Perímetros e Áreas

Perímetro de Polígonos : Como Polígonos são figuras planas compostos por lados que são sempre segmentos de reta, o perímetro dessas figuras é representado apenas pela soma desses lados! Veja alguns exemplos: I) Quadrilátero: II) Hexágono Regular: L = 5 m 3,1 m 2,3 m 2,6 m 2,6 m P = 3,1 + 2,6 + 2,6 + 2,3 P = 6 x 5 P = 10,6 m P = 30 m

ou Comprimento da circunferências : Perímetro de Círculo : ou Comprimento da circunferências : Há mais de 2000 anos o ser humano descobriu uma relação entre a medida do comprimento de uma circunferência (C) e a mediada de seu diâmetro (d), veja como: C d Esse valor foi mais tarde chamado de π (pi), dando assim origem a uma fórmula para medir o comprimento de qualquer circunferência: C = 2.π.R

Perímetro de um Setor Circular : Quando tiramos uma fatia de pizza, estamos tomando uma figura chamada de setor circular, observe como representar seu perímetro, no exemplo abaixo: I) Perceba que duas partes já são os raios de circunferência: R x II) Perceba também que o restante do contorno do setor (x) é uma parte da circunferência, logo: 120º R R = 4 m P = x + 2.R x = 8,73 m P = 16,73 m

Área de Quadrado e Retângulo : Como já vimos, a área de uma região quadrado ou retangular é calculada pelo produto entre o comprimento(base) e a largura(altura)! Veja alguns exemplos: I) Quadrado: II) Retângulo: Obs: Como o comprimento e a largura em um quadrado sempre têm o mesmo valor (L), podemos representar a área por meio da fórmula A = L2: 3 cm 3 cm 3 cm 5 cm A = 3 . 3 A = 5 . 3 A = 9 cm2 A = 15 cm2

Área de Paralelogramo : Semelhante ao retângulos, o cálculo da área de um paralelogramo também é o produto entre sua base(b) e sua altura(a), atentando para observação de quem é a altura, veja abaixo: Obs: Perceba que a altura é a distância entre as duas bases e não simplesmente o outro segmento! a b Obs: Perceba também que ao retirar a altura de dentro da figura encontramos um triângulo retângulo, muito útil em algumas questões! A = b.a

I) Conhecendo-se a base e a altura, temos: Áreas de Triângulos : Nesse momento perceberemos que não existe apenas uma forma de calcular a área de um triângulo, dependendo dos dados que cada situação podemos empregar diferentes fórmulas para esse cálculo, vejamos: I) Conhecendo-se a base e a altura, temos: a b Obs: Perceba que o triângulo sempre será a metade de um paralelogramo, logo:

II) Conhecendo-se os três lados, temos: Áreas de Triângulos : II) Conhecendo-se os três lados, temos: Primeiramente calculamos o semi-perímetro p(metade do perímetro): a b c Para determinar,então, a área da região triangular utilizamos a fórmula de Heron, que consiste em:

Essa fórmula é chamada de fórmula trigonométrica da área! Áreas de Triângulos : III) Conhecendo-se dois lados e o ângulo formado por eles, temos: a b  Obs: Atente que é necessário que o ângulo utilizado seja o formado pelos lados que serão utilizados: Essa fórmula é chamada de fórmula trigonométrica da área!

Vejamos alguns exemplos: I) Usando Heron: Áreas de Triângulos : Vejamos alguns exemplos: I) Usando Heron: II) Usando fórmula trigonométrica: 6 m 7 m 5 m 9 m 12 m 50°

Veja como podemos demonstrar a área de um trapézio: b Áreas de Trapézio : Veja como podemos demonstrar a área de um trapézio: b a Traçando uma das diagonais podemos dividir o trapézio em dois triângulos, ambos de altura a: a B

Calculando a área do retângulo obtido demos: Áreas de Losango : Veja como podemos demonstrar a área de um losango: d Traçando as duas diagonais do losango podemos dividi-lo em quatro triângulos retângulos: Calculando a área do retângulo obtido demos: D d

Áreas de Polígonos Regulares : Todo polígono regular pode ser dividido em triângulos congruentes, assim podemos determinar a área de um desses triângulos para servir como base para a área do polígono como um todo, veja alguns exemplos: Perceba que a altura do triângulo é exatamente o apótema do polígonio inicial:

Calculando a área do triângulo, temos: Área de Circulo : Veja como podemos demonstrar a área de um circulo: 2.∏.R R Calculando a área do triângulo, temos: Perceba que a altura do triângulo formado é exatamente o raio(R) da circunferência: