ÁLGEBRA DE BOOLE

ÁLGEBRA DE BOOLE Álgebra é uma parte da matemática que trata da manipulação de números e de símbolos representativos de quantidades físicas usando operações aritméticas. Foi GEORGE BOOLE (1815 - 1864) matemático inglês, quem elaborou (1854) uma “Álgebra” a partir da lógica. GEORGE BOOLE fez a lógica totalmente SIMBÓLICA. Elaborou a análise matemática da lógica de dois valores (binária).

ÁLGEBRA DE BOOLE A álgebra booleana é definida em um conjunto “S” onde só se tem dois elementos: 0 e 1 , sobre os quais podem ser executadas três operações. PRODUTO BOOLEANO. SOMA BOOLEANA. INVERSÃO BOOLEANA.

OPERADORES + S = A B FUNÇÃO “E” E “E” indica interligação de chaves em série. Representada pelo a b S = A + B OU FUNÇÃO “OU” INCLUSIVO “OU” indica interligação de chaves em paralelo. Representada pelo + a b S = A FUNÇÃO INVERSORA NÃO A “barra” sobre a letra indica inversão de função. a

POSTULADO “E” A . B S = A . B A B S 1 b a S V 1 1 1 a a 1 a a a a 1 b a S V 1 1 1 a a 1 a a a a a . b a b S = A . B

POSTULADO “OU” A + B S = A + B A B S 1 1 b a V S 1 1 1 1 a a a 1 1 a a 1 1 b a V S 1 1 1 1 a a a 1 1 a a a 1 a + b a b S = A + B

PRINCÍPIO DA DUALIDADE TODO E QUALQUER RESULTADO VERDADEIRO, EXPRESSO EM FÓRMULAS, POSTULADOS E TEOREMAS DA ÁLGEBRA DE BOOLE, PERMANECE VERDADEIRO SE + E SÃO INTERCAMBIADOS, SIMULTANEAMENTE AO INTERCÂMBIO DE 0 E 1 . + SINAL DE SOMA LÓGICA SINAL DE PRODUTO LÓGICO

PRINCÍPIO DA DUALIDADE FUNÇÃO ? A B S 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a 1 a 1 1 a a a 1 a a a b a+b a.b S = A . B S = A + B

LEIS/PROPRIEDADES DA ÁLGEBRA BOOLEANA

PROPRIEDADE DISTRIBUITIVA PRIMEIRO CASO: “E” EM RELAÇÃO A “OU” a . ( b + c ) (a . b ) + ( a . c )

PROPRIEDADE DISTRIBUITIVA SEGUNDO CASO: “OU” EM RELAÇÃO A “E” a + ( b . c ) (a + b ) . ( a + c )

PROPRIEDADE DISTRIBUITIVA a . ( b + c ) PRIMEIRO CASO: “E” EM RELAÇÃO A “OU” (a . b ) + ( a . c ) a + ( b . c ) SEGUNDO CASO: “OU” EM RELAÇÃO A “E” (a + b ) . ( a + c )

PROPRIEDADE ASSOCIATIVA ASSOCIAÇÃO SERIE a . ( b . c ) = ( a . b) . c ASSOCIAÇÃO PARALELA a + ( b + c ) = ( a + b) + c

PROPRIEDADE COMUTATIVA ASSOCIAÇÃO PARALELA a + b = b + a ASSOCIAÇÃO SERIE a . b = b . a

TEOREMAS 1. SOMA LÓGICA DE UM ELEMENTO COM “1” E SEU PRODUTO LÓGICO COM “0” 2. SOMA E PRODUTO LÓGICOS DE DOIS ELEMENTOS IGUAIS. 3. TEOREMA DO ABSORVIMENTO. 4.TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO 5. TEOREMA DE DE MORGAN

TEOREMA ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a + 1 = 1 a + 1 .1 =1 a + 1 . =1 =1 1 . a 1. SOMA LÓGICA DE UM ELEMENTO COM “1” E SEU PRODUTO LÓGICO COM “0” SOMA LÓGICA DE UM ELEMENTO COM “1” 1.1 ( ) a + 1 = 1 a ? 1 1 a ? ( ) a + 1 ( ) .1 =1 ( ) a + 1 . =1 =1 a + a a ( 1 . ) a + a P.Dualidade a + = 1

TEOREMA ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a . 0 = 0 a .0 + 0 =0 a . 0 + =0 =0 + a . 1. SOMA LÓGICA DE UM ELEMENTO COM “1” E SEU PRODUTO LÓGICO COM “0” PRODUTO DE UM ELEMENTO COM “0” 1.2 ( ) a . 0 = 0 a ( ) a .0 ( ) + 0 =0 a ( ) a . 0 + =0 =0 a . a a ( + ) a . a . a = 0 P.D

