5. ESCOAMENTOS INTERNOS 5.1. Introdução Neste capítulo serão estudados os efeitos da viscosidade em escoamentos internos e incompressíveis. Compreende: Escoamento em: tubos circulares dutos não circulares canais abertos (Hidráulica) O escoamento de fluidos viscosos se dá em dois regimes: laminar e turbulento.

O parâmetro empregado para identificar o regime de escoamento é o número de Reynolds. Quando essa razão torna-se grande, é esperado que as forças de inércias predominem sobre as forças viscosas. Essa situação ocorre em mudanças de geometria repentinas (perdas localizadas). Não é o caso de tubos longos ou canis abertos, onde os efeitos viscosos predominam (perdas distribuídas). Tubos Re < 2000  escoamento laminar Canal largo Re < 1500  escoamento laminar

5.2. Escoamento de Entrada e Escoamento Totalmente desenvolvido Camada limite V = cte. V Camada limite y  u = u(y) x Camada Limite laminar   espessura da camada limite (região na qual ocorre 99% da variação da velocidade)  = (x)

Camada limite turbulenta C. L. laminar C. L. turbulenta V V y u = u(y) T Sub camada laminar u = u(y) x transição

Estabelecimento de um escoamento laminar em um tubo V = cte. T T Vmáx

Núcleo sem efeitos viscosos; du/dy = 0.

Estabelecimento de um escoamento turbulento V = cte. T Escoamento turbulento Vmáx T Escoamento laminar Sub camada laminar

5.3. Escoamento Laminar em um Tubo 5.3.1. Abordagem elementar Hipótese: regime laminar (totalmente desenvolvido), regime permanente e incompressível. Um volume elementar do fluido é mostrado na Fig. 7.4.

Se o diâmetro é constante em um escoamento permanente e incompressível, é sinal que a aceleração em x é nula. Assim, considerando a 2ª Lei de Newton, vem: dividindo por  r,

ou:  Escoamento laminar ou turbulento Para escoamento laminar unidimensional, considera-se a Lei da viscosidade de Newton. Onde y = 0 na parede e cresce para dentro do escoamento.

Como no problema em estudo a variável é o raio (r), há necessidade de se proceder a uma mudança de variável. Com estas considerações a Lei de viscosidade de Newton, passa a ser escrita como: Na Eq. anterior, vem: u = u(r)  não depende de “x” (p + h) = p*  pressão de movimento p* = p*(x)  não depende de “r”

Separando as variáveis e integrando, Considerando a condição de contorno: p/ r = r0  u = 0 (parede do tubo  condição de aderência).  perfil parabólico. Escoamento de Poiseuille. Jean L. Poiseuille (1799 – 1869).

5.3.2 Resolvendo as equações de Navier–Stokes 5.3.3. Quantidades do escoamento em um tubo Velocidade média V Pelo teorema do valor médio, r0 r dr dA = 2r dr

No caso de tubos horizontais h = Cte.  dh = 0. Para escoamento totalmente desenvolvido, de modo que:

p p - p L 1 2 dx p + dp x p p  queda de pressão.

Assim, para tubos horizontais ou, explicitando a queda de pressão A vazão será de:  Eq. de Hagen-Poiseuille. Para tubos inclinados basta substituir “p” por “p + h”.

A velocidade máxima ocorre no centro do tubo (r = 0). Ou seja: Foi visto que:

Na parede do tubo, r = r0 e  = 0, de modo que: No caso do escoamento em tubos, foi mostrado que a tensão de cisalhamento é dada por: Na parede do tubo, r = r0 e  = 0, de modo que: 0  r x  = (r)  distribuição linear.

Seja: f  fator de atrito (tensão de cisalhamento adimensional). Com: Considerando que, p  queda de pressão (perda). Tem-se:  Eq. de Darcy-Weisbch Henri P. G. Darcy (1803 – 1858); Julius Weisbach (1806 – 1871).

Combinado a Eq. abaixo com a Eq. de Darcy-Weisbach Portanto, para o escoamento laminar, tem-se: Observa-se, ainda, que para o escoamento laminar a perda de carga varia linearmente com a velocidade.

Exemplo 7.1 Um tubo horizontal de diâmetro pequeno é conectado a um reservatório, como mostra a Fig. E7.1. Se 6600 mm3 são capturados na saída em 10 s, estime a viscosidade da água. FIGURA E7.1

Dados:  = 6600 mm3 = 6,60·10-6 m3, t = 10 s, L = 1,20 m, D = 1 mm = 10-3 m, H = 2,0 m. Solução: Escoamento viscoso  Equação da Energia. = 0 = 0 = 0 = 0 = 0

Hagen – Poiseuille  Re < 2000  escoamento laminar. OK!

Exemplo 7.2 Obtenha uma expressão para a distribuição de velocidades entre tubos horizontais e concêntricos, no caso de um escoamento permanente, incompressível e totalmente desenvolvido (Fig. E7.2). (regime laminar) x r2 r1 u(r) FIGURA E7.2

Solução: Considerando a Eq. da continuidade mas: v = w = 0  dr x r2 r1 dx dA = 2r dr Considerando a Eq. da continuidade mas: v = w = 0  Ou seja: u = cte. em x. Então: ax = 0.

