Vivemos tomando decisões baseadas em informações incompletas... Peço uma sopa? As outras opções são tão CARAS, e eu não sei quem está pagando... Será que os estatísticos são pão-duros? Nunca saí com um antes... apesar de já ter conhecido um contador bastante generoso... Peço uma sopa? Das 36 vezes em que a pedi, em 27 ela estava muito boa... Mas será que segunda é o dia de folga do chef? E o que acontecerá se todas as moléculas de ar do salão de repente voarem para o teto? Vanessa Fortes Aula 5

Muitos de nós vivemos confortavelmente com um certo nível de incerteza... Por favor, o senhor poderia me trazer uma sopa? Argh! Você poderia me trazer uma CALCULADORA? Vanessa Fortes Aula 5

confiante de que a sopa de hoje à noite tem uma probabilidade O que distingue os estatísticos é a sua habilidade em quantificar a incerteza. Isto lhes permite fazer afirmações com certeza absoluta sobre o seu nível de incerteza! Boa pedida! Eu estou 95% confiante de que a sopa de hoje à noite tem uma probabilidade entre 73% e 77% de ser realmente deliciosa! Vanessa Fortes Aula 5

A teoria da probabilidade estuda os fenômenos aleatórios. O QUE É PROBABILIDADE? A teoria da probabilidade estuda os fenômenos aleatórios. Utilizada inicialmente para o estudo de jogos de azar! O jogo de dados moderno popularizou-se na Idade Média, com a apresentação de um quebra-cabeças matemático de um libertino da época, o Cavaleiro De Mere Vanessa Fortes Aula 5

Experimento Aleatório PROBABILIDADE Experimento Aleatório São fenômenos que, mesmo repetido várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. O resultado final depende do acaso. “É provável que o meu time ganhe a partida hoje" pode resultar que ele ganhe que ele perca que ele empate Este resultado final pode ter três possibilidades. Vanessa Fortes Aula 5

PROBABILIDADE Espaço Amostral Conjunto universo ou o conjunto de resultados possíveis de um experimento aleatório. No experimento aleatório "lançamento de uma moeda" temos o espaço amostral  {cara, coroa}. No experimento aleatório "lançamento de um dado" temos o espaço amostral  {1, 2, 3, 4, 5, 6}.  No experimento aleatório "dois lançamentos sucessivos de uma moeda" temos o espaço amostral : {(ca,ca) , (co,co) , (ca,co) , (co,ca)} Vanessa Fortes Aula 5

PROBABILIDADE Eventos Qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório. Se considerarmos S como espaço amostral e E como evento Assim, qualquer que seja E, se E está contido em S, então E é um evento de S. Se E = S , E é chamado de evento certo. Se E c S e E é um conjunto unitário, E é chamado de evento elementar. Se E = Ø , E é chamado de evento impossível. Vanessa Fortes Aula 5

PROBABILIDADE Probabilidade de um evento A = número real P(A) número de casos favoráveis de A / número total de casos Exemplos: No lançamento de uma moeda qual a probabilidade de obter cara em um evento A ? S = { ca, co } = 2     A = {ca} = 1        P(A) = 1/2 = 0,5 = 50% No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número par em um evento A ? S = { 1,2,3,4,5,6 } = 6   A = { 2,4,6 } = 3    P(A) = 3/6 = 0,5 = 50% Vanessa Fortes Aula 5

Obs: a probabilidade de todo evento certo = 1 ou 100%. No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número menor ou igual a 6 em um evento A ? S = { 1,2,3,4,5,6 } = 6   A = { 1,2,3,4,5,6 } = 6   P(A) = 6/6 = 1,0 = 100% Obs: a probabilidade de todo evento certo = 1 ou 100%. No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número maior que 6 em um evento A ? S = { 1,2,3,4,5,6 } = 6            A = {  } = 0            P(A) = 0/6 = 0 = 0% Obs: a probabilidade de todo evento impossível = 0 ou 0% Vanessa Fortes Aula 5

