Parada: As iterações são repetidas até que o vetor x(k) esteja suficientemente próximo do vetor x(k-1) . A distância entre esses dois vetores é dada por, Dada uma precisão  qualquer, o vetor x(k) será escolhido como , solução aproximada da solução exata, se d(k) < .

Métodos Diretos (4) Critérios de Parada: Pode-se também efetuar o teste de erro relativo, Adicionalmente, o número máximo de iterações (execuções da sistemática) pode ser usado também como critério de parada.

Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (1) Seja o sistema linear original apresentado a seguir,

Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (2) Supondo que aii ≠ 0, i = 1,...n, isola-se o vetor x mediante a separação pela diagonal, conforme mostrado a seguir, para se obter x = Cx + g, E dessa forma tem-se x = Cx + g, onde

Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (3)

Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (4)

Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (5) Exemplo 1: Resolver o sistema linear apresentado a seguir, pelo Método de Gauss-Jacobi, com

Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (6) Uma iteração genérica é, Tem-se na forma matricial, , então

Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (7) Na primeira iteração (k = 0), tem-se, Ou seja,

Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (8) Fazendo-se o cálculo de dr(1), tem-se Na próxima iteração, tem-se

Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (9) Na iteração seguinte, tem-se, Solução do sistema linear original, com erro menor que 0,05 obtida pelo Método de Gauss-Jacobi é,

Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (10) Observação Importante:

Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (11) Teorema: Critério das Linhas.

Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (12) Exemplo 2: Seja o sistema linear apresentado a seguir, E a matriz A, apresentada a seguir,

Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (13) Tem-se que, E pelo Critério das Linhas, tem-se a garantia de convergência para o método de Gauss-Jacobi.

Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (14) Exercício 1: Seja o sistema linear apresentado a seguir, Resolver pelo método de Gauss-Jacobi e testar o Critério das Linhas.

Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (15) Exercício 2: Seja o sistema linear apresentado a seguir, Testar o Critério das Linhas.

Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (16) Exercício 3: Seja o sistema linear apresentado a seguir, Permutar a 1ª linha com a 2ª linha e testar o critério das linhas.

Métodos Iterativo de Gauss-Jacobi (17) Observação: Sempre que o Critério das Linhas não for satisfeito, deve-se tentar uma permutação de linhas e/ou colunas de forma a se obter uma disposição para a qual a matriz dos coeficientes satisfaça o Critério das Linhas. No entanto nem sempre é possível obter tal disposição.