Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz Processamento Digital de Imagens Módulo III Processamento no Domínio da Freqüência Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz Carga Horária: 60 horas

Roteiro 7 Processamento no Domínio da Freqüência Introdução Séries de Fourier Transformada de Fourier Filtragem no Domínio da Freqüência

Função e Transformada Função Transformada Regra para a obtenção de um resultado y sendo dada alguma entrada x Transformada Regra para a obtenção de uma função F a partir de outra f Explicitação de propriedades relevantes de f Representação mais compacta de f

Função Periódica Definição f(t) é periódica se existir P tal que f(t+P) = f(t) Período de uma função  Menor constante P que satisfaz a condição f(t+P) = f(t) f(t) t t1 t1+P f(t1) P

Atributos de uma Função Periódica I Amplitude (A) Valor máximo de f(t) em qualquer período Período (P) Intervalo de tempo no qual a função assume todos os valores possíveis e volta a se repetir

Atributos de uma Função Periódica II Freqüência (1/P) Número de repetições da função na unidade de tempo (1 ciclo/s = 1 Hertz) Fase () Posição da função dentro de um período

Atributos de uma Função Periódica III Representação gráfica f(t) t t1+P A P t1 

Jean Baptiste Joseph Fourier 21/03/1768  Auxerre, França 1807  On the Propagation of Heat in Solid Bodies (Séries de Fourier) 16/05/1830  Paris

Analogia Físico-Matemática Prisma x Transformada de Fourier Função no domínio espacial f(x) Luz branca decomposta em diferentes  F(M-1) Feixe de luz branca  F(2) F(1) F(0) Função decomposta em diferentes  Transformada de Fourier

Tempo e Freqüência I Exemplo 01 I h(t) = sen(2ft) + 1/3 sen(6ft) g(t) h(t) f(t) h(t) = f(t) + g(t) 1 1/3 g(t) t 1/3 P P

Tempo e Freqüência II Exemplo 01 - Aproximação com 2 harmônicos ímpares f(t) = sen(2ft) + 1/3 sen(6ft) g(t) h(t) F(f) f 1 1/3 2f 3f

Tempo e Freqüência III Exemplo 02 - Aproximação com 6 harmônicos

Tempo e Freqüência IV Forma de Onda  Valor instantâneo em função do tempo Espectro  Amplitude em função da freqüência Forma de Onda Espectro A Amplitude Freqüência

Tempo e Freqüência V Forma da função distante de uma forma de onda regular Expansão de Fourier incluirá um número infinito de componentes de freqüência

Domínio da Freqüência Espectro do domínio da freqüência  Faixa de freqüências Largura de faixa do domínio da freqüência  Largura do espectro Componente DC  Componente de freqüência zero Componentes AC  Todas as demais componentes

Séries de Fourier I Séries de Fourier Séries trigonométricas infinitas formadas por senos e/ou co-senos Seja a expressão

Séries de Fourier II Séries de Fourier No conjunto de pontos nos quais a expressão converge  Definição de uma função f, cujos valores em cada x é a soma da série para aquele valor de x Série de Fourier de f

Séries de Fourier III Periodicidade das funções seno e co-seno I Função periódica com período T > 0 Domínio de f contém (x+T) sempre que contiver x e T  Período fundamental Se T é um período de f  2T também o é, como qualquer múltiplo inteiro de T

Séries de Fourier IV Periodicidade das funções seno e co-seno II Em particular, sen [(mx)/T] e cos [(mx)/T], m = 1, 2, ..., são periódicas com período fundamental T = 2L/m

Séries de Fourier V Ortogonalidade das funções seno e co-seno II Duas funções u e v são ditas ortogonais em  ≤ x ≤  se seu produto interno é nulo, i.e., se

Séries de Fourier VI Ortogonalidade das funções seno e co-seno III sen [(mx)/T] e cos [(mx)/T], m = 1, 2, ..., formam um conjunto ortogonal de funções no intervalo -L ≤ x ≤ L. Seja u(x) = v(x) = sen [(mx)/T] então:

