Orientadora: Drª. ELENI BISOGNIN FRANCISCANO CENTRO UNIVERSITÁRIO Modelagem Matemática e o Uso do Álcool e do Cigarro: uma Forma de Contextualizar a Matemática Aluna: CRISTINA MEDIANEIRA DE SOUZA CHAVES Orientadora: Drª. ELENI BISOGNIN

O USO DA METODOLOGIA DA MODELAGEM MATEMÁTICA   Nesse trabalho de dissertação optamos pela utilização da metodologia da Modelagem Matemática por propiciar um estudo da matemática relacionando-o à situações da realidade. A escolha do tema referente ao uso de drogas, em particular o uso do álcool e do cigarro, deu-se em comum acordo entre a professora da turma e os alunos. Durante o desenvolvimento das etapas da Modelagem foi possível aos alunos pesquisarem sobre o tema escolhido, elaborar problemas, resolvê-los matematicamente e, sempre que possível, fizeram a análise crítica da solução.

LANÇAMENTO DO TEMA O início do trabalho foi no auditório do colégio. Na apresentação, foram utilizadas reportagens de revistas, dados estatísticos e montagens de fotos que permitiram que o assunto fluísse livremente. Os alunos puderam fazer colocações sobre o uso do álcool e do cigarro, comentando seus malefícios.

Utilizamos uma linguagem própria à idade dos alunos Utilizamos uma linguagem própria à idade dos alunos.Mostramos percentuais estatísticos do consumo de álcool e de cigarro pelos jovens, no Brasil e em alguns países; reportagens da revista SAÚDE! de março de 2005, que falava sobre o consumo de álcool entre os jovens; reportagem da revista GALILEU de fevereiro de 2005, que tratava dos efeitos de uma bebedeira; reportagem da revista SUPERINTERESSANTE de junho de 2003, comentando a ascensão e queda do consumo de tabaco; reportagem do jornal A RAZÃO de 30 agosto de 2005 sobre esse assunto.

Procuramos deixá-los interessados em buscar informações sobre o consumo de álcool e de cigarro e sobre seus efeitos no organismo humano. Orientamos os alunos a coletarem informações em jornais, livros, revistas, internet, periódicos especializados, etc.

CONFECÇÃO DE CARTAZES   Após a apresentação os alunos confeccionaram cartazes referentes ao tema. Abaixo estão algumas imagens. Selecione a Figura Clique aqui para ver o clip dos cartazes

ATIVIDADES PROPOSTAS AOS ALUNOS Após a confecção dos cartazes e ampla discussão sobre o tema, levantamos junto com os alunos, dados e, em função destes, criaram-se situações problema. A primeira atividade referiu-se ao  Estudo Epidemiológico Sobre o Uso de Drogas Psicotrópicas por Estudantes do Ensino Fundamental, Médio e Superior de Santa Maria – RS. Foi dado um pequeno texto retirado de uma revista alertando que o álcool entra cada vez mais cedo e em doses altíssimas na vida dos adolescentes.

A seguir, apresentamos as seguintes atividades: - Nos últimos anos, o percentual de estudantes do Ensino Médio que usaram álcool tem aumentado 10% a cada ano. - No ano 2000, havia, em Santa Maria, aproximadamente 11000 estudantes do Ensino Médio usuários de álcool. Com base nessas informações perguntamos: Qual a previsão do número de usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria, para os anos de 2005, 2010, 2015 e 2020, caso a taxa de crescimento permaneça constante?

Dinâmica de Resolução da Atividade Vamos considerar o número inicial de estudantes que havia em Santa Maria no ano 2000, ou seja, 11000 estudantes e pela taxa de crescimento , 10% , para obtermos o número de usuários nos anos 2005, 2010, 2015 e 2020.

