Álgebra das Proposições Ciência da Computação Lógica Matemática Álgebra das Proposições

Álgebra das Proposições LÓGICA MATEMÁTICA - CONTEÚDO Álgebra das Proposições Propriedades da Conjunção Propriedades da Disjunção Propriedades da Conjunção e Disjunção Negação da Condicional Negação da Bicondicional

Propriedade IDEMPOTENTE: LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO Sejam p, q, r proposições simples. Sejam t, c proposições simples e V(t) = V e V(c) = F. Propriedade IDEMPOTENTE: p ^ p  p Assim, temos: X < 0 ^ X < 0  X < 0

Propriedade COMUTATIVA: LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO Sejam p, q, r proposições simples. Sejam t, c proposições simples e V(t) = V e V(c) = F. Propriedade COMUTATIVA: p ^ q  q ^ p Assim, temos: X < 0 ^ X  1  X  1 ^ X < 0

Propriedade ASSOCIATIVA: LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO Sejam p, q, r proposições simples. Sejam t, c proposições simples e V(t) = V e V(c) = F. Propriedade ASSOCIATIVA: (p ^ q) ^ r  p ^ (q ^ r) Assim, temos: (a>=b ^ bc) ^ (c<d)  (a>=b)^ (b  c ^ c < d)

Propriedade IDENTIDADE: LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO Sejam p, q, r proposições simples. Sejam t, c proposições simples e V(t) = V e V(c) = F. Propriedade IDENTIDADE: p ^ t  p e p ^ c  c Assim, temos: (x 1)^|x|>=0  (x 1) e (x1)^|x|<0  |x|<0

Propriedade IDENTIDADE: LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO Propriedade IDENTIDADE: p ^ t  p e p ^ c  c p t c p ^ t p ^ c p^t <-> c p^c <-> c V V F V F V V F V F F F V V

Propriedade IDEMPOTENTE: LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃO Sejam p, q, r proposições simples. Sejam t, c proposições simples e V(t) = V e V(c) = F. Propriedade IDEMPOTENTE: p v p  p Assim, temos: X < 0 v X < 0  X < 0

Propriedade COMUTATIVA: LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃO Sejam p, q, r proposições simples. Sejam t, c proposições simples e V(t) = V e V(c) = F. Propriedade COMUTATIVA: p v q  q v p Assim, temos: X < 0 v X  1  X  1 v X < 0

Propriedade ASSOCIATIVA: LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃO Sejam p, q, r proposições simples. Sejam t, c proposições simples e V(t) = V e V(c) = F. Propriedade ASSOCIATIVA: (p v q) v r  p v (q v r) Assim, temos: (a>=b v bc) v (c<d)  (a>=b) v (b  c v c < d)

Propriedade IDENTIDADE: LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃO Sejam p, q, r proposições simples. Sejam t, c proposições simples e V(t) = V e V(c) = F. Propriedade IDENTIDADE: p v t  t e p v c  p Assim, temos: (x 1)v|x|>=0  (x 1) e (x1)v|x|<0  |x|<0

Propriedade IDENTIDADE: LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃO Propriedade IDENTIDADE: p v t  t e p v c  p p t c p v t p v c pvt <-> t pvc <-> p V V F V V V V F V F V F V V

Propriedade DISTRIBUTIVA: LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROP.DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO Sejam p, q, r proposições simples. Propriedade DISTRIBUTIVA: p ^ (q v r)  (p ^ q) v (p ^ r) p v (q ^ r)  (p v q) ^ (p v r)

Propriedade DISTRIBUTIVA: LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROP. DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO Propriedade DISTRIBUTIVA: p ^ (q v r)  (p ^ q) v (p ^ r) p q r q v r p^(q v r) p ^ q p ^ r (p^q)v(p^r) V V V V V V V V V V F V V V F V V F V V V F V V V F F F F F F F F V V V F F F F F V F V F F F F F F V V F F F F F F F F F F F F

Propriedade DISTRIBUTIVA: LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROP.DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO Propriedade DISTRIBUTIVA: Por exemplo: “Carlos estuda e Jorge ouve música ou lê”. É EQUIVALENTE A: “Carlos estuda e Jorge ouve música ou Carlos estuda e Jorge lê”.

Propriedade ABSORÇÃO: LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROP.DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO Sejam p, q, r proposições simples. Propriedade ABSORÇÃO: p ^ (p v q)  p p v (p ^ q)  p

Propriedade ABSORÇÃO: LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROP. DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO Propriedade ABSORÇÃO: p ^ (p v q)  p p q p v q p^(p v q) p^ (p v q) <-> p V V V V V V F V V V F V V F V F F F F V

Propriedade REGRAS DE MORGAN: LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROP.DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO Sejam p, q, r proposições simples. Propriedade REGRAS DE MORGAN: ~ (p ^ q)  ~ p v ~ q ~ (p v q)  ~ p ^ ~q

Propriedade REGRAS DE MORGAN: LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROP. DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO Propriedade REGRAS DE MORGAN: ~ (p ^ q)  ~ p v ~ q p q p ^ q ~ (p^q) ~p ~q ~p v ~q V V V F F F F V F F V F V V F V F V V F V F F F V V V V

Exemplo REGRAS DE MORGAN : LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROP.DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO Exemplo REGRAS DE MORGAN : “É inteligente e estuda”, por Morgan: “Não é inteligente ou não estuda”. “É médico ou professor”, por Morgan: “Não é médico e não é professor”.

Mostram como é possível definir a disjunção a partir da conjunção e LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROP.DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO As REGRAS DE MORGAN: Mostram como é possível definir a disjunção a partir da conjunção e da negação,ou a conjunção a partir da disjunção e da negação: p v q  ~ (~p ^ ~ q) p ^ q  ~(~ p v ~q)

Como p -> q  ~ p v q, temos: LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROP.DA NEGAÇÃO DA CONDICIONAL Como p -> q  ~ p v q, temos: ~ (p -> q)  ~ (~p v q)  ~~p ^ ~q Ou seja: ~ (p -> q)  p ^ ~q p q p -> q ~ (p->q) ~q p^ ~q V V V F F F V F F V V V F V V F F F F F V F V F

A condicional p -> q NÃO tem as propriedades IDEMPOTENTE, LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROPRIEDADES DA CONDICIONAL A condicional p -> q NÃO tem as propriedades IDEMPOTENTE, COMUTATIVA E ASSOCIATIVA. As tabelas-verdade das proposições: p -> p e p, p -> q e q->p, (p -> q) -> r e p-> (q -> r) não são idênticas.

Como p <-> q  (p->q) ^(q->p), temos: LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROP.DA NEGAÇÃO DA BICONDICIONAL Como p <-> q  (p->q) ^(q->p), temos: p <-> q  (~p v q) ^ (~q v p) Portanto, ~(p <-> q)  ~(~p v q) v ~(~q v p) Daí: ~(p <-> q)(~~p ^ ~q) v (~~q ^ ~p) Por fim: ~(p <-> q)  (p ^ ~q) v (q ^ ~p)

A bicondicional p <-> q NÃO tem a propriedade IDEMPOTENTE. LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições PROPRIEDADES DA BICONDICIONAL A bicondicional p <-> q NÃO tem a propriedade IDEMPOTENTE. As tabelas-verdade das proposições: p -> p e p. A bicondicional tem as propriedades COMUTATIVA e ASSOCIATIVA.