Teoria dos Jogos

A teoria dos jogos modela o comportamento estratégico de agentes

Teoria dos Jogos A teoria dos jogos modela o comportamento estratégico de agentes que entendem que suas ações afetam as ações de outros agentes

Algumas Aplicações da Teoria dos Jogos  Oligopólios

Algumas Aplicações da Teoria dos Jogos  Oligopólios  Cartéis

Algumas Aplicações da Teoria dos Jogos  Oligopólios  Cartéis  Externalidades

Algumas Aplicações da Teoria dos Jogos  Oligopólios  Cartéis  Externalidades  Estratégias militares

O Que é um Jogo?

O Que é um Jogo? Um jogo consiste de

O Que é um Jogo? Um jogo consiste de  um conjunto de jogadores

O Que é um Jogo? Um jogo consiste de  um conjunto de jogadores  um conjunto de estratégias para cada jogador

O Que é um Jogo? Um jogo consiste de  um conjunto de jogadores  um conjunto de estratégias para cada jogador  payoffs (recompensas), para cada jogador, resultantes das escolhas estratégicas possíveis

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores  Os jogadores são A e B

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores  Os jogadores são A e B  O jogador A tem duas estratégias: “Alto” e “Baixo”

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores  Os jogadores são A e B  O jogador A tem duas estratégias: “Alto” e “Baixo”  O jogador B tem duas estratégias: “Esquerda” e “Direita”

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores  Os jogadores são A e B  O jogador A tem duas estratégias: “Alto” e “Baixo”  O jogador B tem duas estratégias: “Esquerda” e “Direita”  A tabela que mostra as recompensas, para cada jogador, de cada uma das quatro possíveis combinações estratégicas é a matriz de payoff

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A B (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Jogador A

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A B (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A B (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A As recompensas do jogador A são apresentadas à esquerda das vírgulas

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A B (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A As recompensas do jogador A são apresentadas à esquerda das vírgulas As recompensas do jogador B são apresentadas à direita das vírgulas

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A B (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A Uma jogada seria (A,D),

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A B (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A Uma jogada seria (A,D), onde o primeiro elemento é a estratégia escolhida pelo Jogador A

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A B (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A Uma jogada seria (A,D), onde o primeiro elemento é a estratégia escolhida pelo Jogador A e o segundo elemento é a estratégia escolhida pelo Jogador B

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A (3,9) (1,8) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A B (0,0) (2,1) Se A jogar Alto e B jogar Direita,

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A (3,9) (1,8) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A B (0,0) (2,1) Se A jogar Alto e B jogar Direita, então a recompensa de A é 1

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A (3,9) (1,8) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A B (0,0) (2,1) Se A jogar Alto e B jogar Direita, então a recompensa de A é 1 e a recompensa de B é 8

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A (3,9) (1,8) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A (0,0) (2,1) B E se A jogar Baixo e B jogar Direita,

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A (3,9) (1,8) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A (0,0) (2,1) B E se A jogar Baixo e B jogar Direita, então a recompensa de A é 2

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A (3,9) (1,8) Esta é a matriz de payoff do jogo Jogador A (0,0) (2,1) B E se A jogar Baixo e B jogar Direita, então a recompensa de A é 2 e a recompensa de B é 1

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A B (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Jogador A Que jogadas provavelmente vão ocorrer neste jogo?

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A (3,9) (1,8) (A,D) seria uma jogada provável? Jogador A B (0,0) (2,1)

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A (3,9) (1,8) (A,D) seria uma jogada provável? Jogador A B (0,0) (2,1) Se o jogador B jogar Direita,

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A (3,9) (1,8) (A,D) seria uma jogada provável? Jogador A B (0,0) (2,1) Se o jogador B jogar Direita, então a melhor resposta do jogador A é Baixo

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A (3,9) (1,8) (A,D) seria uma jogada provável? Jogador A B (0,0) (2,1) Se o jogador B jogar Direita, então a melhor resposta do jogador A é Baixo porque isto melhora a recompensa de A de 1 para 2

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A (3,9) (1,8) (A,D) seria uma jogada provável? Jogador A B (0,0) (2,1) Se o jogador B jogar Direita, então a melhor resposta do jogador A é Baixo porque isto melhora a recompensa de A de 1 para 2 Então (A,D) não ocorreria

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A (3,9) (1,8) (B,D) ocorreria? Jogador A (2,1) B (0,0)