SOMA LÓGICA DE UM ELEMENTO COM “1” PRODUTO DE UM ELEMENTO COM “0” TEOREMA 1. SOMA LÓGICA DE UM ELEMENTO COM “1” E SEU PRODUTO LÓGICO COM “0” SOMA LÓGICA DE UM ELEMENTO COM “1” PRODUTO DE UM ELEMENTO COM “0” ( ) ( ) a + 1 = 1 a . 0 = 0 ( ) ( ) a + 1 ( ) .1 =1 a .0 ( ) + 0 =0 ( ) a + 1 . ( ) a . 0 + =1 =0 =1 =0 a + a a . a a ( 1 . ) a ( + ) a + a . a + a = 1 a . a = 0

TEOREMA ( ) a . a ( ) ( ) ( ) ( ) a + a = a a + a .1 =a a + a . =a =a 2. SOMA E PRODUTO LÓGICOS DE DOIS ELEMENTOS IGUAIS. SOMA LÓGICA DE DOIS ELEMENTOS IGUAIS 2.1 ( ) a + a = a P.D a . a 2.2 ( ) a + a ( ) .1 =a ( ) a + a . =a =a a + a a + a ( . ) a + = a

TEOREMA a . ( a + b ) = a ( a . a ) + ( a . b ) = a = a a + ( a . b ) 3. DO ABSORVIMENTO. 3.1 “E” em relação a “OU” P.D a . ( a + b ) = a ( a . a ) + ( a . b ) = a = a a + ( a . b ) a . ( 1 + b ) = a . 1 = a 3.2 “OU” em relação a “E” a + ( a . b ) = a

TEOREMA a . ( a + b ) = a . b ( a . a ) + ( a . b ) = a . b = a . b AV5 4. DA SUPERPOSIÇÃO 4.1 “E” em relação a “OU” a . ( a + b ) = a . b ( a . a ) + ( a . b ) = a . b = a . b + ( a . b ) = a . b 4.2 “OU” em relação a “E” P.D a + ( a . b ) = a + b

TEOREMA AV6 (1+b). (a+1) ( ) a + a = 1 a . b a + b = 1. 1 = 1 = 1 5. DE DE MORGAN (1+b). (a+1) ( ) a + a = 1 a . b 5.1 a + b = 1. 1 = 1 = 1 x + x = 1 (a + b) (a + b) + = 1 5.2 a . b = ( a + b ) z + z = 1 ( ) (a + b) + a . b y = 1 (a+b ( a+b ( y + a ) . ( y + b ) + = 1 + a ). + b ) P.D (a + a + b) . (a + b + b)

POSTULADOS/TEOREMASl/LEIS/PROPRIEDADES 0 + 0 = 0 0 = 1 0 + 1 = 1 1 = 0 1 + 0 = 1 a + a = a 1 + 1 = 1 a . a = a a + b = b + a a + ( a . b ) = a a + a = 1 a . ( a + b ) = a a + 0 = a a + ( a . b ) = a + b a + 1 = 1 a . ( a + b ) = a . b 0 . 0 = 0 0 . 1 = 0 ( a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c 1 . 0 = 0 ( a . b ) . c = a . ( b . c ) = a . b . c 1 . 1 = 1 a . b = b . a a . b = a + b a . a = 0 a . 0 = 0 a + b = a . b a . 1 = a

Dúvidas

TEOREMA ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a . a = a a . a +0 =a a . a + =a =a + a . 2. SOMA E PRODUTO LÓGICO DE DOIS ELEMENTOS IGUAIS. PRODUTO LÓGICO DE DOIS ELEMENTOS IGUAIS 2.2 ( ) a . a = a ( ) a . a ( ) +0 =a ( ) a . a + =a =a a . a a ( + ) a . a . 1 = a

POSTULADOS/FORMULAS/TEOREMAS ( a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c 0 + 0 = 0 0 = 1 0 + 1 = 1 1 = 0 1 + 0 = 1 a + a = a 1 + 1 = 1 a . a = a a + b = b + a a + ( a . b ) = a a + a = 1 a . ( a + b ) = a a + 0 = a a + ( a . b ) = a + b a + 1 = 1 a . ( a + b ) = a . b 0 . 0 = 0 0 . 1 = 0 ( a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c 1 . 0 = 0 ( a . b ) . c = a . ( b . c ) = a . b . c 1 . 1 = 1 a . b = b . a a . b = a + b a . a = 0 a . 0 = 0 a + b = a . b a . 1 = a