Mestrado em Informática Alguns conceitos de Teoria dos Grafos para Fluxo em Redes Maria Claudia Silva Boeres boeres@inf.ufes.br Teoria dos Grafos 1 1

Motivação Definições e terminologias usadas em diferentes formulações e algoritmos de fluxo em redes Teoria dos Grafos 2 2

Discutiremos... Definições e terminologias de Teoria dos Grafos para fluxo em redes Estruturas de Dados para representação de Redes Transformações de modelos de problemas de fluxo em redes Teoria dos Grafos 3 3

Conceitos Básicos O que é um grafo? G=(V, E) V = {v1, ..., vn} E = {e1, ..., em} vértices arestas ek = {vi,vj}, k = 1,...,m, i,j = 1,..., n vi e vj são ditos extremos de ek CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos 4 4

Exemplo G = (V, E) V = {a,b,c,d,e} E = {{a,b},{a,c},{b,c},{b,d},{c,d},{c,e}} = { e1, e2, e4, e5, e7, e9} Grafo simples a e b c d e1 e2 e5 e3 Multigrafo e6 e4 e7 e9 e8 G = (V, E) V = {a,b,c,d,e} E = {{a,b},{a,c},{b,b},{b,c},{b,d},{c,d},{c,d},{c,d},{c,e}} = { e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9} CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Conceitos Uma aresta do tipo {vi,vi} é denominada laço. A aresta e3 do exemplo anterior é um laço. Arestas que possuem os mesmos vértices extremos são ditas paralelas. As arestas e6, e7 e e8 do exemplo anterior são paralelas. Um grafo que possui arestas paralelas é denominado multigrafo. Um grafo sem laços nem arestas paralelas é denominado grafo simples. CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos 6 6

Conceitos Os extremos de uma aresta são ditos incidentes com a aresta, e vice-versa. u v e u e v são incidentes a e e é incidente a u e a v CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Conceitos Dois vértices que são incidentes a uma mesma aresta são ditos adjacentes. Duas arestas que são incidentes a um mesmo vértice são ditas adjacentes. u v e u e v são adjacentes e1 e1 e e2 são adjacentes e2 u CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Observação O conceito de incidência ou adjacência é importante para a representação da estrutura de um grafo como um diagrama CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos 9 9

Conceitos O número de vértices de um grafo G é denotado por n = |V|. O valor n também é conhecido como ordem de G O número de arestas de um grafo é denotado por m = |E| Se n e m são finitos, o grafo é finito. Caso contrário é dito infinito. Exemplo de grafo infinito: malhas CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos 10 10

Conceitos O número de arestas incidentes a um vértice v é denominado grau(v) e representado por d(v). Grau também é conhecido como valência. a e b c d d(a) = 3 d(b) = 5 d(c) = 4 d(d) = 2 d(e) = 2 CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Conceitos Vértice isolado é o vértice que não possui arestas incidentes (grau nulo) Vértice folha ou terminal é o vértice que possui grau 1 Vizinhos de um vértice são os vértices adjacentes a ele. e d é um vértice folha e e é um vértice isolado b e c são vizinhos de a a d b c CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos 12 12

Conceitos Pares de vértices (ou de arestas) não adjacentes são denominadas independentes. Um conjunto de vértices (ou arestas) é independente se nenhum par de seus elementos é adjacente. CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos 13 13

Exemplo e10 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 a b c d g e f e g e10 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e1 e e5 são independentes a e d são independentes {b,e,g} é um conjunto independente {e1, e5 } é um conjunto independente CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Seja G = (V,E) um grafo simples com n vértices e m arestas. Então Teorema 1: Seja G = (V,E) um grafo simples com n vértices e m arestas. Então ∑ d(v) = 2m v Є V Prova: A aresta e é incidente aos vértices v e w É contabilizada no cômputo do grau de v e também de w. u v e CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

O número de vértices de grau ímpar, de um grafo G, é par. Corolário 1: O número de vértices de grau ímpar, de um grafo G, é par. Prova: V VI VP ∑ d(v) = ∑ d(v) + ∑ d(v) = 2m v Є V v Є VI v Є VP par CC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Subgrafos Subgrafo: G' = (N', A') é um subgrafo de G = (N, A) se N'  N e A' A. Subgrafo induzido por N': G' = (N', A') é um subgrafo de G = (N, A) induzido por N' se G' contém todos os arcos de G que ligam apenas os vértices de N'. Subgrafo gerador: o subgrafo G' = (N', A') de G = (N, A) é gerador se N' = N e A' A. 2010/2 Teoria dos Grafos