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A (3,9) (1,8) (B,D) ocorreria? Jogador A (0,0) (2,1) B Se o jogador B jogar Direita,

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A (3,9) (1,8) (B,D) ocorreria? Jogador A (0,0) (2,1) B Se o jogador B jogar Direita, então a melhor resposta do jogador A é Baixo

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A (3,9) (1,8) (B,D) ocorreria? Jogador A (0,0) (2,1) B Se o jogador B jogar Direita, então a melhor resposta do jogador A é Baixo Se o jogador A jogar Baixo,

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A (3,9) (1,8) (B,D) ocorreria? Jogador A (0,0) (2,1) B Se o jogador B jogar Direita, então a melhor resposta do jogador A é Baixo Se o jogador A jogar Baixo, então a melhor resposta do jogador B é Direita

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A (3,9) (1,8) (B,D) ocorreria? Jogador A (0,0) (2,1) B Se o jogador B jogar Direita, então a melhor resposta do jogador A é Baixo Se o jogador A jogar Baixo, então a melhor resposta do jogador B é Direita Então (B,D) é uma jogada provável

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (B,E) ocorreria? (0,0) B (2,1)

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (B,E) ocorreria? (0,0) B (2,1) Se A jogar Baixo

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (B,E) ocorreria? (0,0) B (2,1) Se A jogar Baixo então a melhor resposta de B é Direita

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (B,E) ocorreria? (0,0) B (2,1) Se A jogar Baixo então a melhor resposta de B é Direita Então (B,E) não é uma jogada provável

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (A,E) ocorreria? B (0,0) (2,1)

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (A,E) ocorreria? B (0,0) (2,1) Se A jogar Alto

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (A,E) ocorreria? B (0,0) (2,1) Se A jogar Alto então a melhor resposta de B é Esquerda

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (A,E) ocorreria? B (0,0) (2,1) Se A jogar Alto então a melhor resposta de B é Esquerda Se B jogar Esquerda

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (A,E) ocorreria? B (0,0) (2,1) Se A jogar Alto então a melhor resposta de B é Esquerda Se B jogar Esquerda então a melhor resposta de A é Alto

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (A,E) ocorreria? B (0,0) (2,1) Se A jogar Alto então a melhor resposta de B é Esquerda Se B jogar Esquerda então a melhor resposta de A é Alto Então (A,E) é uma jogada provável

É uma jogada para a qual uma estratégia é a melhor resposta à outra Equilíbrio de Nash É uma jogada para a qual uma estratégia é a melhor resposta à outra

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (0,0) (2,1) B Nosso exemplo apresenta dois equilíbrios de Nash: (A,E) e (B,D)

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (0,0) (2,1) B Nosso exemplo apresenta dois equilíbrios de Nash: (A,E) e (B,D) Mas qual de fato ocorrerá?

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (0,0) (2,1) B Nosso exemplo apresenta dois equilíbrios de Nash: (A,E) e (B,D) Mas qual de fato ocorrerá? Note que (A,E) é preferível a (B,D) para os dois jogadores

Exemplo de um Jogo de Dois Jogadores Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (0,0) (2,1) B Nosso exemplo apresenta dois equilíbrios de Nash: (A,E) e (B,D) Mas qual de fato ocorrerá? Note que (A,E) é preferível a (B,D) para os dois jogadores Deverá então ocorrer apenas (A,E)?

Dilema dos Prisioneiros Jogo que exemplifica o fato de que resultados Pareto-preferíveis não necessariamente vão ocorrer

O Dilema dos Prisioneiros Clyde S C S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie C (-1,-30) (-10,-10) Que jogadas provavelmente ocorrerão neste jogo?

O Dilema dos Prisioneiros Clyde S C S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie C (-1,-30) (-10,-10) Se Bonnie jogar Silenciar então a melhor resposta de Clyde é Confessar

O Dilema dos Prisioneiros Clyde S C S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie C (-1,-30) (-10,-10) Se Bonnie jogar Silenciar então a melhor resposta de Clyde é Confessar Se Bonnie jogar Confessar então a melhor

O Dilema dos Prisioneiros Clyde S C S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie C (-1,-30) (-10,-10) Não importa o que Bonnie escolha: a melhor resposta de Clyde será sempre Confessar

O Dilema dos Prisioneiros Clyde S C S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie C (-1,-30) (-10,-10) Não importa o que Bonnie escolha: a melhor resposta de Clyde será sempre Confessar Confessar é a estratégia dominante para Clyde