Da Lei de movimento de Newton, r dr dx integrando, Considerando a Lei da viscosidade de Newton (Laminar)

integrando, 1 2 2  1 

De 2 O que leva a:

Para se obter a vazão, integra-se a distribuição de velocidades

= 0

Figura 7.5 Escoamento totalmente desenvolvido 5.4. Escoamento Laminar entre Placas Paralelas 5.4.1. Abordagem elementar Incompressível; permanente; totalmente desenvolvido. Escoamento: U Figura 7.5 Escoamento totalmente desenvolvido

Considere a Lei de movimento de Newton na direção “x”. Uma vez que “d(p + h)/dx = Cte.” em y, vem: integrando,

mas, Lei de Newton da viscosidade. integrando, Levando em conta as condições de contorno, p/ y = 0  u = 0 e B = 0. p/ y = a  u = U. Então:

Escoamento com: U  0 U = 0 Escoamento de Couette. Escoamento de Poiseuille.

5.4.2. Integrando as equações de Navier–Stokes

5.4.3. Situação de escoamento simplificado A distribuição de velocidades entre placas fixas é obtida fazendo U = 0. A vazão é obtida da equação: dA = 1dy (unidade de largura)

Por outro lado, a velocidade média é dada por: Para o caso de placas horizontais, h = Cte. e: de modo que: A velocidade máxima é encontrada a partir da distribuição de velocidades.

Logo, a velocidade máxima ocorre no meio da distância entre as placas. Assim, a velocidade média é

A tensão de cisalhamento pode ser encontrada Considerando as condições de contorno, p/ y = 0   = 0. p/ y = a   = 0. Uma vez que  = (y)  é uma distribuição linear, vem: 0 a  y x

Na parede, na qual y = 0, resulta: A queda de pressão em um comprimento L de um trecho horizontal é Considerando o fator de atrito (tensão de atrito adimensional), introduzida no item 5.3.3, vem: mas, então

Perda de carga  Eq. de Darcy-Weisbch

Exemplo 7.3 Água a 15° C escoa com um número de Reynolds de 1500, entre placas horizontais de 500 mm de largura, como mostra a Fig. E7.3. Calcule: a) a vazão, b) a tensão de cisalhamento na parede, c) a queda de pressão sobre 3 m, e d) a velocidade em y = 5 mm. 3,00 m 13 mm Figura E7.3

Dados: T Re b L y a 15º 1500 500 3,00 5,00 13,00 C / mm m   0,500 0,005 0,013 Solução:  = 999,1 kg/m3; Água a 15° C   = 1,128·10-3 kg/(m s). a)

b) c) d)

Exemplo 7.4 Encontre uma expressão para o gradiente de pressão que resulte em uma tensão de cisalhamento igual a zero na parede inferior de duas placas paralelas, na qual y = O; esboce também os perfis de velocidade para uma velocidade U da placa superior, com vários gradientes de pressão. Suponha placas paralelas horizontais. y x U U Figura E7.4

Solução: Placas horizontais, logo dh/dx = 0 e, A tensão de cisalhamento é dada pela Lei de Newton.

 = 0 em y = 0 , então du/dy = 0 em y = 0 (  0) e: de modo que, Se dp/dx é maior que esse valor, a inclinação du/dy, em y = 0 é negativa e assim, a velocidade u será negativa perto de y = 0. Se dp/dx = 0, observa-se que resulta uma distribuição de velocidades linear, isto é,

Se dp/dx é negativo, u(y) é maior que a distribuição linear em cada localização y, pois (y2 – ay) é uma quantidade negativa para todos os y de interesse.

5.5. Escoamento Laminar entre Cilindros em Rotação

5.6. Escoamento Turbulento em um Tubo O estudo de um escoamento turbulento totalmente desenvolvido em um tubo circular é de substancial interesse em escoamentos reais. Na prática a maioria dos escoamentos se dão em tubos circulares. Laboratórios  Escoamento laminar Re  40.000. Na prática  sob condições de operação padrão Re  4.000 Esc. turbulento o escoamento oscila ao acaso entre laminar e turbulento. 2.000 < Re < 4.000  Em termos práticos: Re = 2.000 – limite inferior para o escoamento turbulento Re = 4.000 – limite superior para o escoamento laminar.

Considere por exemplo, água a 20º C escoando em um tubo com diâmetro de 5 mm. Água a 20º C   = 10-6 m2/s. Na maioria das situações de engenharia o regime de escoamento é turbulento. Em um escoamento turbulento todos os três componentes da velocidade são diferentes de zero. Com os componentes medidos em função do tempo, gráficos semelhantes aos da Figura 7.7 são obtidos para o escoamento em um tubo em que u, v e w são os componente da velocidade nas direções x, r e , respectivamente.

Figura 7.7 Componentes da velocidade Raramente existe algum interesse (para o engenheiro) nos detalhes das flutuações aleatórias dos componentes da velocidade. Assim, é introduzido a noção de uma quantidade média no tempo.