Em 2001 teremos: 11000 + 10/100 . 11000 = 11000 + 1100 = 12100 usuários Em 2002: 12100 + 10/100 . 12100 = 12100 + 1210 = 13310 usuários Em 2003: 13310 + 10/100. 13310 = 13310 + 1331 = 14641 usuários Em 2004: 14641 + 10/100. 14641 = 14641 + 1464,1= 16105 usuários Em 2005: 16105 + 10/100. 16105 = 16105 + 1610,5 = 17716 usuários. Para organizar os dados numa tabela, indicou-se o ano 2000 como sendo o ano zero:

Usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria. Tabela 1 Usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria. Tempo(anos) Usuários (Álcool) 2000 11000 2001 12100 2002 13310 2003 14641 2004 16605 2005 17716 Fonte: Dados construídos a partir do  Estudo Epidemiológico Sobre o Uso de Drogas Psicotrópicas por Estudantes do Ensino Fundamental, Médio e Superior de Santa Maria–RS

Dividindo-se o número de usuários de um ano pelo número de usuários do ano anterior, obteve-se uma constante Considerando-se o número inicial de usuários, tem-se: Valor inicial: 11000 Após 1 ano: 11000 . 1,1 Após 2 anos: 11000 . 1,1 . 1,1 = 11000 . (1,1)2 Após 3 anos: 11000 . (1,1)3 e Após t anos: 11000 . (1,1)t Falando-se numa linguagem mais formal:

Esses valores foram analisados de maneira crítica, e verificou-se sua compatibilidade com a realidade, o que na Modelagem identifica-se como “VALIDAÇÃO” do modelo encontrado. Os alunos acharam que esses resultados estavam altos demais. Concluiu-se então, que para serem verdadeiros, a taxa de aumento de usuários de álcool teria que ser mantida constante, assim como o aumento na taxa de crescimento do número de estudantes do Ensino Médio também teria que ser proporcional.

Usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria. Usando o programa Excel foi construído o gráfico da Função Exponencial para analisar seu comportamento. Inicialmente construiu-se uma tabela com os valores encontrados: Tabela 2 Usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria. Tempo (anos) Usuários (MILHARES) 11 1 12,1 2 13,31 3 14,64 4 16,1 5 17,71 10 28,49 15 45,98 20 74,03 Fonte: Dados OBTIDOS a partir do  Estudo Epidemiológico Sobre o Uso de Drogas Psicotrópicas por Estudantes do Ensino Fundamental, Médio e Superior de Santa Maria–RS.

Usando os pontos da tabela, construiu-se o gráfico da função:

Construir no Excel, o gráfico das funções ATIVIDADE 2 Construir no Excel, o gráfico das funções e compare-os. O que podemos concluir? Dinâmica de Resolução da Atividade Para construir o gráfico, elaborou-se uma tabela, usando a lei das funções para determinar pontos do seu gráfico.

Valores de U(x), P(x) e Q(x). Tabela 3 Valores de U(x), P(x) e Q(x). x 11 1 12,1 14,3 16,5 2 13,31 18,59 24,75 3 14,64 24,17 37,12 4 16,1 31,42 55,68 5 17,71 40,85 83,52 Fonte: Dados da autora

Usando os pontos da tabela, construiu-se o gráfico da função:

ATIVIDADE 3 O modelo matemático que nos dá o número de usuários de álcool no Ensino Médio, em Santa Maria, a partir do ano 2000 é: Em que ano em que o número de usuários chegará a 98,50 milhares?

Dinâmica de Resolução da Atividade Igualando-se a lei da função a esse valor, pretende-se encontrar o ano, que será representado por t. Igualando-se os valores, obtém-se . Resolvendo fica , ou ainda . Para descobrir “t”, usa-se a calculadora, fazendo-se diversas substituições até encontrar o valor mais aproximado, chegando-se, assim, há 23 anos.

