AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316

PROPAGAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO

Propagação da incerteza de medição Considere w = w(x,y,z) x, y e z são medidas n vezes As variâncias e médias de x, y e z são conhecidas Com os n valores das grandezas de entrada, calcula-se os n valores da grandeza de saída, wi = w(xi,yi,zi) Então a média da grandeza de saída pode ser estimada:

Propagação da incerteza de medição (continuação) Expandindo wi = w(xi,yi,zi) em série de potências, ou série de Taylor, em torno dos valores das médias:

Propagação da incerteza de medição de funções quase lineares Se a primeira derivada é aproximadamente uma constante, então a segunda deriva é aproximadamente zero A primeira derivada será constante se a função for linear ou afim Então de {48}:

Propagação da incerteza de medição de funções quase lineares (continuação) De {49} e {51} e elevando ao quadrado:

Propagação da incerteza de medição de funções quase lineares (continuação) Aplicando o somatório em n a equação {54}: Dividindo por (n-1) :.

Propagação da incerteza de medição de funções quase lineares (continuação) Da definição de variância: Da definição de incerteza: 8

Propagação da incerteza de medição de funções quase lineares (continuação) Da definição de variância: {58} é a incerteza padrão de w no caso em que as três (3) grandezas de entrada (x,y,z) atendem as hipóteses abaixo : Hipótese 1: A média das grandezas de entrada é representativa Hipótese 2: Primeira derivada é aproximadamente constante Hipótese 3: Hipótese 4: Independência entre os elementos de uma mesma variável (estado estacionário, variáveis não auto-correlacionadas). 9

Propagação da incerteza de medição de funções quase lineares (continuação) Repetindo {57}: Se as variáveis x, y e z são estatisticamente não correlacionadas ou 10

Propagação da incerteza de medição de funções de variáveis não correlacionadas Reescrevendo {60}: Portanto o desvio padrão (incerteza) de w é: {62} é a incerteza padrão de w no caso em que as NE grandezas de entrada atendem as hipóteses abaixo: Hipótese 1: A média das grandezas de entrada é representativa Hipótese 2: Primeira derivada é aproximadamente constante Hipótese 3: Hipótese 4: Independência entre os elementos de uma mesma variável Hipótese 5: Grandezas de entrada não correlacionadas.

Hipóteses para a avaliação da incerteza padrão combinada (uc) Comportamento do mensurando fracamente não-linear Erro sistemático e sua incerteza conhecidos A média aritmética corrigida é o RB do mensurando Independência entre os elementos de uma amostra (estado estacionário, não auto-correlacionadas) As grandezas de entrada (não) correlacionadas.

Porque a incerteza combinada de uma grandeza de entrada é dada pelo produto interno do vetor formado pelas incertezas tipo A e tipo B? Assuma o modelo preliminar para a variável X = x Acrescente a x contribuições (uma para cada incerteza tipo B) com média 0 (zero) e desvio padrão uBi: X = x + B1 + B2 + ... + BNB com Bi ~ (0,σi2)=(0, uBi 2) Por ser um modelo linear, com soma de parcelas com coeficientes iguais a 1, não há correlação entre as variáveis x, B1, B2, ... e BNB De {58}: .

Demonstração da fórmula de Welch-Satterthwaite A variância de um mensurando (y) com NE=m grandezas de entrada (xi) não correlacionadas é dada por: A variância da variância do mensurando (w) é:

Demonstração da fórmula de Welch-Satterthwaite (cont.) Admitindo que as incertezas não são correlacionadas e operando o lado direito de {64}: Admitindo que as grandezas de entrada (xi) tem PDF aproximadamente Gaussiana:

Demonstração da fórmula de Welch-Satterthwaite (cont.) Substituindo {67} em {66} : Admitindo que a grandezas de saída (wi) tem PDF aproximadamente Gaussiana, de {67}:

Demonstração da fórmula de Welch-Satterthwaite (cont.) Substituindo {69} em {68} : Ou melhor c. q. d.

Avaliação da Incerteza Expandida Hipóteses adicionais: Grandezas de entrada independentes Incertezas independentes Grandezas de entrada tem PDF t-Student Grandeza de saída tem PDF t-Student Conhecida a PA (Probabilidade de Abrangência) É possível avaliar os graus de liberdade efetivos (veff) pela equação W-S (Welch-Satterthwaite).

FATOR DE ABRANGÊNCIA: t = k Se a PDF do mensurando for t-Student, conhecido o Probabilidade de Abrangência: No excel: k = t = invt( 1-PA ; veff) MATLAB: k = t = -tinv( (1-PA)/2 , veff) Lembrando das hipóteses para validade da fórmula de W-S (Welch-Satterthwaite): Grandezas de entrada não correlacionadas Incertezas não correlacionadas Grandezas de entrada tem PDF t-Student Grandeza de saída tem PDF t-Student.

k (fator de abrangência) para vários GL (graus de liberdade) e PA (probabilidade de abrangência) GL↓|PA 50,00% 68,27% 90,00% 95,00% 95,45% 99,00% 99,80% 1 1,00 1,84 6,31 12,71 13,97 63,66 318,31 2 0,82 1,32 2,92 4,30 4,53 9,92 22,33 3 0,76 1,20 2,35 3,18 3,31 5,84 10,21 4 0,74 1,14 2,13 2,78 2,87 4,60 7,17 5 0,73 1,11 2,02 2,57 2,65 4,03 5,89 6 0,72 1,09 1,94 2,45 2,52 3,71 5,21 7 0,71 1,08 1,89 2,36 2,43 3,50 4,79 8 1,07 1,86 2,31 2,37 3,36 4,50 9 0,70 1,06 1,83 2,26 2,32 3,25 10 1,05 1,81 2,23 2,28 3,17 4,14 20 0,69 1,03 1,72 2,09 2,85 3,55 30 0,68 1,02 1,70 2,04 2,75 3,39 40 1,01 1,68 2,06 2,70 50 2,01 2,05 2,68 3,26 60 1,67 2,00 2,66 3,23 80 1,66 1,99 2,03 2,64 3,20 120 1,98 2,62 3,16 150 2,61 3,15 250 1,65 1,97 2,60 3,12 500 0,67 1,96 2,59 3,11 ∞ 1,64 2,58 3,09

Incerteza na Reconciliação de Dados e Covariância Covariância (“covariance”) dos vetores x e y é: Se VM é vetor das vazões medidas e VR é o vetor das vazões reconciliadas de um balanço hídrico, as matrizes variâncias covariâncias dessas variáveis são U2M e U2R e as relações entre elas são:

Demonstração: O problema de reconciliação de dados de um balanço hídrico é dado por: A solução analítica desse problema quadrático pode ser obtida aplicando o método dos Multiplicadores de Lagrange: c. q. d.

Demonstração: Por definição: Mas: Então:

Demonstração: Lembrando que a matriz de sensibilidade é constante: c. q. d.

Avaliação da incerteza De acordo com o VIM a incerteza é avaliada, NÃO é calculada, nem determinada, muito menos estimada. O que se estima é a grandeza de medição. A incerteza é avaliada.