Tomando o componente u como exemplo, a média temporal é definida como: Onde “T” deve ser suficientemente grande, para eliminar toda a dependência do tempo. Em um escoamento totalmente desenvolvido em um tubo,

Exemplo 7.7 Mostre que para um escoamento turbulento. Solução: a) onde,

b) Tomando a média temporal da derivada du/dy, Já que T é constante. Então:

Figura 7.8 Escoamento turbulento em um tubo horizontal 5.6.1. Equação diferencial Considere um escoamento turbulento em um tubo horizontal Figura 7.8 Escoamento turbulento em um tubo horizontal

u’  flutuação da velocidade em x. Partículas de fluido movendo através da área elementar dA, troca q.d.m. com as camadas adjacentes. O componente em x da força devido ao movimento aleatório de uma partícula de fluido passando através da área dA é: u’  flutuação da velocidade em x. v’dA  fluxo de massa através do elemento de área. Veja que: dA v’ Pela continuidade, um v’ (+), produz um u’ (-). Portanto u’v’ (-). u’

Dividindo por dA,  tensão de cisalhamento turbulenta. Cuja média temporal é: Observe que: (u = Cte. em ). (v = Cte. em ). Não altera a energia da camada adjacente, portanto o cisalhamento é nulo, (mesma velocidade em ).

A tensão de cisalhamento total em uma localização particular é devido à viscosidade e a troca de quantidade de movimento descrita. Já foi mostrado que: Viu-se que a tensão de cisalhamento é linear, tanto para o escoamento turbulento, quanto para o escoamento laminar. Figura 7.9.

Figura 7.9 Distribuição da tensão de cisalhamento u’ = 0 na parede, portanto: na parede. Fora da sub-camada laminar (viscosa)

Considerando o raio do tubo no lugar de y, vem: A primeira tentativa para exprimir a tensão de cisalhamento no escoamento turbulento foi feira por Boussinesq, que, seguindo o modelo do escoamento laminar, escreveu:

Ou seja: De modo que: Prandtl introduziu o “comprimento de mistura” “lm” e sugeriu que a variação de velocidade sofrida por uma partícula fluida que se move na distância lm é proporcional a u’ e v’. Isto é:

Com este raciocínio e associando o coeficiente de proporcionalidade ao comprimento de mistura, vem: De modo que: Comparando as propriedades do perfil de velocidades na turbulência com as variações de lm em função de y, Von Kármán (1936) propôs a seguinte relação:

Onde Kuv é uma constante (adimensional) da turbulência. Por outro lado, medidas experimentais demonstram que Kuv não é estritamente constante.

Exemplo 7.8 Note que na Fig.7.9b há uma região perto da parede onde o cisalhamento turbulento está próximo de seu máximo e é relativamente constante, como mostra a Fig. E7.8, e o cisalhamento viscoso é bastante pequeno. Suponha que o comprimento de mistura seja diretamente proporcional a distância da parede. Com essa hipótese, mostre que a distribuição de velocidades é logarítmica nessa região perto da parede.

Figura E7.8 Solução: Cisalhamento viscoso desprazível, então

Por outro lado, viu-se que: Por hipótese, o cisalhamento turbulento é relativamente constante, ou seja: Lembrando que o comprimento de mistura é tomado diretamente proporcional a distância da parede, então: substituindo, vem extraindo a raiz quadrada,

separando as variáveis, integrando, resulta: O que mostra que um perfil logarítmico é previsto para a região de tensão de cisalhamento turbulento constante.

Figura 7.10 a) Superfície lisa b) Superfície rugosa 5.6.2. Perfil de velocidades O perfil da média da velocidade no tempo é sensível a altura média da rugosidade “e”. Vide Fig. 7.10. Figura 7.10 a) Superfície lisa b) Superfície rugosa

Como observado no item anterior, o cisalhamento laminar é significativo apenas perto da parede, na subcamada viscosa com espessura . Se a espessura  é suficientemente grande, ela sobrepõe os elementos de rugosidade da parede de tal forma que eles têm efeito desprezível sobre o escoamento; é como se a parede fosse lisa. Tal condição é muitas vezes citada como hidraulicamente lisa. Por outro lado, se a subcamada viscosa é relativamente fina, os elementos de rugosidade projetam-se para fora dessa camada e a parede é considerada hidraulicamente rugosa. A rugosidade relativa “e/D” e o número de Reynolds, podem ser usados para determinar se um tubo é liso ou rugoso. Como u’v’ não pode ser determinado analiticamente, não se tem uma equação analítica para a distribuição de velocidades no escoamento turbulento. O primeiro método para expressar empiricamente a distribuição de velocidades, envolve escoamentos com paredes lisas e escoamentos com paredes rugosas.

Se o escoamento tem paredes lisas, como na Fig. 7 Se o escoamento tem paredes lisas, como na Fig. 7.10a, identifica-se duas regiões do escoamento: a região da parede e a região externa. Na região da parede, a velocidade e o comprimento característico são:  velocidade de atrito e  comprimento de viscosidade. Observe que:

Expressões empíricas para o perfil de velocidades Tubos lisos: Subcamada viscosa. No intervalo 5 < uy/ < 30 (zona intermediária), os dados experimentais não se ajustam a nenhuma das curvas anteriores, mas unem as duas curvas como mostra a Fig. 7.11.