Como o ano inicial (ano 0) é contado em 2000, passados 23 anos, conclui-se que o número de usuários de álcool, no Ensino Médio, em Santa Maria, chegará a 98,50 milhões, aproximadamente em 2023. Fazendo-se a interpretação crítica do resultado encontrado, conclui-se que ele não condiz com a realidade, pois seria muito alto, mesmo para 2023. Faz-se necessário lembrar que as populações crescem exponencialmente por um certo intervalo de tempo. Quando são transcorridos muitos anos, os crescimentos populacionais deixam de ser exponenciais

ATIVIDADE 4 A atividade a seguir teve o objetivo de explorar várias situações relacionadas à Função Exponencial, principalmente no que se refere ao seu gráfico. Estime em quanto tempo o número de usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria: dobrará triplicará Construa no Excel o gráfico da função, aparecendo as situações a e b.

Dinâmica de Resolução da Atividade Para descobrir o ano em que o número de usuários vai dobrar, basta tomar o valor inicial, que é de 11 milhares e calcular o dobro, ou seja, 22 milhares. Como o modelo matemático é descrito por , para obter o dobro, ou seja, 22, procura-se o valor de t, tal que . Fazendo-se ,isto é, t é aproximadamente 7,5 anos. Portanto, conclui-se que, para a população de usuários de álcool no ensino Médio em Santa Maria dobrar, seriam necessários, aproximadamente, 7 anos e 6 meses.

b) Para o número de usuários chegar ao triplo, basta triplicar-se o valor inicial, passando-se de 11 milhares para 33 milhares. De maneira análoga a anterior, faz-se , igualando-se , de onde se conclui que o valor de t é de aproximadamente 11,5 anos. Assim, descobre-se que seriam necessários 11 anos e 6 meses para que o número de usuários de álcool no ensino Médio, em Santa Maria, triplique. c) Para construir o gráfico no Excel, constrói-se inicialmen- te a tabela, incluindo-se os resultados encontrados nas letras a e b:

Usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria. Tabela 4 Usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria. Tempo (anos) Usuários (Milhares) 11 1 12,1 2 13,31 3 14,64 4 16,1 5 17,71 7,5 22 11,5 33 Fonte: Dados construídos a partir do  Estudo Epidemiológico Sobre o Uso de Drogas Psicotrópicas por Estudantes do Ensino Fundamental, Médio e Superior de Santa Maria–RS.

Gráfico da função: Gráfico do número de usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria-RS. Pode-se observar, graficamente, o ano em que a população dobrou e também quando triplicou.

ATIVIDADE 5 Use o modelo que construímos para o número de usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria para estimar o número de usuários que havia em 1990, admitindo-se que a taxa de crescimento é a mesma e construa o gráfico no Excel, incluindo essa situação. Dinâmica de Resolução da Atividade Como o modelo encontrado tem como ano 0 o ano 2000, e a pergunta refere-se ao ano 1990, isto é, há dez anos atrás, deve-se usar para t 0 o valor -10: milhares Assim, o número de usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria, no ano de 1990 é de 4180.

Construção do Gráfico Figura 4 - Gráfico do número de usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria-RS.

ATIVIDADE 6 Identifique nas tabelas a seguir se elas representam ou não os dados de uma Função Exponencial: a) b) x y 20,0 1 21,0 2 22,10 3 23,2775 4 24,6425 5 26,2650 x y 20,0 1 21,0 2 22,05 3 23,1525 4 24,3101 5 25,5256

Dinâmica de Resolução da Atividade

ATIVIDADE 7 O número de usuários (em milhares) de álcool numa cidade tem crescido nos últimos 6 anos segundo o gráfico da Função Exponencial dada abaixo: 0 1 2 3 4 5 6 7 800 700 600 500 400 300 200 100 a) Use o gráfico para estimar em que ano a população dobrou. b) Verifique graficamente que o tempo necessário para a população duplicar não depende do ponto onde se começa a analisar.

Dinâmica de Resolução da Atividade Considerando a população inicial como sendo a ordenada inicial, percebe-se, pelo gráfico, que esta é menor do que 100 e que, para dobrar precisa de quase 2 anos, associando-a à abscissa correspondente. Esse é o tempo necessário para que qualquer valor da população venha a dobrar, que nada mais é do que o fator de crescimento desta função.