O Dilema dos Prisioneiros Clyde S C S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie C (-1,-30) (-10,-10) Similarmente, não importa o que Clyde escolha: a melhor resposta de Bonnie será sempre Confessar

O Dilema dos Prisioneiros Clyde S C S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie C (-1,-30) (-10,-10) Similarmente, não importa o que Clyde escolha: a melhor resposta de Bonnie será sempre Confessar Confessar é a estratégia dominante para Bonnie também

O Dilema dos Prisioneiros Clyde S C S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie C (-1,-30) (-10,-10) Então o único equilíbrio de Nash para este jogo é (C,C),

O Dilema dos Prisioneiros Clyde S C S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie C (-1,-30) (-10,-10) Então o único equilíbrio de Nash para este jogo é (C,C), muito embora (S,S) traga melhores recompensas para os dois jogadores

O Dilema dos Prisioneiros Clyde S C S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie C (-1,-30) (-10,-10) Então o único equilíbrio de Nash para este jogo é (C,C), muito embora (S,S) traga melhores recompensas para os dois jogadores O único equilíbrio de Nash é ineficiente

Quem Joga Quando?  Nos dois exemplos, os jogadores escolhem suas estratégias simultaneamente

Quem Joga Quando?  Nos dois exemplos, os jogadores escolhem suas estratégias simultaneamente  Estes são jogos simultâneos

Quem Joga Quando?  Mas há jogos onde um jogador joga antes do outro

Quem Joga Quando?  Mas há jogos onde um jogador joga antes do outro  Estes são os jogos sequenciais

Quem Joga Quando?  Mas há jogos onde um jogador joga antes do outro  Estes são os jogos sequenciais  O jogador que joga primeiro é o líder

Quem Joga Quando?  Mas há jogos onde um jogador joga antes do outro  Estes são os jogos sequenciais  O jogador que joga primeiro é o líder  O jogador que joga depois é o seguidor

Exemplo de Um Jogo Sequencial  Às vezes um jogo tem mais de um equilíbrio de Nash

Exemplo de Um Jogo Sequencial  Às vezes um jogo tem mais de um equilíbrio de Nash e fica difícil dizer qual deles terá mais chance de ocorrer

Exemplo de Um Jogo Sequencial  Às vezes um jogo tem mais de um equilíbrio de Nash e fica difícil dizer qual deles terá mais chance de ocorrer  Se esse jogo for sequencial, pode ser mais fácil decidir

Exemplo de Um Jogo Sequencial  Às vezes um jogo tem mais de um equilíbrio de Nash e fica difícil dizer qual deles terá mais chance de ocorrer  Se esse jogo for sequencial, pode ser mais fácil decidir se um equilíbrio de Nash terá mais chances de ocorrer do que os outros

Exemplo de um Jogo Sequencial Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) Tanto (A,E) como (B,D) são equilíbrios de Nash quando este jogo é jogado simultaneamente

Exemplo de um Jogo Sequencial Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) Tanto (A,E) como (B,D) são equilíbrios de Nash quando este jogo é jogado simultaneamente E não temos nenhuma maneira de decidir qual dos equilíbrios é mais provável

Exemplo de um Jogo Sequencial Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) Se o jogo for jogado sequencialmente

Exemplo de um Jogo Sequencial Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) Se o jogo for jogado sequencialmente e A for o líder

Exemplo de um Jogo Sequencial Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) Se o jogo for jogado sequencialmente e A for o líder podemos expressá-lo na sua forma extensiva

Exemplo de um Jogo Sequencial B A joga primeiro B joga em seguida B B E D E D (3,9) (1,8) (0,0) (2,1)

Exemplo de um Jogo Sequencial B A joga primeiro B joga em seguida B B E D E D (3,9) (1,8) (0,0) (2,1) (A,E) é um equilíbrio de Nash

Exemplo de um Jogo Sequencial B A joga primeiro B joga em seguida B B E D E D (3,9) (1,8) (0,0) (2,1) (A,E) é um equilíbrio de Nash (B,D) é um equilíbrio de Nash

Exemplo de um Jogo Sequencial B A joga primeiro B joga em seguida B B E D E D (3,9) (1,8) (0,0) (2,1) (A,E) é um equilíbrio de Nash (B,D) é um equilíbrio de Nash Qual deles tem mais chances de ocorrer?