Figura 7.11 Relações empíricas para o esc. Turbulento a) turbulento liso

A subcamada viscosa tem espessura . É na subcamada viscosa que se imagina que a turbulência seja iniciada. Essa camada possui uma distribuição de velocidades média no tempo linear, mas instantaneamente a camada é altamente dependente do tempo. O limite externo da região da parede é completamente dependente do número de Reynolds, conforme mostrado. Para Reynolds baixo ele pode ser localizado perto de uy/ = 3000.

Tubos rugosos: Neste caso a subcamada viscosa não é importante, pois a turbulência inicia-se a partir dos elementos de rugosidade da parede que se projetam para fora desta subcamada, de forma que é necessário apenas um perfil logaritmo na região da parede. O comprimento característico passa a ser a altura média da rugosidade “e”. Assim: (região da parede) Na região externa o comprimento característico é r0, Fig. 7.11b.

Figura 7.11 Relações empíricas para o esc. Turbulento b) turbulento rugoso A deficiência de velocidade é normalizada com u. (região externa)

Na região de sobreposição Uma equação empírica adicional é necessária para completar o perfil para 0,15 < y/r0  1. A região da parede e a região externa sobrepõe-se, como mostrado na Fig. 7.11a. Na região de sobreposição (tubos lisos) (tubos rugosos) Para calcular umáx, deve-se conhecer u. Para calcular u, deve-se conhecer 0. 0 é calculado a partir do gradiente de pressão,

Ou do fator de atrito, Quando nem dp/dx, nem f são conhecidos, pode-se usar a lei de potência. (perfil da lei de potência) Com 5  n  10. Considerando esta distribuição de velocidades, a velocidade média é calculada.

Fazendo uma mudança de variável, com: Os novos limites de integração, serão: para r = 0  a = 1 para r = r0  a = 0.

Com r = r0(1 – a), vem:

A distribuição de velocidades é comparada com o perfil laminar na Fig Figura 7.12 Perfil de velocidades turbulento Tabela 7.1 Expoente n para tubos lisos Re 4·103 105 106 > 2·106 n 6 7 9 10

Por seu lado, n é relacionado ao fator de atrito f, pela expressão empírica

Observações: O perfil da lei de potência não pode ser usado para obter a inclinação na parede, pois sempre fornecerá: (não pode ser usado) Do mesmo modo, (não pode ser usado) 0 é calculado pela expressão:

Fatores de correção da energia cinética “”. Portanto,   1, para n > 7.

Exemplo 7.9 A água a 20°C escoa em um tubo de 10 cm de diâmetro a uma velocidade média de 1,6 m/s. Se os elementos de rugosidade têm 0,046 mm de altura, a parede é considerada lisa ou rugosa? Tome como referência a Fig.7.10 Dados: Ta n r D V e 20º 10-6 103 10 1,60 0,046 C m2/s kg/m3 cm m/s mm   0,100 0,000046 m

Solução: Da Fig. 7.11

 limite da subcamada viscosa (y = ) Da Tabela 7.1, para Re = 1,6·105 tem-se n  7,5. Assim Da definição do fator de atrito

A velocidade de atrito será E a espessura da subcamada viscosa e = 0,046 mm <  = 0,066 mm. Portanto, a superfície é lisa.

Exemplo 7.10 O tubo liso horizontal de 4 cm de diâmetro da Fig. E7.10 transporta 0,004 m3/s de água a 20º C. Usando o perfil da lei da potência, faça uma aproximação para: a) o fator de atrito, b) a velocidade máxima, c) a posição radial em que u = V, d) o cisalhamento na parede, e) a queda de pressão sobre um comprimento de 10 m e f) a velocidade máxima usando a Eq. 7.6.16. Figura E7.10

Solução: Dados: D Q Ta n r g L 4 0,004 20º 10-6 103 9,81 10 cm m3/s C kg/m3 m/s2 m 0,040   Solução: a) Cálculo do fator de atrito

Da Tabela 7.1, para Re = 1,27·105 tem-se n  7,5. Assim b) Cálculo da velocidade máxima c) Cálculo da posição radial em que u = V Ou, y = 0,49 cm.

Assim, a posição radial será: d) Cálculo do cisalhamento na parede e) Cálculo da queda de pressão

f) Cálculo da velocidade máxima usando a fórmula 7.6.16

5.6.3. Perdas em um escoamento totalmente desenvolvido em um tubo Considerando a Eq. Da energia em um tubo retilíneo, sem adição ou extração de energia, vem: Equação de Darcy-Weisbach n = 8 m = 3  n – m = 8 – 3 = 5 parâmetros .

