AULA 5 – CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA II Superfícies Quádricas Fonte: Anton, Stewart, Thomas, Buske Prof. Guilherme J. Weymar CENG - UFPel

Até aqui já olhamos para 3 tipos de superfícies: planos esferas cilíndricas Nesta aula: revisão de superfícies cilíndricas superfícies quádricas

Para esboçar o gráfico das superfícies cilíndricas e quádricas é útil determinar a intersecção da superfície com planos paralelos aos planos coordenados. Essas curvas são denominadas traços (ou secções transversais) da superfície. Cilindros: Um cilindro é uma superfície constituída de todas as retas (chamadas geratrizes) que são paralelas a uma reta dada e que passam por uma curva plana.

Exemplo 1: Esboce a superfície Observe que a equação não envolve y. Isto significa que qualquer plano vertical da equação y = k (paralelo ao plano xz) intercepta o gráfico segundo uma curva de equação Os traços verticais são portanto parábolas. A figura indica como o gráfico é formado tomando a parábola no plano xz e movendo-a na direção do eixo y. O gráfico é uma superfície, chamada de cilindro parabólico, feito de um n° infinito de cópias deslocadas da mesma parábola. Aqui as geratrizes da superfície cilíndrica são paralelas ao eixo y.

Recordando: No exemplo 1 a variável y não aparece na equação da superfície cilíndrica. Esse fato é comum às superfícies cilíndricas cujas geratrizes são paralelas a um dos eixos coordenados. Se uma das variáveis x, y ou z está faltando na equação da superfície, a superfície obtida é cilíndrica.

Exemplo: Identifique e esboce as superfícies:

NOTA: Quando estamos tratando de superfícies, é importante reconhecer que uma equação como representa uma superfície cilíndrica e não uma circunferência. O traço dessa superfície no plano xy é a circunferência de equação

Quádricas: Uma superfície quádrica é o gráfico de uma equação de segundo graus nas três variáveis x, y e z. A forma mais geral dessa equação é dada por: onde A, B, C, ... J são constantes. As superfícies quádricas são as correspondentes tridimensionais das cônicas no plano.

Exemplo: Utilize traços para fazer o esboço da quádrica com equação

A figura abaixo mostra como representar no esboço alguns traços para indicar a forma da superfície. Essa superfície é chamada elipsóide, visto que todos os seus traços são elipses. Note a simetria em relação a cada plano coordenado; isto é reflexo do fato de só aparecerem potências positivas de x, y e z.

Exemplo: Utilize traços para esboçar a superfície Impondo x = 0, obtemos 𝑧= 𝑦 2 , de forma que no plano yz a intersecção da superfície é uma parábola. Se tomarmos x = k (uma cte), obteremos 𝑧= 𝑦 2 +4 𝑘 2 . Isto significa que se deslocarmos o gráfico para um plano paralelo ao plano yz obteremos uma nova parábola com concavidade voltada para cima. Da mesma forma, tomando y = k, o traço é 𝑧= 4𝑥 2 + 𝑘 2 , que corresponde novamente a uma parábola com concavidade para cima. Impondo z = k, obteremos os traços horizontais k= 4𝑥 2 + 𝑦 2 , que reconhecemos como uma família de elipses.

Sabendo a forma dos traços podemos esboçar a figura abaixo. Pelo fato de os traços serem parábolas e elipses, a quádrica é denominada parabolóide elíptico.

Exemplo: Esboce a superfície Os traços nos planos verticais x = k são parábolas 𝑧= 𝑦 2 − 𝑘 2 , com concavidade voltada para cima. Os traços em y = k são parábolas 𝑧= −𝑥 2 + 𝑘 2 , com concavidade voltada para baixo. Os traços horizontais são k= 𝑦 2 − 𝑥 2 , uma família de hipérboles. Na figura abaixo desenhamos esses traços e mostramos como eles aparecem quando colocados nos planos corretos na figura do próximo slide.

FIGURA: Traços movidos para suas posições nos planos corretos.

Nesta figura colocamos os 3 gráficos do slide anterior juntos para formar a superfície 𝑧= 𝑦 2 − 𝑥 2 , um parabolóide hiperbólico. Observe que o formato da superfície perto da origem se assemelha a uma sela. Essa superfície será alvo de estudos futuros, quando discutiremos os pontos de sela.

A idéia de usar os traços para desenhar a superfície é empregada em programas que fazem gráficos tridimensionais. Na maioria desses programas os traços nos planos verticais x = k e y = k são apresentados para valores de k igualmente espaçados, e partes do gráfico são eliminadas utilizando-se a técnica de remover linhas escondidas. A tabela a seguir mostra gráficos de computador de seis quádricas básicas na forma padrão. Todas as superfícies são simétricas em relação ao eixo z. Se uma quádrica é simétrica em relação a um eixo diferente, sua equação se modifica de modo apropriado.

Exemplo: Identifique e esboce o desenho da superfície

Exemplo: Classifique a quádrica

Como identificar a superfície quádrica? As equações das sup. quádricas tem certas características que tornam possível identificar as quádricas que são deduzidas dessas equações por reflexões. Essas características identificatórias, mostradas na tabela, são baseadas em escrever a equação da sup. quádrica de tal forma que todos os termos variáveis estejam no lado esquerdo e que haja um 1 ou 0 no lado direito. Exemplos ...