Exemplo de um Jogo Sequencial B A joga primeiro B joga em seguida B B E D E D (3,9) (1,8) (0,0) (2,1) Se A jogar A então B joga E: A ganha 3

Exemplo de um Jogo Sequencial B A joga primeiro B joga em seguida B B E D E D (3,9) (1,8) (0,0) (2,1) Se A jogar A então B joga E: A ganha 3 Se A jogar B então B joga D: A ganha 2

Exemplo de um Jogo Sequencial B A joga primeiro B joga em seguida B B E D E D (3,9) (1,8) (0,0) (2,1) Se A jogar A então B joga E: A ganha 3 Se A jogar B então B joga D: A ganha 2 Então (A,E) será o único equilíbrio de Nash

Voltemos ao jogo simultâneo com dois equilíbrios de Nash (A,E) e (B,D) Estratégias Puras Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) Voltemos ao jogo simultâneo com dois equilíbrios de Nash (A,E) e (B,D)

O jogador A escolhe A ou B, Estratégias Puras Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) O jogador A escolhe A ou B,

O jogador A escolhe A ou B, ou seja, ele joga puramente A ou B Estratégias Puras Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) O jogador A escolhe A ou B, ou seja, ele joga puramente A ou B

O jogador A escolhe A ou B, Estratégias Puras Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) O jogador A escolhe A ou B, ou seja, ele joga puramente A ou B Ele não escolhe uma combinação de A e B

Estratégias Puras (3,9) (2,1) E D A (1,8) B (0,0) Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) O jogador A escolhe A ou B, ou seja, ele joga puramente A ou B Ele não escolhe uma combinação de A e B A e B são as estratégias puras do jogador A

Similarmente, E e D são as estratégias puras do jogador B (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) Similarmente, E e D são as estratégias puras do jogador B

Estratégias Puras (3,9) (2,1) E D A (1,8) B (0,0) Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) Consequentemente, (A,E) e (B,D) são equilíbrios de Nash com estratégias puras

Estratégias Puras (3,9) (2,1) E D A (1,8) B (0,0) Jogador B E D A (3,9) (1,8) Jogador A (2,1) B (0,0) Consequentemente, (A,E) e (B,D) são equilíbrios de Nash com estratégias puras Todo jogo precisa ter pelo menos um equilíbrio de Nash com estratégias puras?

No jogo acima, existe algum equilíbrio de Nash Estratégias Puras Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) No jogo acima, existe algum equilíbrio de Nash com estratégias puras?

Estratégias Puras (1,2) E D A (0,4) B (0,5) (3,2) Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) (A,E) é um equilíbrio de Nash?

Estratégias Puras (0,4) E D A (1,2) B (0,5) (3,2) Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) (A,E) é um equilíbrio de Nash? Não (A,D) é um equilíbrio de Nash?

Estratégias Puras (0,5) E D A (1,2) (0,4) B (3,2) Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) (A,E) é um equilíbrio de Nash? Não (A,D) é um equilíbrio de Nash? Não (B,E) é um equilíbrio de Nash?

Estratégias Puras (3,2) E D A (1,2) (0,4) B (0,5) Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) (A,E) é um equilíbrio de Nash? Não (A,D) é um equilíbrio de Nash? Não (B,E) é um equilíbrio de Nash? Não (B,D) é um equilíbrio de Nash?

Estratégias Puras E D A (1,2) (0,4) B (0,5) (3,2) Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) (A,E) é um equilíbrio de Nash? Não (A,D) é um equilíbrio de Nash? Não (B,E) é um equilíbrio de Nash? Não (B,D) é um equilíbrio de Nash? Não

Este jogo não tem equilíbrio de Nash Estratégias Puras Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) Este jogo não tem equilíbrio de Nash com estratégias puras

Este jogo não tem equilíbrio de Nash Mas tem com estratégias mistas Estratégias Puras Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) Este jogo não tem equilíbrio de Nash com estratégias puras Mas tem com estratégias mistas

Estratégias Mistas Em vez de jogar puramente Alto ou Baixo,

Estratégias Mistas Em vez de jogar puramente Alto ou Baixo, o jogador A pode escolhar jogar Alto com probabilidade pA

Estratégias Mistas Em vez de jogar puramente Alto ou Baixo, o jogador A pode escolhar jogar Alto com probabilidade pA ou jogar Baixo com probabilidade 1pA

Estratégias Mistas Em vez de jogar puramente Alto ou Baixo, o jogador A pode escolhar jogar Alto com probabilidade pA ou jogar Baixo com probabilidade 1pA Ou seja, ele pode selecionar uma distribuição de probabilidade (pA,1pA)

