Sistemas Realimentados Projeto de Sistemas de Controle no Espaço de Estados

Conteúdo Sistemas Reguladores e Sistemas de Controle Projeto por Alocação de Polos; Projeto de Servosistemas.

Sistemas Reguladores e Sistemas de Controle Sistemas Reguladores: são sistemas onde o sinal de referência é constante, incluindo o zero. Sistemas Controle: são sistemas onde o sinal de referência varia com o tempo.

Projeto Por Alocação de Polos Em projetos convencionais, alocamos apenas os pólos de malha-fechada dominantes; Nesta abordagem moderna, todos os polos de malha-fechada são alocadas; Condição necessária: O sistema original tem que ser de estado completamente controlável.

Projeto Por Alocação de Polos Considere o sistema de controle Escolheremos o sinal de controle Logo, o sinal de controle é determinado por um estado instantâneo. Este esquema é denominado realimentação de estado. A matriz K de ordem 1xn é denominada matriz de ganho de realimentação de estado.

Projeto Por Alocação de Polos Sistema Regulador!

Projeto Por Alocação de Polos Características do Sistema Regulador: Sistema de malha-fechada sem entradas; Equivalente a entradas de referência nulas; Objetivo de manter a saída nula; Distúrbios podem tornar a saída não-nula.

Projeto Por Alocação de Polos Substituindo a entrada de controle na equação do sistema de controle temos: Cuja solução é onde x(0) é o estado inicial causado pelos distúrbios externos.

Projeto Por Alocação de Polos Logo, considerando a solução A estabilidade e as características temporais do sistema são determinadas pelos autorvalores da matriz A-BK. Logo, se a matriz K for corretamente escolhida, então a matriz A-BK poderá ser assintoticamente estável e, para todo x(0)≠0, será possível fazer x(t) tender a 0, à medida que t tende a infinito.

Projeto Por Alocação de Polos Condição necessária para alocação de polos Sistema original deve ser de estado completamente controlável (prova apresentada no livro).

Projeto Por Alocação de Polos Determinação da matriz K através da matriz de transformação T Suponha que o sistema seja definido por e que o sinal de controle seja definido por Então, a matriz de ganho K de realimentação que força os autovalores de A-BK a serem valores desejados pode ser determinada como segue:

Projeto Por Alocação de Polos Determinação da matriz K através da matriz de transformação T Etapa 1) Verifique se o sistema é de estado completamente controlável; Etapa 2) Determinar os coeficientes ai da equação característica

Projeto Por Alocação de Polos Determinação da matriz K através da matriz de transformação T Etapa 3) Determinar a matriz de transformação T que transforma a equação de estado do sistema na forma canônica controlável Onde é a matriz de controlabilidade e

Projeto Por Alocação de Polos Determinação da matriz K através da matriz de transformação T Etapa 4) Com os autovalores desejados, escreva o polinômio característico desejado e determine os αi. Etapa 5)

Projeto Por Alocação de Polos Determinação da matriz K por substituição direta Indicada para sistemas de baixa ordem (n≤3). No caso de n=3, então Logo onde ambos os lados da equação são polinômios em s.

Projeto Por Alocação de Polos Considerações sobre alocação de polos A técnica tradicional de alocação de polos foca na alocação dos polos dominantes; Alocando os polos dominante distante do eixo jw, faz com que a resposta do sistema se torne muito rápida; Consequentemente, os sinais no sistema se tornarão muito elevados, levando tal sistema a se tornar não linear, o que deve ser evitado;

Projeto Por Alocação de Polos Exemplo 1: Considere o sistema regulador da figura abaixo, cuja planta é dada por Onde e Desejamos que os polos de malha-fechada sejam: K=?

Projeto Por Alocação de Polos Solução: Primeiro precisamos verificar se o sistema é de estado completamente controlável. Como |M|=-1, então o posto de M é igual a 3. Logo, o sistema é de estado completamente controlável e a alocação arbitrária de polos é possível.

Projeto Por Alocação de Polos Solução: Vamos aplicar os dois métodos apresentados para a determinação de K. Método 1)

Projeto Por Alocação de Polos Método 1) Logo, a equação característica desejada é De modo que Como onde T=I para este caso, uma vez que a equação de estado é fornecida na forma canônica controlável.

Projeto Por Alocação de Polos Método 1) Então

Projeto Por Alocação de Polos Método 2) Definimos a matriz de ganho desejado Equação característica desejada.

Projeto Por Alocação de Polos Método 2) Logo

Projeto de Servossistemas Projeto de servossistemas do tipo 1 quando a planta possui um integrador Suponha que a planta seja definida por E um controle por realimentação de estado dado por

Projeto de Servossistemas

Projeto de Servossistemas Projeto de servossistemas do tipo 1 quando a planta possui um integrador Logo Supondo que a entrada de referência é uma função degrau, então u

Projeto de Servossistemas Projeto de servossistemas do tipo 1 quando a planta possui um integrador Definindo Então, a dinâmica do erro é dada por Logo, se o sistema for de estado completamente controlável, então poderemos definir autovalores desejados da matriz A-BK através da técnica de alocação de pólos.

Projeto de Servossistemas Projeto de servossistemas do tipo 1 quando a planta possui um integrador No regime permanente (t=∞), temos que

Projeto de Servossistemas Exemplo 2: Dada a FTMF de um siste,ma Projete um servossistema do tipo 1. Solução: Começamos por definir as variáveis de estado x1, x2 e x3 como segue:

Projeto de Servossistemas Resultando na seguinte representação no espaço de estados

Projeto de Servossistemas Supondo que o servossistema é como representado na figura abaixo, com n=3. Então, o sinal de controle u é dado por

Projeto de Servossistemas Supondo que o servossistema é como representado na figura abaixo, com n=3. Então, o sinal de controle u é dado por

Projeto de Servossistemas Projeto de servossistemas tipo 1 quando a planta não possui integrador (tipo 0) Neste caso, inserimos o integrador na equação do sinal de controle, isto é

Projeto de Servossistemas Projeto de servossistemas tipo 1 quando a planta não possui integrador (tipo 0)

Projeto de Servossistemas Exemplo 2) Considere o sistema de controle de um pêndulo invertido, conforme ilustrado na figura abaixo. As equações do sistema de controle são Dados então Dados

Projeto de Servossistemas Exemplo 2) Deseja-se manter o pêndulo na vertical e, além disso, controlar a posição do carro. Para isso vamos projetar um servosistema do tipo 1. Começamos por definir as variáveis de estado do sistema:

Projeto de Servossistemas Considerando que a posição do carro x é a saída do sistema, então

Projeto de Servossistemas O sistema de pêndulo invertido não possui integrador. Logo, injetamos o sinal de posição y (posição do carro) de volta na entrada, inserindo assim um integrador no ramo direto, de modo que

Projeto de Servossistemas

Projeto de Servossistemas O sistema de pêndulo invertido não possui integrador. Logo, injetamos o sinal de posição y (posição do carro) de volta na entrada, inserindo assim um integrador no ramo direto, de modo que