Filas M/M/1

M/M/1 É o exemplo mais simple de um PNM. Servidor único Processos de chegada Poisson Tempo de serviço com distribuição exponencial. Política de serviço FIFO  Chegadas de Poisson k Serviço exponencial  9 6 50 58 55 55

M/M/1 Sistema Chegadas fila servidor 38 51 59 56 56

M/M/1 Sistema Chegadas fila servidor 39 52 60 57 57

M/M/1 Sistema Chegadas fila servidor 40 53 61 58 58

M/M/1 Sistema Chegadas fila servidor 41 54 62 59 59

M/M/1 Sistema Chegadas fila servidor 42 55 63 60 60

M/M/1 Sistema Chegadas fila servidor 43 56 64 61 61

M/M/1 Sistema Chegadas fila servidor 44 57 65 62 62

M/M/1 Sistema Chegadas fila servidor 44 57 66 63 63

M/M/1 Sistema Chegadas fila servidor 44 57 67 64 64

M/M/1 Sistema Chegadas fila servidor 44 57 68 65 65

M/M/1 Exemplo 1: seja a seguinte representação de uma rede de comutação de pacotes k = : taxa de chegada dos pacotes ao nó k = : taxa de saída dos pacotes para o canal k k 14 11 60 69 68 68

M/M/1 Segundo a solução de PNM se tem que: Por outro lado, a condição de normalização estabelece que: Portanto, se : 15 12 61 69 70 69

M/M/1 Segundo a solução de PNM se tem que: Por outro lado, a condição de normalização estabelece que: Portanto, se : 15 12 61 69 70 69

M/M/1 De onde: O tempo médio de permanência no sistema, igual ao tempo de espera mais o tempo de serviço, se obtém pela fórmula de Little: 16 13 62 70 72 70

M/M/1 Exemplo 2: considera-se agora o mesmo sistema de filas M/M/1 do exemplo anterior, porém a taxa de serviço é 2.   17 14 63 71 73 71

M/M/1 O valor médio do número de pacotes no sistema é: O tempo médio de permanência no sistema é: 18 15 64 72 74 72

Gráfico comparativo E[s]= tempo de resposta normalizado E[s] M/M/1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 E[s] /2 M/M/1 () (2 E[s]= tempo de resposta normalizado 22 19 65 73 75 73

Análise de um concentrador A ocupação média de um buffer de um concentrador de dados pode ser calculada para diferentes casos. Neste tipo de equipamento, os pacotes que entram de terminais a ele conectados são armazenados por ordem de chegada em um buffer, e são então lidos em FIFO sobre um enlace de saída de transmissão.

Análise de um concentrador 10 terminais estão conectados ao concentrador Cada um gera um pacote a cada 8 segundos (distribuição exponencial) Pacotes têm 960 bits de comprimento em média (distribuição exponencial) Linha de saída com capacidade de 2400 b/s Ocupação média do buffer = E [n] = ? Atraso médio no sistema = E [T] = ? Tempo médio de espera na fila = E [W] = ?

Análise de um concentrador Modelo: para modelar o buffer será usada uma fila M/M/1 Ocupação média do buffer Portanto:

Análise de um concentrador Atraso médio, usando a Lei de Little: Tempo médio de espera:

Análise de um concentrador Cada terminal gera pacotes a cada 5 seg em média. Encontre a ocupação média do buffer E[n], o atraso médio E[T] e a média do tempo de espera E[W]. Para modelar o buffer será usada uma fila M/M/1. Ocupação média do buffer:

Análise de um concentrador Atraso médio, usando a Lei de Little: Tempo médio de espera:

Filas M/M/C

M/M/C E[t] = 1/ =: tempo médio entre chegadas ao sistema E[x] = 1/: tempo médio dos clientes em serviço u = E[x]/E[t] = /: intensidade de tráfego C: número de servidores A utilização de um servidor é então: 10 7 58 66 76 66

M/M/C E[t] = 1/ =: tempo médio entre chegadas ao sistema E[x] = 1/: tempo médio dos clientes em serviço u = E[x]/E[t] = /: intensidade de tráfego C: número de servidores A utilização de um servidor é então: 10 7 58 66 76 66

M/M/2 Exemplo 3: adiciona-se outra saída, formando um sistema de filas M/M/2    19 66 16 78 74 74

M/M/2 Para k a taxa de serviço efetiva é 2. Logo, segundo a solução geral de um PNM : Junto com a equação de normalização, obtém-se: 20 17 67 75 79 75

M/M/2 Então, Finalmente, a ocupação média do sistema e o tempo médio de permanência no sistema são: 21 18 68 76 80 76

Gráfico comparativo E[s]= tempo de resposta normalizado E[s] M/M/1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 E[s] /2 M/M/1 M/M/2 2 E[s]= tempo de resposta normalizado 22 19 69 77 81 77