D  [D] = [L]  L = D   [] = [ML-3]  M = D3 V  [V] = [LT-1]  T = DV-1 m = 3  3 grandezas de base [] = [ML-1T-1]   = D3D-1D-1V = DV [e] = [L]  e = D [l] = [L]  l = D [g] = [LT-2]  g = DD-2V2 = D-1V2 [hL] = [L]  hL = D

Estes parâmetros podem ser agrupados na seguinte relação funcional. É razoável supor que a perda de carga varie diretamente com o comprimento da tubulação, como também que a perda varie diretamente com o termo cinético (Bernoulli). Assim, chega-se a uma nova relação funcional. De modo que a perda de carga passe a ser escrita como:

 fator de atrito  diagrama de Moody Lewis F. Moody (1880 – 1953)  Eq. de Darcy-Weisbach

Figura 1 Superfície hidraulicamente lisa Figura 2 Superfície rugosa Tubos lisos e Tubos rugosos Subcamada viscosa v e Figura 1 Superfície hidraulicamente lisa v = espessura da subcamada viscosa e = altura das projeções rugosas Subcamada viscosa v e Figura 2 Superfície rugosa

Figura 3 Rugosidade artificial de Nikuradse Experiência de Nicuradse diâmetro resultante diâmetro original do tubo D - e e/2 e D Grãos de areia Superfície interna do tubo rugosidade resultante diâmetro dos grãos de areia Figura 3 Rugosidade artificial de Nikuradse (homogênea) = rugosidade relativa resultante e/D = rugosidade relativa adotada por Nikuradse

Figura 4 Diagrama de Nikuradse

Estes resultados ilustram as seguintes observações fundamentais. A diferença física entre o escoamento laminar e o turbulento é indicada pela variação da relação de f com Re, próximo do número de Reynolds crítico (2000). O regime laminar é caracterizado por uma única curva dada pela equação f = 64/Re, para qualquer rugosidade das superfícies. Donde se conclui que, em escoamentos laminares, a perda de carga é independente da rugosidade da superfície. No escoamento turbulento uma curva de f versus Re pode ser feita para cada rugosidade relativa, e/D, e do aspecto horizontal das curvas podemos concluir que para tubos rugosos a rugosidade é mais importante que o número de Reynolds, para determinar o módulo do fator de atrito.

Para números de Reynolds elevados os fatores de atrito de tubos rugosos se tornam constantes, dependentes inteiramente da rugosidade do tubo; e portanto, independentes do número de Reynolds. Da equação de Darcy podemos concluir que hL  V2 para escoamento com turbulência completa sobre superfícies rugosas. Embora a curva inferior tenha sido obtida de testes com tubos hidraulicamente lisos, muitos dos resultados de Nikuradse com tubos rugosos coincidem com esta curva para 5.000 < Re < 50.000. Nestes casos, a rugosidade fica submersa na subcamada viscosa e em geral não produz efeito sobre a perda de carga e o fator de atrito, que neste caso dependeriam somente dos efeitos de viscosidade.

A série de curvas para tubos rugosos diverge da curva do tubo liso à medida que o número de Reynolds cresce. Ou seja, tubos lisos, para baixos valores de Re, tornam-se rugosos para valores elevados de Re. Isto pode ser explicado pela espessura da subcamada viscosa que decresce à medida que o número de Reynolds cresce, produzindo uma exposição menor das protuberâncias ao escoamento turbulento e fazendo com que o tubo se comporte como se fosse um tubo rugoso.

Fórmulas Para o Cálculo das perdas em escoamento em tubos a) Fórmula de Darcy-Weisbach (universal) Escoamento laminar Fórmula de Poiseuille  Reta de Poiseuille Escoamento turbulento liso Fórmula de Prandtl-Von Kármàn

Escoamento turbulento liso Fórmula de Blasius Re  105. Reta de Blasius Escoamento turbulento rugoso Fórmula de Nikuradse

Figura 4 Diagrama de Nikuradse Retas de Nikuradse (horizontais) Reta de Blasius Reta de Poiseuille Figura 4 Diagrama de Nikuradse

Experiências de Colebrook - rugosidade equivalente Colebrook mostrou que os resultados das experiências de Nikuradse podem ser usados em medidas quantitativas de rugosidade de tubos comerciais, chegando-se a uma rugosidade “equivalente”. Ou seja, se o valor do fator de atrito (f), para um tubo comercial operando na região de escoamento turbulento rugoso, for conhecido, obtido com o auxilio da equação de Darcy-Weisbach, pode-se calcular um valor de “e”, equivalente à rugosidade artificial de Nikuradse, usando para tanto a equação proposta por ele para tubos rugosos. Assim, a altura da rugosidade “e”, para tubos de rugosidade artificial de areia, é usada como uma medida da rugosidade de tubos comerciais. Posteriormente, verificou-se que o valor desta rugosidade não dependia do diâmetro do tubo, mantendo-se aproximadamente constante.

Esse valor é como se fosse uma propriedade hidráulica do tubo e foi denominada “rugosidade equivalente”. Deste modo, a rugosidade indicada para tubos comerciais é na realidade, uma “rugosidade equivalente” à rugosidade artificial de grãos de areia introduzida por Nikuradse. Na região de transição, onde o fator de atrito (f) depende da rugosidade relativa (e/D) e do número de Reynolds (Re), os resultados dos ensaios com tubos de rugosidade artificial diferem dos resultados obtidos com tubos comerciais. Este fato fica evidente num gráfico baseado nas equações para tubo liso e tubo rugoso, onde resultados de ensaios com tubos comerciais e com tubos de rugosidade artificial são mostrados.