Séries de Fourier VII Ortogonalidade das funções seno e co-seno IV sen [(mx)/T] e cos [(mx)/T], m = 1, 2, ..., formam um conjunto ortogonal de funções no intervalo -L ≤ x ≤ L. Seja u(x) = v(x) = cos [(mx)/T] então:

Séries de Fourier VIII Ortogonalidade das funções seno e co-seno V sen [(mx)/T] e cos [(mx)/T], m = 1, 2, ..., formam um conjunto ortogonal de funções no intervalo -L ≤ x ≤ L. Seja u(x) = sen [(mx)/T] e v(x) = cos [(mx)/T] então:

Séries de Fourier IX Supondo que uma série da forma converge e Considerando as propriedades de ortogonalidade apresentadas, conclui-se que: e

Séries de Fourier X Funções Pares e Impares f é uma função par se seu domínio contém o ponto -x sempre que contiver o ponto x e se f(x) = f(-x) para cada x do domínio de f. Analogamente, f é uma função ímpar se seu domínio contém o ponto -x sempre que contiver o ponto x e se f(-x) = -f(x) para cada x do domínio de f.

Séries de Fourier XI Propriedades Elementares I A soma/diferença e o produto/ quociente de duas funções pares é par. A soma/diferença de duas funções ímpares é ímpar, enquanto o produto/quociente de duas funções ímpares é par. A soma/diferença de uma função par e uma função ímpar não é par nem ímpar, enquanto o produto/quociente é ímpar .

Séries de Fourier XII Propriedades Elementares II Se f é uma função par, então Se f é uma função ímpar, então

Séries de Fourier XIII Propriedades Elementares III Como conseqüência das Propriedades 4 e 5, os coeficientes de Fourier de f no caso do co-seno (par) são dados por e

Séries de Fourier XIV Propriedades Elementares IV Analogamente, os coeficientes de Fourier de f no caso do seno (ímpar) são dados por e Então, a série de Fourier será dada por

Séries de Fourier XV Propriedades Elementares V Analogamente, os coeficientes de Fourier de f no caso do seno (ímpar) são dados por e Então, a série de Fourier será dada por

Transformada de Fourier I Fato Possibilidade de representação de qualquer sinal periódico como uma soma de ondas senoidais e cossenoidais com freqüências harmônicas Se a freqüência fundamental de uma função for f  Harmônicas serão funções com freqüências nf (n inteiro)

Transformada de Fourier II Fórmula de Euler I i sen t cos it e + =  Im Re 1 i wt Vetor Rotativo (Fasor) eiwt é periódico |eiwt| = 1 Freqüências negativas: Rotação na direção oposta

Transformada de Fourier III Fórmula de Euler II (eiwt ½ e-iwt) + = t cos  (eiwt -½ e-iwt) - = t sen  sen t cos Ak + k Bk eikwt Ak 2 e-ikwt + = (Ak ½ iBk), k>0 - = Ck eikwt Bk 2 e-ikwt + - (A|k| ½ iB|k|), k<0 - = Ck eikwt Ck e-ikwt + = C-k

Transformada de Fourier IV Possibilidade de representação funções não periódicas como somatórios de funções senoidais e cossenoidais de (possivelmente) todas as freqüências d ] i sen t [cos )  ( F f + = ¥ ò - p 2 1 i sen t cos it e + =  )  ( F t f = ¥ ò - it e d p 2 1

Transformada de Fourier V )  ( F t f = ¥ ò - it e d p 2 1 F()  Espectro da função f(x) Distribuição de freqüências presentes na função Computação a partir de f(x) mediante a Transformada de Fourier )  ( F t f = ¥ ò - -it e dt [ Á ]

Transformada de Fourier VI Exemplo 02 I – Função box -0,5 -0,3 -0,1 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 x f(x) 1, x £ 1 2 f ( x ) = 0, x > 1 2 )  ( F t f = ¥ ò - -it e dt [ Á ] -1 -i/2 (e 1 1/2 iw - e sen p i/2 2 f = p w

Transformada de Fourier VII Exemplo 02 I – Função box -0,5 -0,3 -0,1 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5  F() 2 -2 4 -4 6 -6 f sen ) ( F = p w sinc

