Princípios de Telecomunicações EE –05 Princípios de Telecomunicações AULA 4 Análise de Fourier

Propriedades da Transformada de Fourier Dualidade

Filtros Com a análise feita anteriormente, é possível se analisar filtros. Os filtros podem ser caracterizados em passa baixas, passa faixas e passa altas. Filtro passa baixas ideal:

Filtros Filtro passa-altas ideal(espectro unilateral)

Filtros Filtro passa faixa (espectro unilateral)

Filtros Filtro Rejeita Faixa ideal (espectro unilateral)

Translado em freqüência e modulação

Exemplo 1 Determine o espectro de freqüências do sinal modulado s(t). Onde v(t)=rect(t)

Exemplo 1 A transformada de Fourier do Sinal é dada por

Exemplo 1 Aplicando-se a propriedade de translado em freqüência tem-se que:

Convolução Sejam duas funções f1(t) e f2(t) dadas. Define-se a convolução entre estas funções como sendo: Propriedades da convolução

Convolução – Interpretação gráfica Tomemos inicialmente dois sinais retangulares f1(t)=rect(t) e f2(t)=rect(t), façamos a convolução entre elas.

Convolução – Interpretação gráfica A convolução no instante t0 pode ser vista como sendo a área da intersecção entre f1() e f2(t0-).

Convolução – Interpretação gráfica A convolução de f1(t) com f2(t) dá como resultado uma função chamada tri(t), como se observa abaixo:

Convolução – Interpretação gráfica

Convolução – Relação com a transformada de fourier

Amostragem de um sinal Dado um sinal no domínio no tempo f(t), cuja transformada de Fourier é F(), afim de amostrar este sinal, devemos utilizar uma taxa com uma freqüência igual a duas vezes a freqüência máxima do sinal. Este é o conhecido Teorema de Nyquist da amostragem.

O que é amostrar um sinal? Significa multiplicá-lo no tempo por um trem de impulsos, tal como se observa na figura abaixo: Como a transformada de Fourier de um trem de pulsos é dada por:

Qual é o impacto na Transformada de Fourier? Como houve uma multiplicação do sinal no domínio do tempo. Haverá uma convolução no domínio transformado, ou seja, haverá uma repetição da transformada de Fourier em torno de cada pulso no domínio transformado.

Teorema de Nyquist – Interpretação Gráfica Considere um sinal, cujo transformada de Fourier seja uma função tri(t), o que acontece se for amostrado a uma taxa inferior a 2fm, onde fm é a máxima freqüência do espectro do sinal?

Resultado de amostragem em subnyquist

Exemplo Considere o sinal e sua transformada

Utilizemos as propriedades da transformada e convolução Visualmente, se a taxa for maior que a taxa de Nyquist temos que a transformada de fourier do sinal é dada por:

Se a taxa for menor que a taxa de Nyquist temos a seguinte transformada de fourier.

Sinal Sub-Nyquist reconstruído no tempo