Eventos Complementares PROBABILIDADE Eventos Complementares Um evento pode ocorrer ou não p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso) para um mesmo evento existe sempre a relação: p + q = 1   Exemplo: A probabilidade de tirar o nº 4 no lançamento de um dado é p = 1/6, logo, a probabilidade de não tirar o nº 4 no lançamento de um dado: q = 1 - p ou q = 1 - 1/6 = 5/6. Vanessa Fortes Aula 5

Eventos Independentes PROBABILIDADE Eventos Independentes Quando a ocorrência de um deles não afeta de modo algum a probabilidade do outro. O conhecimento de que um dos eventos ocorreu não altera de nenhum modo a estimativa da probabilidade do outro evento. Vanessa Fortes Aula 5

PROBABILIDADE Exemplo Quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro. Então qual seria a probabilidade de obtermos, simultaneamente, o nº 4 no primeiro dado e o nº 3 no segundo dado? P1 é a probabilidade de realização do primeiro evento P2 a probabilidade de realização do segundo evento a probabilidade dos eventos se realizem simultaneamente é dada pela fórmula: P (1  2) = P(1 e 2) = P(1) x P(2)   P1 = P(4 dado1) = 1/6      P2 = P(3 dado2) = 1/6    P total = P (4 dado1) x P (3 dado2) = 1/6 x 1/6 = 1/36 Vanessa Fortes Aula 5

Eventos Mutuamente Exclusivos PROBABILIDADE Eventos Mutuamente Exclusivos Quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s). Se dois eventos são mutuamente exclusivos , a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize:  P(1 U 2) = P(1 ou 2) = P(1) + P(2)     Exemplo: No lançamento de um dado qual a probabilidade de se tirar o nº 3 ou o nº 4 ? Os dois eventos são mutuamente exclusivos então: P = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 Vanessa Fortes Aula 5

PROBABILIDADE Probabilidade Condicional Se  A  e  B são dois eventos, a probabilidade de B ocorrer, depois de A ter acontecido é definida por : P (B/A), ou seja, é chamada probabilidade condicional de B. Os eventos são dependentes e definidos pela fórmula: P (A e B ) = P (A) x P(B/A) Exemplo: Duas cartas são retiradas de um baralho sem haver reposição. Qual a probabilidade de ambas serem COPAS? P (Copas1 e Copas2) = P(Copas1) x P(Copas2/Copas1) = 13/52 x 12/51 = 0,0588 = 5,88 % P(Copas1) = 13/52 P(Copas2/Copas1) = 12/51 Vanessa Fortes Aula 5

PROBABILIDADE Variável aleatória No exemplo anterior se a 1ª carta retirada voltasse ao baralho o experimento seria do tipo com reposição e seria um evento independente. O resultado seria: P(Copas1) x P(Copas2) = 13/52 x 13/52 = 0,625 = 6,25 % Variável aleatória Regra que atribui um valor numérico a cada possível resultado de um experimento. Funções de probabilidades: f(X) = p(X= xi) Vanessa Fortes Aula 5

DISTRIBUIÇÕES ESTATÍSTICAS *Distribuição Binomial Atributos *Distribuição Poisson *Distribuição Normal Variáveis Distribuição “t” student Vanessa Fortes Aula 5

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE Exemplo – Distribuição de Probabilidade Ao lançarmos um dado, a variável aleatória X, definida por "pontos de um dado", pode tomar os valores 1,2,3,4,5 e 6. Então resulta a seguinte distribuição de probabilidade: Vanessa Fortes Aula 5

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Fenômenos cujos resultados só podem ser de dois tipos, sucesso e insucesso. Este fenômeno pode ser repetido tantas vezes quanto se queira (n vezes), nas mesmas condições. As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado de uma não deve afetar os resultados das sucessivas. P(x) = é a probabilidade de que o evento se realize x vezes em n provas. onde Vanessa Fortes Aula 5