Rearranjando a expressão para tubos rugosos, e somando 2log(e/D) em ambos os lados da equação para tubos lisos, Tomando: como ordenada e, como abscissa, Colebrook obteve o interessante diagrama da Figura 5.

Figura 5 Função de Colebrook para a transição Tubo liso Figura 5 Função de Colebrook para a transição

Os resultados de Nikuradse com rugosidade artificial formam a curva tracejada na região de transição e os resultados dos ensaios com tubos comerciais formam a linha curva inferior. Visando resolver o problema, não só na região de transição, mas para todo o escoamento turbulento, Colebrook, a partir de uma associação por soma das equações para tubos lisos e para tubos rugosos, propôs a seguinte equação. a qual é a base para o diagrama de Moody.

Figura 6 Diagrama universal  = (D/k, Re)

Figura 7.13 Diagrama de Moody

As equações empíricas que seguem, representam o diagrama de Moody para Re > 4000. Tubo liso: Ou, em termos de logaritmo decimal, Prandtl-Von Kármán (0,86859) Re  105 (1913) Eq. de Blasius

Tubo rugoso: fórmula de Nikuradse Região de transição: Eq. de Colebrook (1938)

Problemas Tipo: Tipo Dados Incógnita I Q,D,e, hL II hL,D,e, Q III Q,hL,e, D

Fórmulas de Swamee e Jain (1976) para o cálculo do fator de atrito.

Fórmulas de Swamee e Jain (1976) para a solução dos problemas de perda em escoamento em tubos.

Exemplo 7.11 A água a 20º C é transportada por 450 m em um tubo de ferro forjado, horizontal, com diâmetro de 38 mm a uma vazão de 3,0 l/s. Calcule a queda de pressão sobre o comprimento de 450 m de tubo usando: a) o diagrama de Moody e b) o método alternativo. Dados: Ta n r L e D Q g 20° 10-6 998,0 450 0,046 38 3,00 9,81 C m2/s kg/m3 m mm l/s m/s2   0,038 0,003 m3/s

Solução: a) Cálculo pelo diagrama de Moody.

Considerando a Eq. da energia

b) Cálculo pelo Método alternativo.

Exemplo 7.12 Uma queda de pressão de 700 kPa é medida sobre um comprimento de 300 m de um tubo (horizontal) em ferro forjado de 100 mm de diâmetro que transporta óleo (S = 0,9;  = 10-5 m2/s). Calcule a vazão usando: a) o diagrama de Moody e b) o método alternativo. Dados: Dp L e D S n ra g 700 300 0,046 10 0,9 10-5 1000 9,81 kPa m mm cm   m2/s kg/m3 m/s2 7105 4,610-5 0,100 Pa

Solução: Cálculo pelo diagrama de Moody. hL Dados:  D Incógnita:  Q Problema Tipo II Solução por tentativas. 1ª tentativa – calcula-se um primeiro valor para f = f1. Escoamento rugoso. (Nikuradse)

Com o número de Reynolds, calcula-se um novo valor para f.

f2  f1 procede-se a uma nova tentativa com f = f2.

f3  f2 nova tentativa com f = f3. f4 = f3 assim o problema está resolvido e V = 4,790 m/s.

b) Cálculo pelo Método alternativo.

Exemplo 7.13 Que diâmetro de tubo estirado deve ser escolhido para transportar 0,002 m3/s de água a 20º C por um comprimento de 400 m, de modo que a perda de carga não exceda a 30 m? a) use o diagrama de Moody e b) o método alternativo. Dados: e Q Ta n r L hL g 0,0015 0,002 20º 10-6 998 400 30 9,81 mm m3/s C m2/s kg/m3 m m/s2 1,510-6  

Solução: Pelo diagrama de Moody. (cálculo por tentativas)

Com estes valores pode-se montar a seguinte tabela: ¹ ¹ f D Re e/D / m 1ª tentativa Þ 0,0300 0,0421 6,05104 3,5610-5 0,0201 ¹ 2ª tentativa Þ 0,0201 0,0388 6,56104 3,86 10-5 0,0197 ¹ 3ª tentativa Þ 0,0197 0,0387 6,58104 3,87 10-5 O.K! O resultado indica um diâmetro de 0,0387 m. Ou D = 39 mm.

b) Cálculo pelo Método alternativo. Novamente, o resultado indica um diâmetro D = 39 mm. Porem, a solução do problema será obtida com um diâmetro comercial imediatamente superior a 39 mm. Talvez 50 mm.

4.6.4. Perdas em condutos não circulares Boas aproximações são conseguidas com o conceito de “raio hidráulico” (Rh). Ver Streeter. Exemplo: Tubo circular operando à plena seção Utiliza-se desse conceito apenas para calcular o número de Reynolds e o fator de atrito.