Transformada de Fourier VIII Exemplo 03 – Função sinc -0,5 -0,3 -0,1 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 x f(x) ï î í ì = 0 = x 1, ) ( f sen p ≠ 0 , x )  ( F = ¥ ò - -it e d f sen p  F() -0,5 -0,3 -0,1 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 2 f = p w > £ = x 0, 2 1 1, ) ( f

Transformada de Fourier IX Exemplo 04 – Função coswx F() f(x)  1 x -1 1  -1 Se f(x) for par  F() também será par

Transformada de Fourier X Exemplo 04 – Função senwx 1 -1   F() - -1 1 x f(x) Se f(x) for ímpar  F() também será ímpar

Transformada de Fourier XI Exemplo 05 – Função constante F() k x f(x) 2k  Função  na origem Se f(x) for constante  F() só conterá a componente de freqüência 0

Transformada de Fourier XII Exemplo 06 – Função impulso unitário 1 x f(x) 1/2  F() A transformada de Fourier e sua inversa são qualitativamente a mesma  O conhecimento de uma direção conduz à outra

Transformada de Fourier XIII Exemplo 07 I – Função comb 1 x f(x) 1 x g(x) T 2T 3T 4T -4T -3T -2T -T A função comb é uma seqüência infinita de impulsos d uniformemente distribuídos no tempo (ou espaço)

Transformada de Fourier XIV Exemplo 07 II – Função comb A transformada de Fourier de uma função comb é também uma função comb 1 x f(x) T 2T 3T 4T -4T -3T -2T -T 2  2/T - 2/ T F() comb T ∑ n = - ∞ (x)) = ( - 2n/T ) Á ( 2/T comb T (x)) = 2/T comb2/T () Á (

Transformada de Fourier XV Exemplo 08 – Função gaussiana f(x) F() 0,18 0,18 2 x e 1 - p 0,13 0,13 0,08 0,08 0,03 0,03 x  -0,02 -0,02 A transformada de Fourier e sua inversa são qualitativamente a mesma  O conhecimento de uma direção conduz à outra

Transformada de Fourier XVI Propriedades Qualitativas Espectro de uma função  Quantidade relativa de altas e baixas freqüências Aguçamento de bordas  Realce de freqüências altas Suavização de regiões  Realce de freqüências baixas Função limitada em faixa  Espectro sem freqüências acima de um limite máximo Exemplos  Funções seno e cosseno Contra-exemplos  Funções box e gaussiana

Transformada de Fourier XVII Imagens  Funções 2D discretas Transformada de Fourier 2D  Uso do produto de senos e cossenos Transformada de Fourier de uma imagem discreta  Possibilidade de armazenamento no mesmo espaço de armazenamento da imagem Algoritmo Numérico  Computação de transformadas discretas a partir da Transformada Rápida de Fourier (FFT)

Transformada Contínua de Fourier I Transformada 1D ¥ ò = -¥ x iwx dx w F p -2 f(x)e ) ( )) f Á Transformada Inversa 1D ò = ¥ -¥ u iwx dw x f p 2 F(w)e ) ( )) 1 w F - Á

Transformada Contínua de Fourier II Transformada 2D ò = ¥ -¥ i(wx+y) dxdy w, F p -2 f(x,y)e ) ( )) x,y f Á Transformada Inversa 2D w, i(wx+y) ò = ¥ -¥ dwd x,y f p 2 ) ( )) 1 F - Á )e

Transformada Discreta de Fourier I Sinais Discretos Função discreta f : { f(0), f(1), f(2), … , f(N-1) }

Transformada Discreta de Fourier II ∑ = N - 1 x iwx/N u F p -2 f(x)e ) ( 1 N w = 0, 1, 2, ..., N-1 Transformada Inversa 1D ∑ = N - 1 w iwx/N x f p 2 F(w)e ) ( x = 0, 1, 2, ..., N-1

Transformada Discreta de Fourier III ∑ = N - 1 x i(wx/N+y/M) w, F p -2 f(x,y)e ) ( 1 N M M - 1 y w = 0, 1, 2, ..., N-1  = 0, 1, 2, ..., M-1 Transformada Inversa 2D ∑ = N - 1 w i(wx/N+y/M) x,y f p 2 F(w,)e ) ( M - 1  x = 0, 1, 2, ..., N-1 y = 0, 1, 2, ..., M-1