M/M/1 Exemplo 4: O servidor está ocupado na metade do tempo Fila M/M/1 Tempo entre chegadas = 20 [s] = 1/  Tempo de serviço = 10 [s] = 1/  Número de servidores = 1 = C O servidor está ocupado na metade do tempo 11 8 70 78 82 78

M/M/1 Exemplo 5: Fila M/M/1 Tempo entre chegadas = 20 [s] = 1/  Tempo de serviço = 30 [s] = 1/  Número de servidores = 1 = C O sistema é inundado com chegadas (sistema instável): pode ser resolvido com outro servidor. 12 9 71 79 83 79

M/M/2 Exemplo anterior com dois servidores: Tempo entre chegadas = 20 [s] = 1/  Tempo de serviço = 30 [s] = 1/  Número de servidores = 2 = C  Os servidores estarão ocupados durante 75% do tempo 13 10 72 80 84 80

Modelos de filas aplicavéis a centrais telefônicas 1

Fila M/M/  Parâmetros Tempo entre chegadas ~ Exp () 1 Exp () Exp () 2  Parâmetros Tempo entre chegadas ~ Exp () Tempo de serviço ~ Exp () Infinitos servidores  não existem filas 2

Cadeia de Markov M/M/ Equações: Neste caso: 1 m  m + 1 m – 1   1 m + 1 m m – 1    (m–1) m (m+1) (m+2) Equações: Neste caso: 3

De onde obtém-se que: 5 10 15 20 25 30 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 Probabilidade de que existam n pessoas em um sistema M/M/, com A=15 Erlangs n Pn 4

Em uma fila M/M/: Pn ~ P ( Por definição: L = / Observação: Em uma fila M/M/: Pn ~ P ( Por definição: L = / Aplicando a Lei de Little : L = ·W LQ = ·WQ = L – m · = L – , com: m: número médio de servidores em uso r: uso médio destes servidores Então: LQ = WQ = 0, o que está de acordo com o modelo de infinitos servidores. 5

Fila M/M/m Parâmetros Tempo entre chegadas ~ Exp () 1 2 m Exp () Parâmetros Tempo entre chegadas ~ Exp () Tempo de serviço ~ Exp () Número de servidores : m Fator de Utilização: /m 6

Cadeia de Markov M/M/m Equações: Neste caso:       1 m m – 1 1 m – 1 m m + 1   (m–1) m m m Equações: Neste caso: 7

Substituindo e manipulando: 8

Observação: Probabilidade de que ao chegar um pacote espere por algum servidor livre, P(Fila): Como o tempo entre chegadas é distribuído exponencialmente: Logo, a probabilidade de existir fila é dada por: o que corresponde à fórmula Erlang – C : 9

Problema: calcular a probabilidade de espera Solução: Exemplo m = 8 linhas de saída. A = 4,5 Erlangs Problema: calcular a probabilidade de espera Solução: 10

Exemplo PBX com 40 ramais Cada ramal realiza diariamente, em média, 54 ligações A duração de cada ligação é, em média, de 3 minutos. Problema 1: qual é o número de troncos de saída necessários para uma probabilidade 5% de que exista fila máxima? 11

Probabilidade de fila com A=4,5 Erlangs Solução  = 40·542460 = 1,5 ligaçõesmin 1 = 3 minligação A = 1.5 · 3 = 4.5 Erlangs Número mínimo de troncos de saída: m = 9 PFila = 4.61 % 8 9 10 11 2 4 6 12 Número de troncos (servidores) P(Fila) % Probabilidade de fila com A=4,5 Erlangs 12

Probabilidade de fila com A=4,5 Erlangs Problema 2: qual é o número de troncos de saída necessários para uma probabilidade de 0,1% de que exista fila máxima? Solução: os parâmetros do problema se mantém. Número mínimo de troncos de saída: m = 13 PFila = 0.08 % Probabilidade de fila com A=4,5 Erlangs 0.8 0.7 0.6 P(Fila) % 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 11 12 13 14 Número de troncos (servidores) 13

Comparação: Número mínimo de troncais de saída para : PF 5 %  m = 9  PF  4,61 % PF 0,1 %  m = 13  PF  0,08 % Agregaram-se 4 troncos (isto é, aumento de 44,44 %). Diminui-se a probabilidade de haver fila em 57,625 vezes (é dizer, diminuiu-se de 98,26 %). 14

Fila M/M/1/N Parâmetros Tempo entre chegadas ~ Exp () 2 3 N N-1 Parâmetros Tempo entre chegadas ~ Exp () Tempo de serviço ~ Exp () Número de servidores : 1 Fator de utilização: / 15