ATIVIDADE 8 Responda às seguintes questões: Pesquise a população do estado de São Paulo no ano 2000, após descubra o número de dependentes de álcool nessa população e a taxa de crescimento do número de dependentes a cada ano. Responda às seguintes questões: a) Qual é o modelo matemático que descreve o número de dependentes de álcool a partir do ano 2000, em função do tempo t? b) Se essa taxa permanece constante, qual será a previsão para o número de dependentes em 2010?

Obteve-se as seguintes informações: no ano 2000, a população do Estado de São Paulo era de aproximadamente 37 milhões, segundo dados do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), aproximadamente 6,6% da população eram dependentes de álcool nesse ano; a taxa de crescimento do número de dependentes era de 1,4% a cada ano (IBGE, 2005 e CEBRID, 2000).

Dinâmica de Resolução da Atividade Primeiramente, calcula-se o número inicial de dependentes no ano 2000, que corresponde a 2,44 milhões. Sabendo a taxa anual de dependentes, que é de 1,4% , ou seja, 0,014 , encontra-se o fator de crescimento, que é 1,014.

Tabela Representativa dos Dependentes de Álcool no Estado de São Paulo. Tempo (anos) Dependentes (Álcool) 2,44 1 2,47 2 2,50 3 2,54 Fonte: Dados da autora.

ATIVIDADE 9 Em 2000, a população do Rio Grande do Sul era de 10 milhões. Supondo que a porcentagem do número de dependentes de álcool seja a mesma de São Paulo, ou seja, 6,6% da população e que a taxa de crescimento do número de dependentes também é de 1,4% ao ano, pede-se: a) O modelo matemático para o número de dependentes de álcool no RS, desde o ano 2000, em função do tempo t. b) Se essa taxa permanecer constante, qual a previsão para o número de dependentes nos anos 2005, 2010 e 2020 ?

Dinâmica de Resolução da Atividade

Dinâmica de Resolução da Atividade

ATIVIDADE 10 O risco de acidentes automobilísticos cresce com a quantidade de álcool ingerido. Usando como referência o número de cálices de vinho ingeridos, tem-se a seguinte tabela do risco de acidentes (em porcentagem): Risco de acidentes automobilísticos em função do número de cálices ingeridos. Nº de Cálices Risco de Acidentes (%) 0,95 1 1,23 2 1,59 3 2,05 4 2,64 Fonte: Dados adaptados (BASSANEZI, 2002, p.275).

Sabendo-se que a taxa de risco é constante, pede-se: a) O modelo matemático que indica o risco de acidentes automobilísticos, em função do número de cálices de vinho bebidos. Dinâmica de Resolução da Atividade

a) Primeiramente, sugere-se que se encontre o fator de crescimento, usando-se os valores fornecidos na tabela: Calculando-se os quocientes 1,23/0,95=1,29 , 1,59/1,23= 1,29 , 2,05/1,59=1,29 , etc... , obtém-se resultados constantes, pois, como foi dito, o risco de acidentes cresce exponencialmente em função do numero de cálices de vinho ingeridos. Esse resultado encontrado, 1,29 , representa o fator de crescimento da função. Dada a Função Exponencial R(c)=bac , indica-se por c o número de cálices de vinho ingeridos e R (c) o risco de se sofrer um acidente em função do número de cálices ingeridos.

Conhecido o fator de crescimento a=1,29 e a porcentagem de risco de 0,95 , correspondente a b, encontra-se o modelo matemático R(c ) = 0,95 . 1,29c , que permite calcular o risco (em %) de se sofrer um acidente automobilístico, em função do número de cálices de vinho ingeridos. b) Quantos cálices devem-se ingerir para se ter a “certeza” de sofrer um acidente?