Transformada Discreta de Fourier III Transformada Discreta 2D – Nota Prática Consideração de xij como uma matriz Possibilidade de computação da DFT 2D Computação da transformada 1D em todas as linhas da imagem (seguida da) Computação da transformada 1D em todas as colunas da imagem Resultado similar com a inversão do processo de computação da transformada 1D

af(x,y) + bg(x,y)  aF(w, ) + bG(w, ) Propriedades da FT I Linearidade I Á f(x,y)  F(w,) Á g(x,y)  G(w, ) af(x,y) + bg(x,y)  aF(w, ) + bG(w, ) Á

af(x,y) + bg(x,y)  aF(w,) + bG(w,) Propriedades da FT II Linearidade af(x,y) + bg(x,y)  aF(w,) + bG(w,) Á cqd

g(ax,by)  1/|ab|G(w/a,/b) Propriedades da FT III Escalamento ou Ampliação Á f(x,y)  F(w,) Á g(x,y)  G(w,) Á g(ax,by)  1/|ab|G(w/a,/b)

f(x-a,y-b)  F(w,)e-i2(aw+b) Propriedades da FT IV Deslocamento f(x,y)  F(w,) Á g(x,y)  G(w,) Á f(x-a,y-b)  F(w,)e-i2(aw+b)

f1(x)f2(y)  F1(w)F2() = F(w,) Propriedades da FT V Separabilidade f(x,y) = f1(x)f2(y) Á f(x,y)  F(w,) Á f1(x)f2(y)  F1(w)F2() = F(w,) Á f1(x)  F1(w) Á f2(y)  F2()

f(xcos +ysen, -xsen +ycos)  F1(wcos  +sen, -wsen + cos) Propriedades da FT VI Invariância da Rotação f(xcos +ysen, -xsen +ycos)  F1(wcos  +sen, -wsen + cos) Á

Propriedades da FT VII ò f(x,y)  F(w,) g(x,y)  G(w,) Convolução Á f(x,y)  F(w,) Á g(x,y)  G(w,) ò ¥ -¥ d d ⇔ F(w,)G(w,) f(,) g(x-,y-)

DFT Bidimensional I DFT Direta e Inversa 2D I para u=0, 1, 2, ..., M-1, v=0, 1, 2, ..., N-1 e

DFT Bidimensional II DFT Direta e Inversa 2D II f(x,y) representa as amostras da função f(x0+xx,y0+y  y), para x=0, 1, 2, ..., M-1, e y=0, 1, 2, ..., N-1 Aplica-se o mesmo a F(u,v) Os incrementos nas amostras em ambos os domínios estão relacionados por e

DFT Bidimensional III DFT Direta e Inversa 2D III f(x,y) é sempre considerada uma função real de dimensão 2, tipicamente uma imagem. F(u.v) é, em geral, uma função complexa.

DFT Bidimensional IV DFT Direta e Inversa 2D IV Espectro de Potência de f(x,y)

Senos e Cossenos 2D I Exemplo 03 Normalização para ajuste ao intervalo [0:1] cos[2(0,y)] cos[2 (x,0)] sen[2 (0,y)] sen[2 (x,0)]

Senos e Cossenos 2D II Exemplo 04 Normalização para ajuste ao intervalo [0:1] cos[2(3x,4y)] cos[2 (5x,2y)] sen[2 (3x,-5y)] sen[2 (-3x,6y)]

Periodicidade e Simetria do Conjugado Exemplo 05 A validade desta propriedade pode ser demonstrada por substituição direta. A propriedade da periodicidade diz que F(u,v) tem período N,N . A propriedade do conjugado diz que a magnitude da transforma está centrada na origem.