Cadeia de Markov M/M/1/N 1 N N – 1   2 Equações: Neste caso: 16

Substituindo e manipulando : Conclusão: 17

Probabilidade de bloqueio M/M/1/N PB: probabilidade de que uma ligação que chega encontre a fila cheia e se perca. Fila  ·PB  Exp () Da figura:  = ·(1-PB) 18

Juntando ambas equações e manipulando: Além do mais,  é a velocidade de processamento  multiplicada pela fração de tempo que o servidor trabalha o servidor, isto é:  = ·(1-P0) Juntando ambas equações e manipulando: Aplicando a Lei de Little : 19

Exemplo: em um PBX foram obtidas as seguintes estatísticas:  = 15 ligaçõeshr = 0,25 ligaçõesmin 1 = 3 minligação Qual deve ser o tamanho do buffer para que a probabilidade de se perder uma ligação seja no máximo 0,1% ? 20

Solução: buffer = 19 ligações Probabilidade de bloqueio v/s troncos de entrada 0.35 0.3 0.25 Pb % 0.2 0.15 0.1 0.05 14 16 18 20 22 24 N 21

Fila M/M/N/N Parâmetros Tempo entre chegadas ~ Exp () 1 2 N Parâmetros Tempo entre chegadas ~ Exp () Tempo de serviço ~ Exp () Número de servidores : N Fator de Utilização: /N 22

Cadeia de Markov de M/M/N/N 1 N N – 1      2  Equações: EBG: V. Saída ·P0 (+i)·Pi N·PN Estado 0 < i < N N =  V. Entrada ·P1 (i+1)·Pi+1+ ·Pi-1 ·PN-1 23

Manipulando obtém-se: Usando: Se obtém que: 24

Observação: a probabilidade PN de que o sistema se encontre cheio e que ao chegar uma ligação esta se perca é dada pela fórmula de perda da distribuição de Erlang: 25

As seguintes curvas são usadas para o dimensionamento de centrais PBX: 5 10 15 20 25 30 40 50 60 70 80 90 100 Probabilidade de bloqueio v/s troncos de entrada N Pb % A=30Erl Dada a máxima intensidade de tráfego, movimenta-se por uma curva, avaliando a probabilidade de que um cliente não possa se comunicar, para distintas quantidades de troncos de entrada. 26

Probabilidade de bloqueio v/s troncos de entrada para A = 10 Erlangs 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 N Pb % Supondo-se intensidade de tráfego máxima de 10 Erlangs, avalia-se as grandes diferenças entre as probabilidades de bloqueio, usando diferentes números de troncos de entrada. 27

Probabilidade de bloqueio v/s intensidade de tráfego As seguintes curvas são usadas para verificar o dimensionamento de PBX já instaladas: 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Probabilidade de bloqueio v/s intensidade de tráfego A [Erlangs] Pb % N = 5 9 13 17 21 25 29 Dada uma PBX com certo número de troncos, a probabilidade de bloqueio é dada pela curva correspondente, conforme seja a intensidade de tráfego em cada momento. 28

6 7 8 9 10 11 12 13 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Probabilidade de bloqueio v/s intensidade de tráfego para N = 21 troncos A [Erlangs] Pb % Observa-se que para um pequeno aumento na intensidade de tráfego, a probabilidade de bloqueio pode aumentar de maneira significativa. 29

Exemplo: Problemas: PB  0,4% N = 100 linhas 1 = 5 minligação Determinar a máxima intensidade de tráfego admissível. Determinar a máxima taxa de chegada de ligações para que não ocorra bloqueio. 30

Probabilidade de bloqueio v/s intensidade de tráfego Solução: Determinar a máxima intensidade de tráfego admissível A = 80 Erl PB = 0,399% 78 79 80 81 82 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 A [Erlangs] Pb % Probabilidade de bloqueio v/s intensidade de tráfego 31

Determinar a máxima taxa de chegada de ligações para que não ocorra bloqueio. chamadas/min chamadas/min chamadas/min 32

Exemplo: Problema: Solução: PB  0,5% A = 93,0 Erlangs Determinar o mínimo número de troncos necessários. Solução: 33

Probabilidade de bloqueio v/s troncos N = 114 Troncais PB = 0,42% Probabilidade de bloqueio v/s troncos 0.7 0.6 0.5 0.4 Pb % 0.3 0.2 0.1 111 112 113 114 115 116 117 N 34

Bibliografia básica

Bibliografia básica S.M. Ross, Introduction to probability models, Academic Press,1997. R. Jain, The art of computer systems performance evaluation, Wiley, 1991. K. Trivedi, Probability and statistics with reliability, queuing, and computer science applications, Prentice Hall, 1982. V. Kulkarni, Modeling and analysis of stochastic systems, Chapman and Hall,1995. L. Kleinrock, Queueing systems, Volume 1: Theory, Wiley, 1975 13 10 72 80 84 80

Fim