Modelos Teóricos Contínuos de Probabilidade Aula 7

Variável aleatória contínua unidimensional Conceito: “Se uma variável aleatória x assume todos os valores de um intervalo real, então x é denominada variável aleatória contínua”. Processos definidos a partir da contagem conduzem a modelos que envolvem variáveis aleatórias, enquanto os processos definidos a partir de medidas conduzem aos modelos que envolvem variáveis aleatórias contínuas.

Função densidade de probabilidade No caso de uma variável contínua não podemos mais atribuir um único valor para x. Assim termos que verificar qual é a função pra esse valor. A região compreendida sob o gráfico da função e o eixo x é igual a 1. A probabilidade é dada pela área da f(x) x f(x)

Função densidade de probabilidade Exemplos: Considere o intervalo real [2,10] e a função que associa a cada ponto deste intervalo sua distância ao ponto 2. Calcule a probabilidade de: Função de densidade de probabilidade: x f(x) 1/8 1 2 3 4 5 6 7 8

Função densidade de probabilidade Exemplo 2: Considere a variável aleatória x que assume valores no intervalo [0,5] com a seguinte função densidade de probabilidade: Construa o gráfico da função f e calcule: x f(x) 0,4 5

Função densidade de probabilidade Porém outras funções, assim como o valor esperado, a variância e desvio padrão, só podem ser calculadas através do calculo da integral, o torna o processo bastante complicado. Assim para os principais casos, foram construídas tabelas que apresentam esses valores de probabilidade prontos.

Modelos Teóricos Contínuos de Probabilidade Distribuição Normal de Probabilidade Características do modelo: Suponha que uma variável x, com média µ e desvio-padrão , apresenta-se as seguintes características: Valores da variável aleatória x mais próximos da média ocorrem com maior frequência. Valores da variável aleatória x simétricos em relação à média ocorrem com mesma frequência. A região definida pelo gráfico da função e pelo eixo x tem área unitária (=1)

Modelos Teóricos Contínuos de Probabilidade Descrição do modelo: . x f(x) Distribuição Normal – (Gauss)

Cálculo da Probabilidade A probabilidade de p[a<x<b] é a área da região sob a curva definida pelo intervalo ]a,b[. Para superar essa dificuldade, uma particular distribuição normal z com média 0 e variância = 1, foi construída. x f(x) a b x f(z) z

Cálculo da Probabilidade Exemplo: Calcule a probabilidade de a variável normal padrão z assumir valores entre 0 e 1. Olhando na tabela z=1,00 é 0,3413 x f(z) 1

Cálculo da Probabilidade Exercícios Calcule para a distribuição z normal padrão: P(z<2,00) P(-2,00<z<3,00) P(2<z<2,5) P(-3,27<z<-1,74)

Cálculo da Probabilidade Qualquer distribuição normal pode ser transformada em distribuição z (valor esperado=0 e variância=1) utilizando a seguinte relação: Por exemplo: Uma variável aleatória x normal apresenta média 20 e desvio-padrão3. Calcule p(20<x<23). Usando a mudança de variável: Portanto, esse caso equivale a calcular p(0<z<1) = 0,3413.

Cálculo da Probabilidade Exercício: Se a variável aleatória x admite distribuição normal com média 30 e desvio padrão 3, calcule: P(30<x<36) P(x>38) P(32<x<35)

Cálculo da Probabilidade Exercício: O levantamento do custo unitário de produção de um item da empresa revelou que sua distribuição é normal com média 50 e desvio-padrão 4. Se o preço de venda unitário é de 60, qual a probabilidade de uma unidade desse item escolhida ao acaso ocasionar prejuízo a empresa? Resposta: 0,62%

Cálculo da Probabilidade Exercício: Os balancetes semanais realizados em uma empresa mostram que o lucro realizado distribui-se normalmente com média R$48.000,00 e desvio padrão de R$8.000,00. Qual a probabilidade de que: Na próxima semana o lucro seja maior que R$50.000? Na próxima semana o lucro esteja entre R$40.000,00 e R$45.000,00? Na próxima semana haja prejuízo?

Aproximação da Binomial pela Normal Se y admite distribuição binomial de probabilidade, mas o número n de repetições do experimento E é grande (n>30), com a probabilidade p de sucesso próximo a 0,5, podemos , com uma pequena margem de erro, calcular as probabilidades da distribuição binomial y através de um distribuição normal x, com as seguintes condições: 1. 2. 3. A probabilidade binomial p[k=ki] corresponderá a: p[ki-0,5<x<ki+0,5]

Aproximação da Binomial pela Normal Exemplo: Um exame do tipo teste é constituído de 50 questões, cada uma delas com quatro respostas alternativas, das quais apenas uma é correta. Calcule a probabilidade de que um aluno, respondendo ao acaso as questões, acerte exatamente 15 questões. Solução: Sucesso: acertar questão, Fracasso: não acertar. (A - p(A)=1/4; N – p(N)=3/4). N= 50 e k =15.

Aproximação da Binomial pela Normal Aproximando pela normal: Com média: E desvio padrão: Essa probabilidade pode ser obtida pela distribuição normal: Transformando para a normal z:

Aproximação da Binomial pela Normal Exercício: Um candidato, pela última pesquisa, detém 20% dos votos de uma região. Calcule a probabilidade de que em um conjunto de 200 eleitores selecionados ao acaso nesta região ele obtenha: Exatamente 45 votos. Resp.: 4,59%