Programação Não-Linear Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI Instituto de Recursos Naturais - IRN Programação Não-Linear por Prof. Benedito C. Silva

Programação Não-Linear

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Programação Não-Linear Métodos de solução: Substituição Gráfico Multiplicadores de Lagrange Método do Gradiente Programação Quadrática Condições de Karush-Kuhn Tucker Método de Newton Método de variações nas Coordenadas Linearização de funções separáveis

Programação Não-Linear

Solução Gráfica

Solução Gráfica

Solução Gráfica

Solução Gráfica

Importante!

Otimização Unidimensional Busca pela Razão Áurea Válida para um intervalo que contenha uma única resposta (máximo) Xl é o limite inferior do intervalo f(x) Máximo XU é o limite superior do intervalo Xl X1 X2 XU X1 e X2 são pontos intermediários usados na busca do máximo

Otimização Unidimensional Busca pela Razão Áurea A escolha dos pontos internos pode ser feita de acordo com os seguintes critérios f(x) 𝑙 0 = 𝑙 1 + 𝑙 2 (a) Máximo 𝑙 1 𝑙 0 = 𝑙 2 𝑙 1 (b) (a) em (b) Xl X2 X1 XU 𝑙 1 𝑙 1 + 𝑙 2 = 𝑙 2 𝑙 1 Ou, 𝑙 0 𝑙 1 𝑙 2 𝑙 1 + 𝑙 2 𝑙 1 = 𝑙 1 𝑙 2

Otimização Unidimensional Busca pela Razão Áurea 𝑅= 𝑙 2 𝑙 1 Fazendo chega-se a: 1+𝑅= 1 𝑅 ou, 𝑅 2 +𝑅−1=0 A raiz positiva será dada por: 𝑅= −1+ 1−4.(−1) 2 = 5 −1 2 =0,61803… Razão Áurea 𝟎,𝟔𝟏𝟖𝟎𝟑… 𝟏

Otimização Unidimensional Busca pela Razão Áurea Encontrando o ponto ótimo usando a razão áurea: Escolhe-se os pontos Xl e XU, que definem o intervalo de busca Os pontos interiores são escolhidos usando-se a razão áurea, da seguinte forma: Calcula-se f(X1) e f(X2) Se f(X1) > f(X2), então: O domínio a esquerda de X2 deve ser eliminado. Ou seja, X2 passa a ser Xl, X1 passa a ser X2 e 𝑑= 5 −1 2 ( 𝑋 𝑢 − 𝑋 𝑙 ) 𝑋 1 = 𝑋 𝑙 +𝑑) 𝑋 2 = 𝑋 𝑢 −𝑑) 𝑋 1 = 𝑋 𝑙 + 5 −1 2 ( 𝑋 𝑢 − 𝑋 𝑙 )

Otimização Unidimensional Busca pela Razão Áurea Encontrando o ponto ótimo usando a razão áurea: Se f(X2) > f(X1), então: O domínio a direita de X1 deve ser eliminado. Ou seja, X1 passa a ser XU, X2 passa a ser X1 e 𝑋 2 = 𝑋 𝑢 − 5 −1 2 ( 𝑋 𝑢 − 𝑋 𝑙 ) Exemplo: Usar o método de busca pela seção áurea para encontrar o máximo da função abaixo, no intervalo de X entre 0 e 4. 𝑓 𝑋 =2. sen 𝑋 − 𝑋 2 10

Otimização Unidimensional Interpolação Quadrática Este método parte do princípio que um polinômio do segundo grau fornece uma boa aproximação para a forma da função objetivo, f(x), nas proximidades do ponto ótimo. Existe apenas uma parábola ligando 3 pontos. Portanto, se existem 3 pontos que delimitem um ponto ótimo, pode-se ajustar uma parábola aos 3 pontos, derivá-la e igualar o resultado a zero, para estimar o valor ótimo de X. Ótimo aproximado f(x) Ótimo verdadeiro Função verdadeira Função quadrática X0 X1 X3 X2

Otimização Unidimensional Interpolação Quadrática O valor de X3 pode ser obtido pela seguinte equação: 𝑋 3 = 𝑓 𝑋 0 . 𝑋 1 2 − 𝑋 2 2 +𝑓 𝑋 1 . 𝑋 2 2 − 𝑋 0 2 +𝑓 𝑋 2 . 𝑋 0 2 − 𝑋 1 2 2.𝑓 𝑋 0 . 𝑋 1 − 𝑋 2 +2.𝑓 𝑋 1 . 𝑋 2 − 𝑋 0 +2.𝑓 𝑋 2 . 𝑋 0 − 𝑋 1 Onde, X0, X1 e X2 são aproximações iniciais e X3 é o valor de X que corresponde ao máximo valor da função quadrática ajustada às aproximações. Realizam-se iterações. Em cada uma delas, avaliam os valores da função para os pontos escolhidos e descarta-se um deles , reduzindo-se o espaço de busca. Exemplo: Usar a interpolação quadrática para encontrar o máximo da função abaixo, com as aproximações iniciais X0 = 0, X1 = 1 e X2 = 4. 𝑓 𝑋 =2. sen 𝑋 − 𝑋 2 10

Otimização Unidimensional Método de Newton Utiliza a seguinte equação para uma busca iterativa do ótimo da função: 𝑋 𝑖+1 = 𝑋 𝑖− 𝑓′(𝑋) 𝑓"(𝑋) Exemplo: Usar o Método de Newton para encontrar o máximo da função abaixo, com aproximação inicial X0 = 2,5. 𝑓 𝑋 =2. sen 𝑋 − 𝑋 2 10

MÉTODOS DE BUSCA DIRETA Busca Aleatória Método do tipo “força bruta” Consiste em calcular repetidamente a função objetivo a partir de valores das variáveis independentes escolhidos aleatoriamente. Se um número suficiente de amostras for estudado, o valor ótimo será eventualmente localizado Exemplo: Use a função de geração de números aleatórios do MSExcel (aleatório) para encontrar o máximo da função abaixo, no domínio limitado por x=-2 a 2 e y=-1 a 1,5 f(x,y) = y – x – 2x2 - 2xy – y2

Método Univariacional Estratégia de caminhar “morro acima”

Função objetivo: F(x1,x2) Máximo local Máximo global x1

Início: ponto coordenadas (parâmetros) aleatórias X2=valor aleatório entre c e d X1=valor aleatório entre a e b

Determina direção de busca: exemplo x2=x2+0,3; x1=x1 Função objetivo melhorou? Não, então tenta no outro sentido.

F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido

F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido

F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido

F.O melhorou? Não, então volta para o ponto anterior...

...e muda a direção de busca. F.O melhorou? Sim, então continua no mesmo sentido

E assim segue até encontrar um ponto em que não existe direção de busca que melhore o valor da FO

Exemplo: f(X1,X2) = X12 + 8.(X1-X2) + X1.X2 + X22 Use o método univariacional para encontrar o máximo da função abaixo, a partir do ponto inicial (X1=-10 e X2=-10 f(X1,X2) = X12 + 8.(X1-X2) + X1.X2 + X22

Rosenbrock: Método um pouco mais eficiente Direção de busca é a que potencialmente dará maior incremento da FO Muito utilizado para calibração automática de modelos hidrológicos