Na verdade, “certeza de sofrer um acidente” é uma maneira relativa de se falar, pois, na prática, ninguém tem certeza absoluta de que irá sofrer um acidente. A “certeza” de acidente está relacionada a um risco de 100%, ou seja, a partir do modelo , iguala-se a 100 e obtém-se o resultado . Ao se resolver, encontra-se a equação exponencial , onde se obtém para c o valor aproximado 18,3. Será necessário, portanto, ingerir aproximadamente 18,3 cálices de vinho para se ter a “certeza” de sofrer um acidente.

c) Construa o gráfico da função no Excel, incluindo o número de cálices encontrados na letra b. Tabela indicando a porcentagem do risco de acidentes automobilísticos em função do número de cálices de vinho ingeridos. Nº de Cálices Risco de Acidentes (%) 0,95 1 1,23 2 1,59 3 2,05 4 2,64 18,3 100 Fonte: Dados adaptados (BASSANEZI, 2002, p.275).

Gráfico correspondente ao risco de acidentes

d) Se o teor alcoólico no sangue, ao se ingerir um cálice de vinho é de 0,0146% e de acordo com a legislação brasileira (anterior à lei atual em vigor), uma pessoa está incapacitada para dirigir com segurança se tiver um teor alcoólico superior a 0,08%, qual o número máximo de cálices de vinho que uma pessoa pode beber para passar no teste do bafômetro?

5 é o maior número de cálices permitido. Dinâmica de Resolução Para saber o número máximo de cálices de vinho que uma pessoa pode ingerir para passar no teste do bafômetro, basta dividir o número máximo permitido de teor alcoólico, ou seja, 0,08 , pelo teor de um cálice de vinho, 0,0146 , ou , seja: 5 é o maior número de cálices permitido.

ATIVIDADE 11 Em 1987, na cidade de Porto Alegre, o número de pessoas que havia feito uso de álcool na vida era de aproximadamente 2,12 milhões. Em 1989, esse número era de aproximadamente 2,24 milhões. a)Sabendo-se que esse crescimento é exponencial, qual é o modelo matemático para determinar o número de usuários de álcool, em função do tempo t, desde 1987? b)Use o modelo encontrado para predizer o número de usuários em 2005, 2010 e 2015. c)Em que ano o número total de usuários chegará a 6,5 milhões?

Dinâmica de Resolução da Atividade Usuários de álcool em Porto Alegre Tempo (anos) Usuários (Álcool) 2,12 2,24 1987 1989 Fonte: Dados encontrados no referencial mencionado

Pensa-se, então, em como encontrar a lei da função dados dois dos seus pontos. Como já são conhecidos os conceitos relacionados à Função Exponencial, generaliza-se , sendo t o tempo em anos a partir de 1987, U(t) o número de usuários de álcool em Porto Alegre, a o fator de crescimento e b o número inicial de usuários em 1987. No ano 0 (1987), o número de usuários é 2,12, substituindo-se na função , encontra-se para b o valor 2,12. Para o ano 2 (1989), o número de usuários é 2,24, ao substituir na função, encontra-se , chegando-se na equação , ou seja, . Obtém-se o modelo: , em milhões, que descreve o número de usuários de álcool, em Porto alegre, a partir de 1987.

Usa-se o modelo matemático encontrado para predizer o número de usuários para os próximos anos (2005, 2010 e 2015). Para 2005, subtrai-se (2005 – 1987) para encontrar o número de anos transcorridos até então, encontrando-se 18 anos. Ao substituir , pode-se descobrir que o número de usuários de álcool em Porto Alegre em 2005 é de aproximadamente 3,60 milhões de usuários. Para 2010, serão transcorridos 23 anos (2010 – 1987): ,c encontrando-se aproximadamente 4,18 milhões de usuários. Para 2015, serão passados 28 anos (2015 – 1987), para se saber o número de usuários, faz-se a substituição, ,c , encontrando-se 4,85 milhões de usuários.

Respondendo-se ao último questionamento, em que ano o número de usuários atingirá o valor de 6,5 milhões, pensa-se em igualar a função a este valor: . Encontrando-se a equação exponencial , de onde se obtém para t o valor aproximado de 38 anos. Somando-se 1987 + 38 = 2025, logo, o número de usuários chegará a 6,5 milhões na cidade de Porto Alegre, aproximadamente no ano 2025.