Exemplo 7.14 O ar, nas condições normais, está para ser transportado através de 500 m de um duto retangular horizontal e liso medindo 30 cm x 20 cm, e uma vazão de 0,24 m3/s. Calcular a queda de pressão. Dados: L b h Q n g r 500 30 20 0,24 1,510-5 9,81 1,20 m cm m3/s m2/s m/s2 kg/m3   0,300 0,200

Solução: Tubo liso, Re < 105  Blasius

Tubo liso,  Prandtl-Von Kàrmán

4.6.5. Perdas singulares Para o caso de alargamento brusco seção, viu-se que: Fazendo tem-se:  fórmula geral (perdas singulares) V  maior velocidade (menor seção).

Figura 7.14 Escoamento em um cotovelo

Figura 7.15 Coeficientes de perda em uma expansão cônica

Figura 7.16 Vena Contracta em contrações e orifícios

Muitas vezes é habitual expressar o coeficiente de perda como um “comprimento equivalente (Le)” de tubo. Ou seja: O que leva a:

TABELA 7.2 Coeficientes de perda nominais K (escoamento turbulento) Tipos de Acessório Diâmetro Rosqueado Flangeado 2,5 cm 5 in 10 cm 5 cm 20 cm Válvula globo (totalmente aberta) 8,2 6,9 5,7 8,5 6,0 5,8 (meio aberta) 20 17 14 21 15 (um quarto aberta) 57 48 40 60 42 41 Válvula em ângulo (totalmente aberta) 4,7 2,0 1,0 2,4 Válvula de retenção (totalmente aberta) 2,9 2,1 Válvula de gaveta (totalmente aberta) 0,24 0,16 0,11 0,35 0,07 Curva de Retorno (em “U”) 1,5 0,95 0,64 0,30 0,25 Tê (ramal) 1,8 1,4 1,1 0,80 0,58 Tê (em linha) 0,9 0,19 0,14 0,20 Cotovelo-padrão 0,39 0,26 Cotovelo de grande diâmetro 0,72 0,41 0,23 0,15 Cotovelo de 45° 0,32 0,29

Entrada com quinas vivas 0,5 Entrada reentrante 0,8 Entrada arredondada 0,03 Saída do tubo 1,0 Razão de área Contração súbita 2:1 0,25 5:1 0,41 10:1 0,46 Razão de área A/A0 Placa de orifício 1,5:1 0,85 3,4 4:1 29 6:1 Alargamento súbito

Exemplo 7.15 Se a vazão através de um tubo de ferro forjado de 100 mm de diâmetro (Fig. E7.15) é de 0,04 m3/s, encontre a diferença de elevação H para os dois reservatórios. Figura E7.15

Dados: e D Q L n g 0,046 0,100 0,040 50 10-6 9,81 mm m m3/s m2/s m/s2   KEn KVg KCo KSa 0,50 5,70 0,64 1,00

Solução: Eq. da Energia = 0 (pb)  0

Como ilustração, a perda distribuída será calculada separada da perda localizada.

4.6.6. Linha piezométrica e linha de energia Considere a Eq. da Energia: Linha piezométrica Lugar geométrico dos pontos que têm como elevação  Linha de energia Lugar geométrico dos pontos que têm como elevação 

Figura 7.17 Linha piezométrica (LP) e linha de energia (LE)

Ocorre um salto na LP e na LE quando energia útil é adicionada ao fluido, como acontece com uma bomba, e uma queda ocorre, se energia útil é extraída do escoamento, como ocorre com uma turbina. Nos pontos em que a LP passa através da linha central do tubo, a pressão é zero. Se o tubo é localizado acima da LP, há um vácuo no tubo, uma condição que muitas vezes é evitada, se possível, nos projetos de tubulações; uma exceção seria um projeto de um sifão.

Exemplo 7.17 Água a 20º C escoa entre dois reservatórios a uma vazão de 0,06 m3/s, como mostra a Fig. E7.17. Esboce a LP e a LE. Qual é o diâmetro DB mínimo permissível para evitar a ocorrência de cavitação? Figura E7.17

Dados: Solução: Ta Q D L1 L2 e Kent HCon g 20º 0,060 0,200 30 20 0,260 0,500 0,250 9,81 C m3/s m mm   m/s2 Solução:  = 103 kg/m3 Água a 20° C, logo:  = 10-6 m2/s pv = 2450 Pa (abs).

No segundo trecho, o que se procura é o diâmetro No segundo trecho, o que se procura é o diâmetro. Explicitando em função deste valor, vem:

Só não haverá cavitação no ponto 2 se a pressão neste ponto for mantida acima da pressão de vapor. Uma vez que a pressão de vapor é expressa na escala de pressões absolutas, deve-se: ou trabalhar com pressões absolutas, ou converter a pressão de vapor para a escala efetiva. Assim, A pressão barométrica é tomada igual a 101 kPa. Então:

Resolvendo por tentativas, e/D Re f 1,25/D4 f×20/D5 å 1ª 0,10000 0,002600 7,64105 0,0254 12500 50836 63336 2ª 0,09000 0,002889 8,49105 0,0261 19052 88480 107532 3ª 0,09200 0,002826 8,30105 0,0260 17449 78816 96264 4ª 0,09155 0,002840 8,34105 0,0260 17793 80867 98660 Logo, para não haver cavitação D2 > 91,55 mm. Portanto, D = 100 mm resolve satisfatoriamente o problema.

