Prof. Christiano Lima Santos Raciocínio Lógico Prof. Christiano Lima Santos

Conteúdo do Curso Lógica proposicional Operações com conjuntos Cálculos com porcentagens

Lógica Proposicional Parte 01

Sumário Proposição Tipos de proposições Princípios fundamentais da lógica Conectivos ou operadores lógicos Operações lógicas Tautologia, contradição e indeterminação Leis de equivalência

Proposição É uma frase declarativa a qual pode ser atribuída o valor verdadeiro (V) ou falso (F); Exemplos de frases que são proposições: O Japão fica na África 3 + 4 = 7 Exemplos de frases que não são proposições: 3 + 4 Onde você vai?

Pergunta Considerando que uma proposição corresponde a uma sentença bem definida, isto é, que pode ser classificada como verdadeira ou falsa, excluindo-se qualquer outro julgamento, assinale a alternativa em que a sentença apresentada corresponde a uma proposição. Ele foi detido sem ter cometido crime algum? Aquela penitenciária não oferece segurança para o trabalho dos agentes prisionais. Os agentes prisionais da penitenciária de Goiânia foram muito bem treinados. Fique alerta a qualquer movimentação estranha no pátio do presídio. Houve fuga de presidiários, que tragédia!

Resposta Considerando que uma proposição corresponde a uma sentença bem definida, isto é, que pode ser classificada como verdadeira ou falsa, excluindo-se qualquer outro julgamento, assinale a alternativa em que a sentença apresentada corresponde a uma proposição. Ele foi detido sem ter cometido crime algum? Aquela penitenciária não oferece segurança para o trabalho dos agentes prisionais. Os agentes prisionais da penitenciária de Goiânia foram muito bem treinados. Fique alerta a qualquer movimentação estranha no pátio do presídio. Houve fuga de presidiários, que tragédia!

Tipos de proposições Proposição simples (ou atômica) Não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma; É designada por uma letra minúscula; Ex: Carlos é careca = q Proposição composta Formada pela combinação de duas ou mais proposições (ligadas por um conectivo); É designada por uma letra maiúscula; Ex: Carlos é careca e Pedro é estudante = Q

Pergunta A proposição “No Brasil, 20% dos acidentes de trânsito ocorrem com indivíduos que consumiram bebida alcoólica” é uma proposição simples. Certo Errado

Resposta A proposição “No Brasil, 20% dos acidentes de trânsito ocorrem com indivíduos que consumiram bebida alcoólica” é uma proposição simples. Certo Errado

Princípios fundamentais da lógica Princípio da não-contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo; Princípio do terceiro excluído: Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, nunca ocorrendo um terceiro caso; O valor lógico de uma proposição simples p é sempre indicado por V(p).Exemplo: p: O Sol é verde V(p) = F

Pergunta Se não corro, pulo. Se estou tranquilo, corro. Se corro, não estou tranquilo. Se não estou tranquilo, não pulo. Logo, é correto afirmar que: Não corro, não estou tranquilo e pulo. Corro, não estou tranquilo e não pulo. Não corro, estou tranquilo e não pulo. Corro, estou tranquilo e não pulo. Corro, estou tranquilo e pulo.

Resposta Se não corro, pulo. Se estou tranquilo, corro. Se corro, não estou tranquilo. Se não estou tranquilo, não pulo. Logo, é correto afirmar que: Não corro, não estou tranquilo e pulo. Corro, não estou tranquilo e não pulo. Não corro, estou tranquilo e não pulo. Corro, estou tranquilo e não pulo. Corro, estou tranquilo e pulo.

Conectivos ou Operadores lógicos São usados para formar novas proposições a partir de outras: ~ ou ¬ (não);  (e);  (ou exclusivo)  (ou);  (se então);  (se e somente se).

Tabela verdade É uma estrutura tabular, isto é, formada por linhas e colunas, que lista os possíveis valores para cada proposição simples e valores resultantes para as proposições compostas pelas mesmas. Para uma proposição simples p, terá somente uma coluna contendo os valores V e F. Exemplo: p V F

Tabela verdade Para uma proposição composta P, teremos cada coluna representando uma proposição atômica componente ou a própria proposição P e cada linha representando os possíveis valores para as proposições atômicas e o valor resultante da proposição P; Exemplo: p q p  q V F

Operações lógicas Negação (~); Conjunção (); Disjunção (); Disjunção exclusiva (); Condicional (); Bicondicional ().

Negação Se p é uma proposição, a negação da proposição p é denotada por ~p (p) A negação apresenta valor lógico oposto ao da proposição dada. Tabela verdade: p ~p V F

Exemplos de negação p ~p Nenhum homem é elegante Algum homem é elegante Todo homem é elegante Algum homem não é elegante

Conjunção Chama-se conjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p  q” (leia “p e q”) cujo valor lógico é V quando ambas as proposições são verdadeira e F nos demais casos. V(p  q) = V(p)  V(q) Tabela verdade: p q p  q V F

Disjunção Chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p  q” (leia “p ou q”) cujo valor lógico é V quando ao menos uma das proposições é verdadeira e F se ambas são falsas. V(p  q) = V(p)  V(q) Tabela verdade: p q p  q V F

Disjunção exclusiva Chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição representada por “p  q” (leia “p ou exclusivo q”) cujo valor lógico é V quando uma proposição é verdadeira e a outra falsa e F quando ambas são falsas ou ambas são verdadeiras. V(p  q) = V(p)  V(q) Tabela verdade: p q p  q V F