ATIVIDADE 12 O estudo realizado por Menezes em 2004, na Universidade Federal de Pelotas, mostrou que a prevalência de tabagismo entre os estudantes de medicina tem caído nos últimos anos. A taxa de decrescimento encontrada é em torno de 0,95% ao ano. Utilizando essa mesma taxa para o decrescimento do número de usuários de tabaco entre os estudantes da Universidade Federal de Santa Maria, e sabendo-se que, no ano 2000, havia aproximadamente 5479 usuários, qual é a previsão para os anos 2005, 2010, 2015 e 2020, supondo-se que a taxa de decrescimento mantenha-se constante?

Dinâmica de Resolução da Atividade

Usuários de tabaco na Universidade Federal de Santa Maria. Tempo (anos) Usuários (Tabaco) 5479 1 5424 2 5370 3 5316 5 5205 10 4931 15 4712 20 4493 Usuários de tabaco Fonte: Dados encontrados a partir dos referenciais citados.

ATIVIDADE 13 A taxa de eliminação de etanol em um homem que ingeriu 7 garrafas de cerveja é de aproximadamente 8% por hora. Se 340ml de cerveja possuem 20ml de etanol, pede-se: a) Construa uma tabela comparativa entre o resíduo de cerveja e o de etanol. b) Qual é o modelo matemático que representa o resíduo de cerveja no organismo, com o passar das horas?

c) Qual é o modelo matemático que representa o resíduo de etanol no organismo, com o passar das horas? d) Após 8 horas, qual o resíduo de etanol no organismo? e) Analise graficamente quanto tempo levará até que o etanol desapareça do organismo. f) Faça um gráfico comparativo dos modelos encontrados em b e c.

Dinâmica de Resolução da Atividade a) A relação que foi dada é que 340ml de cerveja possuem 20ml de etanol, sendo assim, pensa-se em quantos ml possuem 7 garrafas de cerveja. Sabendo-se que 1 garrafa de cerveja possui 600ml, conclui-se que, se o indivíduo ingeriu 7 garrafas de 600ml, ingeriu um total de 4200ml. Para descobrir quanto de etanol há em 4200ml de cerveja, faz-se uma regra de três. Se uma lata de cerveja de 340ml corresponde a 20ml de etanol, então 4200ml de cerveja corresponde a um valor aproximado de 247ml.

Calcula-se a seguir o fator de decrescimento para se saber qual é o fator multiplicativo da função, a fim de se construir a tabela. Como a taxa de eliminação é de 0,08, o fator de decrescimento é 0,92.

Resíduo de cerveja e resíduo de etanol. Conhecendo-se o valor inicial de cerveja (4200ml), o valor inicial de etanol (247ml) e o fator multiplicativo (0,92), obtém-se a tabela: Resíduo de cerveja e resíduo de etanol. Tempo (horas) Resíduo Cerveja Resíduo Etanol 4200 247 1 3864 227,24 2 3554,49 209,06 3 3270,49 192,34 4 3008,85 176,95 Fonte: Dados encontrados a partir dos referenciais citados.

b) O modelo matemático que representa o resíduo de cerveja no organismo é c(t)=4200.(0.92)t c) O modelo matemático que representa o resíduo de etanol no organismo é E(t)=247.(0.92)t d) O resíduo de etanol no organismo após 8h,é E(8)=247.(0.92)s, obtendo-se 125,97. Portanto, após 8 horas da ingestão de 7 garrafas de cerveja, ainda haverá 125,97ml de etanol no organismo.

Para observar graficamente quanto tempo será necessário para que o etanol desapareça do organismo, foi construída a tabela de valores e o gráfico correspondente.

