NÚMEROS COMPLEXOS

Quando estudamos um conjunto numérico, percebemos a necessidade de efetuarmos algumas operações. No conjunto dos números reais (R), algumas operações não são permitidas. Exemplo: Radicais com índices pares de números negativos. Para que esses resultados fossem possíveis, os matemáticos ampliaram , mais uma vez, o conceito numérico, criando um número, que indicaram por i e denominaram UNIDADE IMAGINÁRIA.

E aí surgiram os números complexos, que são do tipo:

O conjunto dos números complexos é indicado por C, isto é: Exemplos: No número complexo 3 + 2i a parte real é 3 e a parte imaginária é 2. 2. No número complexo 5i, que pode ser representado por 0 + 5i, a parte real é 0 (zero) e a parte imaginária é 5. 3. No número complexo 7, que pode ser representado por 7 + 0i, a parte real é 7 e a parte imaginária é 0 (zero).

Observação: 1. Todo número complexo com parte real zero e parte imaginária diferente de zero é denominado NÚMERO IMAGINÁRIO PURO. 2. Todo número complexo com parte imaginária diferente de zero é denominado NÚMERO IMAGINÁRIO. 3 . Todo número complexo com parte imaginária zero é denominado um NÚMERO REAL. 4 . Todo número real a é também número complexo, pois pode ser representado por a + 0i. Assim temos que:

IGUALDADE ENTRE NÚMEROS COMPLEXOS. POTÊNCIAS DE i Existem quatro, e somente quatro, valores para potências de i com expoentes inteiros. São eles:    

EXEMPLOS: Identifique a parte real e a imaginária de z, em cada caso: Z = 9i Z = 4 Z = 2 – 3i Z = – 1 – i Z = – i Z = 2i – 3 Z = – 2i + 4 Respostas: P.R. = 0 e P.I. = 9 P.R. = 4 e P.I. = 0 P.R. = 2 e P.I. = – 3 P.R. = – 1 e P.I. = – 1 P.R. = 0 e P.I. = – 1 P.R. = – 3 e P.I. = 2 P.R. = 4 e P.I. = – 2

2. Determine os valores reais de x e y, para que os números complexos sejam imaginários puros. a) Z = 2x + 3yi b) W = (1 – 2y) + 10i  

3. Seja z = (3m + n + 1) + (2m – 3n – 2)i, calcule m e n, reais, para que z seja zero.  

4. Resolva as equações, para x real. 2x + (x – 3)i = 12 + 3i  

5. Resolva, em C, as equações do 2º grau. a) x2 + 4 = 0 b) x2 – 5x + 6 = 0 c) x2 – 6x + 13 = 0  

OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS 1. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Soma-se ou subtrai-se, respectivamente, as partes reais e imaginárias, separadamente. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i 2. MULTIPLICAÇÃO Multiplica-se de acordo com as regras da multiplicação de binômios, lembrando que i2 = - 1. (a + bi). (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

CONJUGADO DE UM COMPLEXO Sendo z = a + bi, define-se como complexo conjugado de z o complexo Então teremos: Exemplos: Podemos observar que dois números complexos conjugados têm, respectivamente, partes reais iguais e partes imaginárias simétricas ou opostas.

1. Sendo z1 = 3 + 2i e z2 = 1 + i, obter z1:z2. OPERAÇÃO DA DIVISÃO: A divisão de dois complexos z1 = a + bi e z2= c + di pode ser obtida, escrevendo-se o quociente sob forma de fração pelo conjugado do denominador. Isto é: Exemplo: 1. Sendo z1 = 3 + 2i e z2 = 1 + i, obter z1:z2.  

2. Efetue:  

3. Determine o inverso multiplicativo de z, sabendo que z = 1 – 3i.  

4. Efetue as seguintes operações:    

5. Escreva na forma z = a + bi o número complexo: