Negação de frases quantificadas TC2- Lógica Proposicional 16-04-2017 Negação de frases quantificadas Leis de DeMorgan para quantificadores (1) Ø"x P(x) Û $x ØP(x) (2) Ø$x P(x) Û "x ØP(x) Formas aristotélicas: Todos os P’s são Q’s é negação de Alguns P’s não são Q’s Ø"x (P(x) ® Q(x)) Û Ø"x (Ø P(x) Ú Q(x)) Û $x Ø(Ø P(x) Ú Q(x)) Û $x (ØØ P(x) Ù ØQ(x)) Û $x (P(x) Ù ØQ(x)) Cristina Ribeiro

Substituição de variáveis ligadas TC2- Lógica Proposicional 16-04-2017 Substituição de variáveis ligadas Para toda a wff P(x) e variável y que não ocorre em P(x) (1) "x P(x) Û "y P(y) (2) $x P(x) Û $y P(y) Cristina Ribeiro

TC2- Lógica Proposicional 16-04-2017 Métodos de prova com " e $ De uma condição universal, inferir que se verifica para um objecto específico: eliminação do universal De "x P(x) inferir P(c) Da verificação de uma condição para um objecto particular, inferir uma condição existencial: introdução do existencial De P(c) inferir $x P(x) Validade destes passos: depende de convenção da LPO um nome denota sempre um objecto Cristina Ribeiro

Método da instanciação existencial TC2- Lógica Proposicional 16-04-2017 Método da instanciação existencial Partindo de asserção existencial: criar um nome para o objecto a que se refere a quantificação remover a quantificação Uso no raciocínio comum criar alcunha para objecto que se procura raciocinar como se este fosse conhecido Efeito: eliminação do existencial Essencial: nome introduzido não pode estar a ser usado para outro objecto Cristina Ribeiro

Prova condicional geral TC2- Lógica Proposicional 16-04-2017 Prova condicional geral Raciocinar acerca de um objecto arbitrário de certo tipo Provar uma afirmação universal sobre objectos do mesmo tipo Exemplo: Todos os alunos com boa nota a Programação sabem programar Todos os alunos do 3º ano tiveram boa nota a Programação Como concluir que todos os alunos do 3º ano sabem programar? Escolhe-se um aluno do 3º ano qualquer, o Zé. Pela 2ª premissa, o Zé teve boa nota a programação. Então pela 1ª premissa o Zé sabe programar. Como o Zé é um aluno arbitrário, conclui-se que todos sabem programar. Cristina Ribeiro

Métodos de prova com quantificadores TC2- Lógica Proposicional 16-04-2017 Métodos de prova com quantificadores S(x), P(x) e Q(x): wff’s 1. Instanciação Existencial Tendo provado $x S(x), pode escolher-se um novo símbolo de constante c e assumir S(c) 2. Condicional geral Para provar "x (P(x) ® Q(x)), pode escolher-se um novo símbolo de constante c, assumir P(c) e provar Q(c) 3. Generalização universal Para provar "x S(x), pode escolher-se um novo símbolo de constante c, e provar S(c) Cristina Ribeiro

Regras de inferência para " TC2- Lógica Proposicional 16-04-2017 Regras de inferência para " Eliminação do universal Introdução do universal "x P(x) M P(c) M P(c) "x P(x)  c  Instanciação universal Generalização universal x: qualquer variável c: qualquer constante P(c): resultado de substituir x por c em P(x) c: constante que não ocorre fora da prova em que é introduzida Cristina Ribeiro

TC2- Lógica Proposicional 16-04-2017 Exemplo 1. "x (R(x) ® S(x)) 2. "x R(x) 3. R(d) ® S(d) " Elim: 1 4. R(d) " Elim: 2 5. S(d) ® Elim: 3,4 6. "x S(x) " Intro: -5 d d Qualquer prova condicional geral (método efectivamente usado em provas informais) pode ser vista como a combinação de uma prova condicional com uma generalização universal Cristina Ribeiro

Regras de inferência para $ TC2- Lógica Proposicional 16-04-2017 Regras de inferência para $ Introdução do existencial Eliminação do existencial $x P(x) P(c) M Q P(c) M $x P(x) c   x: qualquer variável c: qualquer constante P(c): resultado de substituir x por c em P(x) c: constante que não ocorre fora da prova em que é introduzida, em particular em Q (Semelhante a eliminação da disjunção) Cristina Ribeiro

TC2- Lógica Proposicional 16-04-2017 Exemplo 1. "x (Cube(x) ® Large(x)) 2. "x (Large(x) ® LeftOf(x,c)) 3. $x Cube(x) 4. Cube(e) 5. Cube(e) ® Large(e) " Elim: 1 6. Large(e) ® Elim: 5,4 7. Large(e) ® LeftOf(e,c) " Elim: 2 8. LeftOf(e,c) ® Elim: 7,6 9. Large(e) Ù LeftOf(e,c) Ù Intro: 6,8 10. $x (Large(x) Ù LeftOf(x,c)) $ Intro: 9 11. $x (Large(x) Ù LeftOf(x,c)) $ Elim: 3, -10 e e Cristina Ribeiro

Exemplo elaborado 1. Ø"x P(x) 2. Ø$x ØP(x) 3. ØP(c) 4. $x ØP(x) $ Intro: 3 5. $x ØP(x) Ù Ø$x ØP(x) Ù Intro: 4,2 6. ØØP(c) Ø Intro: 3-5 7. P(c) Ø Elim: 6 8. "x P(x) " Intro: -7 9. "x P(x) Ù Ø"x P(x) Ù Intro: 8,1 10. ØØ$x ØP(x) Ø Intro: 2-9 11. $x ØP(x) Ø Elim: 10 c c * $ Intro como estratégia geral seria bom mas não funciona pq (1) não permite obter directamente ØP(c); usar contradição, com (1), via generalização universal; para provar P(c) usa-se a contradição

TC2- Lógica Proposicional 16-04-2017 Símbolos de função Construir nomes complexos a partir de outros nomes pai(pai(Rui)) (1+ (1+1)) Variáveis: podem aparecer nos termos pai(pai(x)) (1+ (1+y)) Wff’s MaisAlto( pai(pai(x)), x) Par( y ´ y) Frases "y (Par(y) « Par( y ´ y)) Cristina Ribeiro