Resíduo de etanol Tempo (horas) Resíduo (Etanol) 247 1 227,24 2 209,06 3 192,34 4 176,95 10 106,21 20 46,93 30 19,76 40 9,88 50 4,94 60 1,73 70 0,74 80 0,25 90 0,15 1000 0,05 Fonte: Dados encontrados a partir dos referenciais citados. e) Pela análise da tabela e do gráfico, conclui-se que levará em torno de 60 horas para o etanol desaparecer do organismo.

f) Tabela de valores comparativos entre os dois modelos Resíduo de etanol e resíduo de cerveja. Tempo (horas) Resíduo Etanol Resíduo Cerveja 247 4200 1 227,24 3864 2 209,06 3554,88 3 192,34 3270,49 4 176,95 3008,85 10 106,21 1806 20 46,93 798 30 19,76 336 40 9,88 168 50 4,94 84 60 1,73 29,4 70 0,74 12,6 80 0,25 4,2 90 0,15 2,52 1000 0,05 0,84 Fonte: Dados encontrados a partir dos referenciais citados.

Gráfico comparativo entre o resíduo de etanol e o resíduo de cerveja.

ATIVIDADE 14 Estime a meia-vida do etanol e da cerveja no organismo, quando ingeridos 247ml e 4200ml, respectivamente. Após, construa os gráficos no Excel para observar essas duas situações. Dinâmica de Resolução da Atividade

Resíduo de cerveja e resíduo de etanol no organismo. Tempo (horas) Resíduo (Cerveja) Resíduo (Etanol) 4200 247 1 3864 227,24 2 3554,88 209,06 3 3270,49 192,34 4 3008,85 176,95 8 2100 123,5 Fonte: Dados encontrados a partir dos referenciais citados. Gráfico do resíduo de etanol e do resíduo de cerveja.

ATIVIDADE 15 Quando uma pessoa fuma um cigarro, aproximadamente 0,4 mg de nicotina são absorvidas pelo sangue. Aproximadamente 35% da nicotina é eliminada pelo sangue a cada hora. a) Encontre o modelo matemático que permite saber o nível de nicotina no sangue depois de fumar um cigarro. b) Use o modelo para estimar em quanto tempo a quantidade de nicotina no sangue chegará a 0,005mg.

Dinâmica de Resolução da Atividade

ATIVIDADE 16 Atualmente, morrem 3,5 milhões de pessoas por ano, no mundo, vítimas do fumo e sabe-se que a taxa de mortes cresce 4% a cada ano. a) Encontre o modelo que representa o crescimento do número de mortes a cada ano, a partir de 2003. b) Estime o número de mortes em 2010, 2020 e 2030, se a taxa de crescimento permanecer constante.

Dinâmica de Resolução da Atividade O número de pessoas que morriam vítimas do fumo em 2003 era de 3,5 milhões e a taxa de crescimento do número de mortes é de 4% ao ano. Para encontrar o modelo, calcula-se o fator de crescimento, 1,04 (1 + 0,4). Usa-se t para representar o tempo dado em anos, M(t) para representar o número de mortes e, assim, constrói-se o modelo que permite determinar o número de pessoas que morrem por ano, vítimas do cigarro, a partir de 2003.

b) Para estimar o número de mortes nas próximas décadas, deve-se levar em conta que o ano inicial é 2003, sendo assim, para 2010 são transcorridos 7 anos. Logo obtém-se, aproximadamente 4,26 milhões de mortes. Em 2020, terão passados 17 anos, portanto resulta, 6,8 milhões de mortes. Para 2030, transcorrerão 27 anos, e ter-se-á 10,09 milhões de mortes.

ATIVIDADE 17 Sabe-se que, na última década do século XX, o consumo mundial de cigarros cresceu 1,5% (contrastando com o crescimento de 23,5% da penúltima década). No ano 2000, foram consumidos, no mundo, 5500 bilhões de cigarros. Supondo que a taxa de crescimento do consumo, por década, permaneça constante (1,5%), pergunta-se: Qual é o modelo exponencial para o consumo mundial de cigarros nas próximas décadas?