Transformada com origem no centro da matriz Translação e Exemplo 06 Origem A origem da transformada de Fourier de f(x,y) pode ser movida para o centro do quadrado de freqüência NxN meramente multiplicando f(x,y) por (-1)x+y. Transformada com origem no centro da matriz Imagem original Transformada sem deslocamento

Rotação Uso de coordenadas polares f(x,y) e F(u,v) se tornam f(r,) e F(, ) Imagem original Observa-se que ao rodar a imagem original de um ângulo 0 a transformada rodará do mesmo ângulo Espectros Imagem rotacionada

Visualização da FT em 2D I Visualização usual como uma função de intensidade Facilidade de visualização onde c é uma constante arbitrária.

Visualização da FT em 2D II Exemplo 07 |F(u,v)| D(u,v)

Filtragem no Domínio da Freqüência I Relações Espaço × Freqüência Imagem microscópica de um circuito integrado Imagem Transformada de Fourier Características: Incrustações de óxido Bordas a ±45º

Filtragem no Domínio da Freqüência H(u,v) 1 3 4 Transformada de Fourier Transformada Inversa de Fourier X Parte Real 2 f(x,y) F(u,v) G(u,v) g(x,y) Domínio da Freqüência Domínio do Espaço

Filtragem no Domínio da Freqüência Processo de Filtragem no Domínio da Freqüência Multiplica-se a imagem por (-1)x+y para centrar a origem das freqüências; Calcula-se F(u,v), i.e, a DFT da imagem; Multiplica-se a F(u,v) pela função filtro F(u,v); Calcula-se a transformada inversa; Obtém-se a parte real do resultado de (4); Multiplica-se o resultado em (5) por (-1)x+y.

Filtros Básicos I Notch I Imagem Original Imagem filtrada

Filtros Básicos II Notch II Valores negativos: Imagens são restritas a valores positivos e para visualização são convertidas para a faixa de 0 a 255; Removendo-se o nível médio, obtém-se valores negativos; Valores negativos no slide anterior foram convertidos para 0;

Filtros Básicos III Notch III Visualização de uma imagem com valores negativos no MATLAB Uso de imshow imshow(img, [low high])

Função de Transferência Filtros Básicos IV Passa-Baixas Uniformização de grandes regiões Efeito de “borramento” da imagem Função de Transferência Imagem resultante

Função de Transferência Filtros Básicos V Passa-Altas Ênfase de detalhes finos (e.g., bordas, textura) Efeito de “aguçamento” da imagem Função de Transferência Imagem resultante Origem

Função de Transferência Filtros Básicos VI Passa-Baixas Ideal I Função de Transferência u H(u, v) v u v Espectro H(u, v) D(u, v) D0 1 Freqüência de Corte

Filtros Básicos VII Passa-Baixas Ideal II – Exemplo 08 Imagem 500×500 pixels Saída FPBI, raio=5 Saída FPBI, raio=15 Saída FPBI, raio=30 Saída FPBI, raio=80 Saída FPBI, raio=230

Filtros Básicos VIII Passa-Baixas Butterworth I Grau Freqüência de Corte

Filtros Básicos IX Passa-Baixas Ideal II – Exemplo 09 Imagem 500×500 pixels Saída FPBI, raio=5 Saída FPBI, raio=15 Saída FPBI, raio=30 Saída FPBI, raio=80 Saída FPBI, raio=230

Filtros Básicos X Passa-Baixas Gaussiano I Freqüência de Corte Abertura

Filtros Básicos XI Passa-Baixas Gaussiano II – Exemplo 10 Imagem 500×500 pixels Saída FPBI, raio=5 Saída FPBI, raio=15 Saída FPBI, raio=30 Saída FPBI, raio=80 Saída FPBI, raio=230

Filtros Básicos XII Passa-Altas I Hfpai=1-Hfpbi Hfpab=1-Hfpbb Hfpag=1-Hfpbg

Passa-altas Butterworth Passa-altas Gaussiano Filtros Básicos XIII Passa-Altas II Passa-altas Ideal Passa-altas Butterworth D0 = 15 D0 = 30 D0 = 80 Passa-altas Gaussiano

José Eustáquio Rangel de Queiroz Professor Adjunto DSC/UFCG E-mail: rangel@dsc.ufcg.edu.br rangeldequeiroz@yahoo.com.br Site departamental: www.ufcg.edu.br/~rangel Fone: 1119/1120 Ramal 2214