Percursos Percurso: é um subgrafo de G = (N, A) que consiste de vértices e arcos em uma sequência i1 – a1 – i2 – a2 – i3 – a3 - … - ir-1 – ir, que satisfaz a seguinte propriedade: k, 1  k  r-1, ak = (ik, ik+1) Aou ak = (ik+1, ik) A. Percurso direcionado: todos os arcos do percurso estão na mesma direção. Percurso simples direcionado: étodos os arcos do percurso direcionado não se repetem, podendo haver repetição de vértices. Caminho: percurso simples sem repetição de vértices. Caminho direcionado: percurso simples direcionado sem repetição de vértices. 2010/2 Teoria dos Grafos

Percursos Ciclo: percurso simples e fechado (o nó inicial coincide com o final). Ciclo direcionado: ciclo orientado com todos os arcos na mesma direção. Rede acíclica: um grafo é acíclico se não contém ciclo direcionado. 2010/2 Teoria dos Grafos

Conexidade Dois vértices estão conectados se existe um caminho entre eles. Um grafo é conexo se todo par de vértices é conectado. Caso contrário é desconexo. Grafo simplesmente conexo ou s-conexo: todo par de vértices é unido por ao menos um caminho no grafo correspondente não direcionado. Grafo semi-fortemente conexo ou sf-conexo: em todo par de vértices do grafo, um deles é atingível a partir do outro (ou seja, entre eles existe um caminho em ao menos um dos dois sentidos possíveis) Grafo fortemente conexo ou f-conexo: todo par de vértices é mutuamente atingível, ou seja, a todo par de vértices está associado um par de caminhos de sentidos opostos. Todo vértice é atingível a partir de um vértice dado e todo vértice atinge todo vértice dado 2010/2 Teoria dos Grafos

Exemplos a d b c 2010/2 Teoria dos Grafos

Níveis de Conexidade s-conexo f-conexo sf-conexo 2010/2 Teoria dos Grafos

Componentes f-conexas Um grafo orientado qualquer pode ser particionado em componentes f-conexas maximais. Se um grafo orientado é f-conexo: a partição é o próprio conjunto de vértices do grafo. 2010/2 Teoria dos Grafos

Corte de arcos Um corte é um conjunto de arcos que define uma partição do conjunto de vértices [S, N-S], de maneira que cada arco pertencente ao corte possui um dos seus extremos em S e o outro em N-S. Um corte s-t é um corte [S, N-S] com respeito a dois vértices s e t do grafo, de maneira que s S e t N-S. 2010/2 Teoria dos Grafos

Árvores Uma árvore é um grafo conexo sem ciclos. Algumas propriedades: Uma árvore com n nós possui exatamente n-1 arcos Cada par de vértices de uma árvore está conectado por exatamente um único caminho Uma árvore possui pelo menos 2 folhas (vértices de grau 1) Uma floresta é um grafo sem ciclos. Subárvore: um subgrafo conexo de uma árvore Árvore enraizada: algum vértice da árvore é escolhido como raíz e todos os outros vértices são “hierarquizados” de acordo com essa raíz 2010/2 Teoria dos Grafos

Árvores Uma árvore out-tree direcionada enraizada no nó s é uma árvore T na qual o único caminho entre s e cada vértice de T é um caminho direcionado. Uma árvore in-tree direcionada enraizada no nó s é uma árvore T na qual o único caminho entre cada vértice de T e s é um caminho direcionado. Árvore geradora: Uma árvore T é uma árvore geradora de G se T é subgrafo gerador de G e é uma árvore. Um grafo G é bipartido se o seu conjunto de vértices pode ser particionado em 2 conjuntos N1 e N2 de forma que cada arco de G possui um dos extremos em N1 e o outro em N2 e não há arcos que liguem vértices de uma mesma partição. Propriedade: Um grafo G é bipartido sss cada ciclo em G possui comprimento par. 2010/2 Teoria dos Grafos