Dinâmica de Resolução da Atividade

SUGESTÕES DE ATIVIDADES Calcule a lei da função exponencial que passa pelos pontos (1,6) e (2,9) . A seguir, construa no Excel o gráfico dessa função. Atividade 2 Observe as curvas que representam o crescimento do uso de álcool em diferentes cidades. Qual cidade a) tem a maior taxa de crescimento? b) tem a menor taxa de crescimento? c) tem a maior população inicial? d) tem a menor população inicial? e) quais cidades têm a mesma taxa de crescimento?

Atividade 3 Determine quais as funções que são exponenciais. Para as que representam função exponencial, determine a lei através dos dados apresentados na tabela. a) x 1 2 3 y 1000 1200 1440 1728 t 1 2 3 L(t) 300 308 320,2 335,5 b) t 10 20 30 Q(t) 200 208 216,32 224,97 c)

Atividade 4 Seja uma função exponencial. Se e , encontre a) o fator de crescimento b) a taxa de crescimento C) a fórmula para

Seja uma função exponencial tal que e Atividade 5 Seja uma função exponencial tal que e Quais desses valores são possíveis e quais são impossíveis? a) b) c)

Atividade 6 Determine quais das seis funções abaixo representam uma função exponencial da forma e quais não representam. Explique a sua resposta.

Atividade 7 Determine quais as funções abaixo são exponenciais. Para as que representam função exponencial, determine a lei através dos dados apresentados na tabela. x 1 2 3 y 2000 1800 1620 1458 a) x 1 2 3 y 300 240 190 150 b) x 10 20 30 y 400 288 207,36 149,30 c)

Atividade 8 Qual dos seguintes pares de pontos determinam uma função exponencial da forma . Para as que determinam faça um esboço do gráfico e indique o sinal de b e analise o fator a, se ou se .

Atividade 9 Identifique quais as situações que representam função exponencial crescente, função exponencial decrescente, função linear crescente ou decrescente, ou não representam função. a) O preço da cerveja aumenta em média 24% ao ano. b) O número de dependentes de álcool entre os habitantes de uma cidade aumenta em média em 300 pessoas por ano. c) O consumo de cigarros caiu em média 0,5% ao ano na Espanha entre 1980 e 1997. d) O número de usuários de cigarro cresceu em média 5% ao ano de 1994 a 1996 entre os jovens espanhóis. e) O número de internações no setor de psiquiatria para dependentes de álcool, de um determinado hospital, tem se mantido constante nos últimos anos.

Atividade 10 Observe os gráficos abaixo que representam diferentes funções que descrevem estatísticas sobre o consumo de álcool e tabaco. Identifique aquela em que a) o consumo aumentou de 10% a cada ano. b) o consumo aumentou de 6% a cada ano. c) o consumo caiu de 5% a cada ano. d) o consumo permaneceu constante.

Atividade 11 Encontre as possíveis equações dos gráficos das funções exponenciais de a, b e c.

Atividade 12 A quantidade da droga ampicilina (na forma de penicilina) na corrente sangüínea decresce aproximadamente 42% a cada hora. Se a dosagem de ampicilina é 250 mg, escreva a função usada como modelo do nível de ampicilina no sangue, em função do tempo, se foi tomada uma dose. b) Estime quanto tempo levará para que o nível de ampicilina no sangue caia para 1 mg.

Atividade 13 Num hospital é administrada a um paciente 3 mg de morfina para o controle da dor. Aproximadamente 31% de morfina é eliminada do sangue a cada hora. Construa a função do modelo do nível de morfina no sangue após tomar uma dose. b) Quanto de morfina permanece no sangue após 4 horas? c) Estime quanto tempo levará para que o nível de morfina no sangue caia para 0,2 mg.

Atividade 14 Seja uma função exponencial tal que e . Quais desses valores são possíveis e quais são impossíveis? a) c) b)

Atividade 15 Construa no Excel o gráfico das seguintes funções, no mesmo sistema de coordenadas observando-as e comparando-as. O que podemos concluir? a) , , b) , , c) , d) ,