Condicional Chama-se proposição condicional uma proposição representada por “p  q” (leia “se p então q”) cujo valor lógico é F quando p é verdadeira e q é falsa e V nos demais casos. V(p  q) = V(p)  V(q) Tabela verdade: p q p  q V F

Pergunta A proposição “Quando um indivíduo consome álcool ou tabaco em excesso ao longo da vida, sua probabilidade de infarto do miocárdio aumenta em 40%” pode ser corretamente escrita na forma (P  Q) →R, em que P, Q e R sejam proposições convenientemente escolhidas. Certo Errado

Resposta A proposição “Quando um indivíduo consome álcool ou tabaco em excesso ao longo da vida, sua probabilidade de infarto do miocárdio aumenta em 40%” pode ser corretamente escrita na forma (P  Q) →R, em que P, Q e R sejam proposições convenientemente escolhidas. Certo Errado

Pergunta Se P, Q e R forem proposições simples e se T for a proposição composta falsa [P(¬Q)]  R, então, necessariamente, P, Q e R serão proposições verdadeiras. Certo Errado

Resposta Se P, Q e R forem proposições simples e se T for a proposição composta falsa [P(¬Q)]  R, então, necessariamente, P, Q e R serão proposições verdadeiras. Certo Errado

Pergunta Considerando que P e Q sejam proposições simples, é possível construir a tabela verdade da proposição [P  Q] [P  Q], completando a tabela: Nesse sentido, assinale a alternativa que apresenta os elementos da coluna correspondente a [P  Q] [P  Q], na ordem em que aparecem, de cima para baixo. V F V F V F F V F F V V V V V V F F F F P Q P  Q P  Q [P  Q] [P  Q] V F

Resposta Considerando que P e Q sejam proposições simples, é possível construir a tabela verdade da proposição [P  Q] [P  Q], completando a tabela: Nesse sentido, assinale a alternativa que apresenta os elementos da coluna correspondente a [P  Q] [P  Q], na ordem em que aparecem, de cima para baixo. V F V F V F F V F F V V V V V V F F F F P Q P  Q P  Q [P  Q] [P  Q] V F

Bicondicional Chama-se proposição bicondicional uma proposição representada por “p  q” (leia “p se e somente se q”) cujo valor lógico é V quando p e q são ambos verdadeiros ou falsos e F nos demais casos. V(p  q) = V(p)  V(q) Tabela verdade: p q p  q V F

Pergunta Considerando que P e Q são proposições simples, a partir da tabela abaixo, é possível construir a tabela-verdade da proposição P  Q: Dessa forma, assinale a alternativa que apresenta os elementos da coluna correspondente a P  Q, na ordem em que aparecem, de cima para baixo. V F V F F V F V V V F F V F F V F F V V P Q P  Q Q  P P  Q V F

Resposta Considerando que P e Q são proposições simples, a partir da tabela abaixo, é possível construir a tabela-verdade da proposição P  Q: Dessa forma, assinale a alternativa que apresenta os elementos da coluna correspondente a P  Q, na ordem em que aparecem, de cima para baixo. V F V F F V F V V V F F V F F V F F V V P Q P  Q Q  P P  Q V F

Tautologia É toda proposição composta cujo valor lógico é sempre verdadeiro (V) quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes; Exemplo: p  ~p p ~p p  ~p V F

Pergunta Considerando que P, Q e R sejam proposições simples, a partir do preenchimento da tabela-verdade abaixo, é correto concluir que a proposição P  Q  R  P  Q é uma tautologia. Certo Errado P Q R P  Q  R P  Q P  Q  R  P  Q V F

Resposta Considerando que P, Q e R sejam proposições simples, a partir do preenchimento da tabela-verdade abaixo, é correto concluir que a proposição P  Q  R  P  Q é uma tautologia. Certo Errado P Q R P  Q  R P  Q P  Q  R  P  Q V F

Contradição É toda proposição composta cujo valor lógico é sempre falso (F) quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes. É a negação da tautologia; Exemplo: p  ~p p ~p p  ~p V F

Indeterminação Uma proposição é indeterminada (ou logicamente contingente) quando não é tautologia nem contradição; Exemplo: p  q p q p  q V F

Leis de equivalência Dadas as proposições compostas P e Q, diz-se que ocorreu uma equivalência entre P e Q quando suas tabelas-verdade forem idênticas. (P  Q) Exemplo: p q ~(p  q) V F p q ~p  ~q V F

Leis de equivalência É possível simplificar as proposições, utilizando as seguintes leis de equivalência: (1) Negação da negação ~ (~ p)  p (2) Negação da Conjunção ~ (p  q)  ~p  ~q (3) Negação da Disjunção ~ (p  q)  ~p  ~q Leis de Morgan

Leis de equivalência (4) Leis Idempotentes p  p  p p  p  p (5) Leis complementares p  ~p   (tautologia) (V) p  ~p   (contradição) (F) (6) Leis de Identidade p    p p     p     p    p

Leis de equivalência (7) Leis Comutativas p  q  q  p p  q  q  p (8) Leis Associativas p  (q  r)  (p  q)  r p  (q  r)  (p  q)  r (9) Leis Distributivas p  (q  r)  (p  q)  (p  r) p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

Leis de equivalência (10) Condicional p  q  ~(p  ~q)  ~p  q p  q  ~q  ~p A condicional não satisfaz as leis: * idempotente: p  p  p * comutativa: p  q  q  p * associativa: (p  q)  r  p  (q  r)

Leis de equivalência (11) Bicondicional p  q  (p  q)  (q  p) ~ (p  q)  p  ~q  ~p  q p  q  (p  q)  (~p  ~q) ~ (p  q)  (p  ~q)  (~p  q)