Figura 7.18 Curvas características 4.6.7. Sistema simples de tubo com bomba Característica da bomba  fornecida pelo fabricante. Característica de cano Característica de rotor Figura 7.18 Curvas características

Exemplo 7.18 Estime a vazão na tubulação simples da Fig. E 7.18a, se as curvas características da bomba são como mostrado na Fig. E7.18b. Calcule também a potência requerida pela bomba. Figura E7.18 a)

Figura E7.18 b)

Dados: z1 z2 D e n Ke KSa 60 90 0,2 0,046 10-6 0,50 1,00 m mm m2/s   Solução: Da Eq. da energia, com:

Como primeira tentativa para a solução do problema, pode-se supor que o escoamento se dá na região de escoamento turbulento rugoso. Assim, considerando a Eq. de Nikuradse para escoamento turbulento rugoso, vem: Levando na Eq. anterior,  Eq. do sistema.

Entrando com valores de vazão na Fig. E7.18 b), tira-se os valores correspondentes para a altura total de elevação, o que permite montar a tabela a seguir. Bomba H Q 68,70 0,25 73,90 0,20 77,70 0,15 80,00 0,10

Agora, entrando com valores para a vazão, na equação do sistema, chega-se a seguinte tabela relacionando valores de H e Q do sistema. Sistema H Q 30,00 0,00 46,30 0,10 66,68 0,15 95,20 0,20 Considerando estas duas tabelas e com o auxilio do excel, chega-se ao seguinte gráfico, sendo a solução o cruzamento da duas curvas. Ou seja:

O gráfico nos dá a Eq. da linha de tendência para a característica de rotor. Ou seja: Uma vez que o ponto de operação vai estar no cruzamento destas duas equações, a vazão é obtida ao se igualar uma com a outra. Resolvendo, O valor significativo é o positivo. Levando em uma das duas equações, chega-se à altura total de elevação da bomba.

Com o valor da vazão tem-se como calcular o número de Reynolds e retornar no diagrama de Moody, de modo a verificar o valor obtido para o fator de atrito. Com esse procedimento se chegaria ao valor correto para a vazão (0,169 m3/s) e para a altura de elevação (76,4 m). Do gráfico da Fig. E7.18 b), tira-se  = 0,65%. Com esse valor a potência pode ser calculada.

Figura 7.19 Escoamento uniforme em um canal aberto 4.7. Escoamento Turbulento Uniforme em Canais Abertos Figura 7.19 Escoamento uniforme em um canal aberto S  declividade (inclinação) – (I) Para  muito pequeno, sen  S.

Considere a Eq. da energia: O que leva a: Por outro lado,

Ou:  Eq. de Chezy. Antoine Chezy (1718 – 1798). n  coeficiente de Manning Robert Manning (1816 – 1897).

Para o SI,  Eq. de Chezy Manning.

TABELA 7.3 Valores médios do n de Manning Material da Parede n de Manning Madeira aplainada 0,012 Madeira não-aplainada 0,013 Concreto acabado Concreto inacabado 0,014 Cano de esgoto Tijolo 0,016 Ferro fundido, ferro forjado 0,015 Tubo de concreto Aço rebitado 0,017 Terra, tal qual 0,022 Canalete de metal enrugado 0,025 Cascalho 0,03 Terra com pedras e plantas rasteiras 0,035 Corredeiras de montanhas 0,05

Exemplo 7.19 A profundidade medida de água a 15º C, escoando em um canal aberto retangular de concreto acabado, de 3,60 m de largura é de 1,20 m. A inclinação (declividade) medida foi de 0,0016. Estime a vazão usando: a) a equação de Chezy-Manning e b) a equação de Darcy-Weisbach. Dados: Tág b h S n g 15º 3,6 1,2  0,0016 1,1410-6 9,81 C m   m2/s m/s2

Solução: O raio hidráulico pode ser calculado. Chezy – Manning Concreto acabado  n = 0,012 Darcy – Weisbch Concreto 0,30  e  3 mm  acabado  e = 0,46 mm.

Eq. de Nikuradse,

Pela Eq. de Swamee - Jain,

Desta forma o problema está resolvido e:

Exemplo 7.20 Um tubo de concreto de 1,0 m de diâmetro transporta água a 20º C em uma profundidade de 0,4 m. Se a inclinação é 0,001, encontre a vazão usando: a) a equação de Chezy-Manning e b) a equação de Darcy-Weisbach. Dados: D Tág h S n 1,00 20º 0,4 0,001 10-6 m C   m2/s

Figura E7.20 Solução: Cálculo dos ângulos  e .

Os demais valores são calculados.

Chezy – Manning Tubo de esgoto (concreto)  n = 0,013 Darcy – Weisbch Tubo de concreto  e = 2 mm. Por Colebrook