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Exemplo: Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas e independentes. Calcule a probabilidade de serem obtidas 3 caras nessas 5 provas. n = 5    x = 3    p = 1/2   q = 1 - (1/2) = 1/2      P(x=3) = 5/16 onde Vanessa Fortes Aula 5

DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Distribuição de probabilidades aplicada para acontecimentos raros, entretanto o seu maior uso prático é como aproximação para a distribuição binomial. A P(x) é calculada pela fórmula abaixo:                Onde: é a média da distribuição (n . p) representa a constante de valor igual a  2,718 x ! é o fatorial de x  (0 ! = 1 e qualquer número elevado a zero é igual a 1) Vanessa Fortes Aula 5

DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Quando um acontecimento segue a distribuição binomial um “p” (sucesso) muito pequeno de tal modo que é necessário um “n” muito grande para que o sucesso ocorra Pode-se simplificar os cálculos usando a distribuição de Poisson como aproximação para a distribuição binomial. Para que os resultados aproximados pela distribuição de Poisson sejam satisfatórios Deve-se fazer a substituição da distribuição binomial pela de Poisson quando “n” for maior ou igual a 50 e “p” menor ou igual a 0,1 ou “p” maior ou igual a 0,9 ( “p” próximo de 0 ou próximo de 1) Vanessa Fortes Aula 5

DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS) É a distribuição mais comumente utilizada na análise de dados. A soma de um grande número de observações independentes de qualquer distribuição tem uma distribuição normal. É a distribuição que representa o comportamento de uma infinidade de “coisas” do universo. Sua curva possui forma de sino e existe uma concentração muito grande de itens em torno de uma média e à medida que avançamos para os extremos essa concentração diminui. Vanessa Fortes Aula 5

DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS) Propriedades 1ª - A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real. 2ª - A representação gráfica da distribuição normal é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média, que recebe o nome de curva normal ou de Gauss. 3ª - A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, já que essa área corresponde à probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor real. Vanessa Fortes Aula 5

DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS) Propriedades 4ª - A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, aproxima-se indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo. 5ª - Como a curva é simétrica em torno da média, a probabilidade de ocorrer valor maior que a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as probabilidades são iguais a 0,5 ou 50%. Cada metade da curva representa 50% de probabilidade. Vanessa Fortes Aula 5

DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS) Por que a distribuição normal é importante? 68% de todas as observações caem dentro de um intervalo de 1 desvio padrão da média um intervalo de 2 desvios padrões inclui 95% dos valores 99% das observações caem dentro de um intervalo de 3 desvios padrões da média 34% 2 DP Média 1 DP 68,3% 95,5% 3 DP 99,7% Vanessa Fortes Aula 5

DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS) A equação da curva é dada por: A área total sob a curva representa uma probabilidade total que é igual a 1 Vanessa Fortes Aula 5

DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS) Os dois parâmetros (média e desvio padrão) apresentam variações. Para utilizar apenas uma tabela de área é realizada uma transformação, onde a equação se torna mais simples: Vanessa Fortes Aula 5

DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS) Cálculo da porcentagem fora da especificação É possível realizar este cálculo quando julgamos que o processo varia conforme a distribuição normal Pode-se determinar a porcentagem de defeituosos a partir das especificações fornecidas e dos parâmetros (média e desvio padrão) Zab = Porcentagem abaixo Zac = Porcentagem acima Vanessa Fortes Aula 5

DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS) Índice de Capacidade do Processo (Cp) É possível realizar este cálculo também pela capacidade do processo Especificações bilaterais (LSE e LIE) Especificações unilaterais (LSE ou LIE) Vanessa Fortes Aula 5

DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS) Índice de Capacidade do Processo (Cp) A avaliação é feita da seguinte forma: 1,33  Cp bastante satisfatório 1,00  Cp  1,33 adequado Cp  1,00 inadequado Vanessa Fortes Aula 5

Tolerancia C = = p 6 s 6 s LSC - LIC Análise da Capabilidade / Capacidade Tolerancia LSC - LIC C = = p 6 s 6 s Resume o potencial do processo para atingir os limites de especificação Vanessa Fortes Aula 5