Estratégias Mistas Em vez de jogar puramente Alto ou Baixo, o jogador A pode escolhar jogar Alto com probabilidade pA ou jogar Baixo com probabilidade 1pA Ou seja, ele pode selecionar uma distribuição de probabilidade (pA,1pA) Como A está misturando as estratégias puras Alto e Baixo,

Estratégias Mistas Em vez de jogar puramente Alto ou Baixo, o jogador A pode escolhar jogar Alto com probabilidade pA ou jogar Baixo com probabilidade 1pA Ou seja, ele pode selecionar uma distribuição de probabilidade (pA,1pA) Como A está misturando as estratégias puras Alto e Baixo, a distribuição de probabilidade (pA,1pA) é a sua estratégia mista

Estratégias Mistas Similarmente, o jogador B escolhe jogar Esquerda com probabilidade pE

Estratégias Mistas Similarmente, o jogador B escolhe jogar Esquerda com probabilidade pE ou jogar Direita com probabilidade 1pE

Estratégias Mistas Similarmente, o jogador B escolhe jogar Esquerda com probabilidade pE ou jogar Direita com probabilidade 1pE Ou seja, ele escolhe a distribuição de probabilidade (pE,1pE)

Estratégias Mistas Similarmente, o jogador B escolhe jogar Esquerda com probabilidade pE ou jogar Direita com probabilidade 1pE Ou seja, ele escolhe a distribuição de probabilidade (pE,1pE) Como ele está misturando as estratégias puras Esquerda e Direita,

Estratégias Mistas Similarmente, o jogador B escolhe jogar Esquerda com probabilidade pE ou jogar Direita com probabilidade 1pE Ou seja, ele escolhe a distribuição de probabilidade (pE,1pE) Como ele está misturando as estratégias puras Esquerda e Direita, a distribuição de probabilidade (pE,1pE) é a sua estratégia mista

Estratégias Mistas E D A (1,2) (0,4) B (0,5) (3,2) Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) Este jogo não tem equilíbrio de Nash com estratégias puras

Estratégias Mistas E D A (1,2) (0,4) B (0,5) (3,2) Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) Este jogo não tem equilíbrio de Nash com estratégias puras mas tem com estratégias mistas

Estratégias Mistas E D A (1,2) (0,4) B (0,5) (3,2) Jogador B E D A (1,2) (0,4) Jogador A B (0,5) (3,2) Este jogo não tem equilíbrio de Nash com estratégias puras mas tem com estratégias mistas Como computar o equilíbrio de Nash com estratégias mistas?

Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Jogador B E,pE D,1pE A,pA Jogador A (0,5) (3,2) B,1pA

Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Jogador B E,pE D,1pE (1,2) (0,4) A,pA Jogador A (0,5) (3,2) B,1pA Se B jogar Esquerda, seu payoff esperado é 2A + 5(1A)

Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Jogador B E,pE D,1pE (1,2) (0,4) A,pA Jogador A (0,5) (3,2) B,1pA Se B jogar Esquerda, seu payoff esperado é 2A+5(1A) Se B jogar Direita, seu payoff esperado é 4A+2(1A)

Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Jogador B E,pE D,1pE (1,2) (0,4) A,pA Jogador A (0,5) (3,2) B,1pA Se 2A+5(1A) > 4A+2(1A) então B jogará apenas Esquerda

Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Jogador B E,pE D,1pE (1,2) (0,4) A,pA Jogador A (0,5) (3,2) B,1pA Se 2A+5(1A) > 4A+2(1A) então B jogará apenas Esquerda Mas não existe equilíbrio de Nash com B jogando apenas Esquerda

Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Jogador B E,pE D,1pE (1,2) (0,4) A,pA Jogador A (0,5) (3,2) B,1pA Se 2A+5(1A) < 4A+2(1A) então B jogará apenas Direita

Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Jogador B E,pE D,1pE (1,2) (0,4) A,pA Jogador A (0,5) (3,2) B,1pA Se 2A+5(1A) < 4A+2(1A) então B jogará apenas Direita Mas não existe equilíbrio de Nash com B jogando apenas Direita

Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Jogador B E,pE D,1pE (1,2) (0,4) A,pA Jogador A (0,5) (3,2) B,1pA Então, somente existirá equilíbrio de Nash quando B for indiferente entre jogar Esquerda ou Direita,

Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Jogador B E,pE D,1pE (1,2) (0,4) A,pA Jogador A (0,5) (3,2) B,1pA Então, somente existirá equilíbrio de Nash quando B for indiferente entre jogar Esquerda ou Direita, o que ocorre quando 2A+5(1A) = 4A+2(1A)

Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Jogador B E,pE D,1pE (1,2) (0,4) A,pA Jogador A (0,5) (3,2) B,1pA Então, somente existirá equilíbrio de Nash quando B for indiferente entre jogar Esquerda ou Direita, o que ocorre quando 2A+5(1A) = 4A+2(1A)  A = 3/5

Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Jogador B E,pE D,1pE A, Jogador A B, (0,5) (3,2)

Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Jogador B E,pE D,1pE A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Se A jogar Alto seu payoff esperado é 1  E + 0  (1  E) = E

Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Jogador B E,pE D,1pE A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Se A jogar Alto seu payoff esperado é 1  E + 0  (1  E) = E Se A jogar Baixo seu payoff esperado é 0  E + 3  (1  E) = 3(1  E)

Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Jogador B E,pE D,1pE A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Se E > 3(1  E) então A jogará apenas Alto

Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Jogador B E,pE D,1pE A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Se E > 3(1  E) então A jogará apenas Alto Mas não existe equilíbrio de Nash com A jogando apenas Alto

Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Jogador B E,pE D,1pE A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Se E < 3(1  E) então A jogará apenas Baixo

Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Jogador B E,pE D,1pE A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Se E < 3(1  E) então A jogará apenas Baixo Mas não existe equilíbrio de Nash com A jogando apenas Baixo

Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Jogador B E,pE D,1pE A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Para existir equilíbrio de Nash, A precisa ser indiferente entre jogar Alto ou Baixo, ou seja

Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Jogador B E,pE D,1pE A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Para existir equilíbrio de Nash, A precisa ser indiferente entre jogar Alto ou Baixo, ou seja E = 3(1  E)

Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Jogador B E,pE D,1pE A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Para existir equilíbrio de Nash, A precisa ser indiferente entre jogar Alto ou Baixo, ou seja E = 3(1  E)  E = 3/4

Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Jogador B E, D, A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Então, o equilíbrio de Nash é

Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Jogador B E, D, A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Então, o equilíbrio de Nash é A adotar a estratégia mista (3/5, 2/5)

Estratégias Mistas (1,2) (0,4) (0,5) (3,2) Jogador B E, D, A, (1,2) (0,4) Jogador A B, (0,5) (3,2) Então, o equilíbrio de Nash é A adotar a estratégia mista (3/5, 2/5) e B adotar a estratégia mista (3/4, 1/4)

Estratégias Mistas (1,2) (0,4) 9/20 (0,5) (3,2) Jogador B E, D, (1,2) A, (0,4) 9/20 Jogador A B, (0,5) (3,2) Os payoffs serão (1,2) com probabilidade

Estratégias Mistas (1,2) (0,4) 9/20 3/20 (0,5) (3,2) Jogador B E, D, (1,2) (0,4) A, 9/20 3/20 Jogador A B, (0,5) (3,2) e (0,4) com probabilidade

Estratégias Mistas (1,2) (0,4) 9/20 3/20 (0,5) (3,2) 6/20 Jogador B E, D, (1,2) (0,4) A, 9/20 3/20 Jogador A (0,5) B, (3,2) 6/20 e (0,5) com probabilidade

Estratégias Mistas (1,2) (0,4) 9/20 3/20 (0,5) (3,2) 6/20 2/20 Jogador B E, D, (1,2) (0,4) A, 9/20 3/20 Jogador A (0,5) (3,2) B, 6/20 2/20 e (3,2) com probabilidade

Estratégias Mistas (1,2) (0,4) 9/20 3/20 (0,5) (3,2) 6/20 2/20 Jogador B E, D, (1,2) (0,4) A, 9/20 3/20 Jogador A (0,5) (3,2) B, 6/20 2/20 Para A, o payoff esperado do equilíbrio de Nash é

Estratégias Mistas (1,2) (0,4) 9/20 3/20 (0,5) (3,2) 6/20 2/20 Jogador B E, D, (1,2) (0,4) A, 9/20 3/20 Jogador A (0,5) (3,2) B, 6/20 2/20 Para B, o payoff esperado do equilíbrio de Nash é

Fonte Hal Varian Intermediate Microeconomics, 5th Edition Chapter 28, Game Theory © 2006 Tradução, Adaptação e Confecção Sergio Da Silva. All rights reserved