Análise de Deformação por Thin Plate Splines Fernando J. Von Zuben vonzuben@dca.fee.unicamp.br Departamento de Engenharia de Computação e Automação Industrial DCA/FEEC/Unicamp
Que atributos adotar para realizar a classificação de formas?
Exemplo: análise de contornos
Exemplo: análise de contornos
Variabilidade de formas
Uma vez definidos os atributos, resultam problemas de análise multivariada (extração de informação a partir de pontos distribuídos num espaço multidimensional)
Atributo escolhido: número de lados
Problemas quando os atributos não discriminam as classes (Iris)
A forma da esquerda é mais próxima de qual forma da direita?
Comparar apenas aquilo que é comparável.
Quando há a possibilidade de definição de homologias, adotam-se pontos de referência (marcos)
Medir a deformação a partir do deslocamento relativo de marcos homólogos.
Critérios para a definição de marcos
Transformações de similaridade para uma forma específica com marcos já definidos
Transformação afim
Técnicas para casamento de marcos homólogos entre duas formas
Transformações com deformação nula
Como medir deformações a partir do deslocamento relativo de marcos homólogos?
Mecânica contínua: deformação em uma lâmina.
Deforme uma lâmina inicialmente plana para que ela interpole os 5 pontos
Solução e energia de deformação associada
Quatro pontos em distribuição planar
Adição de um quinto ponto
Adição de um sexto ponto
Adição de um sétimo ponto
O que a deformação de uma lâmina para se ajustar a pontos em 3 dimensões tem a ver com a deformação envolvendo marcos homólogos em duas dimensões?
Este é o slide mais importante da apresentação Mapeia cada marco à esquerda no valor de x do marco homólogo à direita Mapeia cada marco à esquerda no valor de y do marco homólogo à direita
Níveis de suavidade de interpolações e aproximações
Mapeamentos com parâmetros de suavidade distintos
Qual é a diferença entre interpolação e aproximação?
Exemplo de interpolação
Exemplos de aproximação a partir de dados amostrados com ruído
Aproximação a partir de dados amostrados com ruído
Retorno ao problema de medida de deformação a partir de marcos homólogos.
Deformação expressa na forma de um “esgarçamento” de uma grade inicialmente uniforme
Spatial Normalisation Original image Spatially normalised Spatial Normalisation Template image Deformation field
Morphometric approaches based on deformation fields Deformation-based Morphometry looks at absolute displacements. Tensor-based Morphometry looks at local shapes
Quem deformou mais?
Tópicos da Apresentação O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros thin plate splines - 2D thin plate splines - 3D os limites da interpolação polinomial splines polinomiais suavizantes análise de componentes principais (PCA)
O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros Problema a ser resolvido: A partir de um conjunto de amostras de dados de entrada- saída, propor uma função que mapeie os dados de entrada nos respectivos dados de saída.
O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros Modelo de regressão linear Dados de entrada-saída
O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros Problema de otimização resultante Estratégia de Solução: Método dos Quadrados Mínimos (LMS)
O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros do Cálculo Elementar sabe-se que a aplicação da condição de otimalidade (restrições atendidas pelos pontos de máximo e mínimo de uma função diferenciável) permite obter a solução ótima do problema de otimização , na forma: diferencie a função em relação aos parâmetros ajustáveis; iguale estas derivadas parciais a zero; resolva o sistema de equações resultante.
O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros no caso em questão, os parâmetros livres são os coeficientes da combinação linear, dados na forma do vetor de pesos o sistema de equações resultante é dado na forma: , j=1,...,m.
O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros separando-se os termos que envolvem a incógnita f(), resulta: , j=1,...,m. portanto, existem m equações para obter as m incógnitas
O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros para encontrar esta solução única do sistema de equações lineares, é interessante recorrer à notação vetorial:
O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros como existem m equações, resulta: definindo a matriz H, com sua j-ésima coluna dada por hj, temos:
O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros
O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros o i-ésimo componente do vetor f pode ser apresentado na forma: permitindo expressar f em função da matriz H, de modo que: f = Hw
O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros substituindo no sistema de equações lineares, resulta a solução ótima para o vetor de coeficientes da combinação linear: esta equação de solução do problema dos quadrados mínimos é conhecida como equação normal. Para que exista a inversa de HTH, basta que a matriz H tenha posto completo, já que m N.
O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros o modelo de regressão linear mais simples é a reta, aplicada nos casos em que a entrada é escalar:
O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros suponha que foram amostrados, na presença de ruído, três pontos da curva y = x, gerando o conjunto de amostragem: obviamente, não se conhece a equação da curva, mas apenas estes três pontos amostrados.
O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros para estimar w1 e w2, vamos proceder de acordo com os passos do método dos quadrados mínimos.
O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros para o mesmo conjunto de dados amostrados, suponha agora que: enquanto no caso anterior tínhamos m < N, agora temos m = N.
O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros o efeito da adição da função-base extra h3(x) representa a adição de uma coluna junto à matriz H, e a solução assume a forma:
O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros observe que ambos os modelos (com 2 ou 3 funções-base) são lineares nos parâmetros (daí a denominação de regressão linear), embora para m = 3 tenhamos um modelo não-linear. modelo não-linear, mas linear nos parâmetros.
O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros funções de base radial como funções-base Pontos amostrados: (1,2); (3,7); (5,6)
O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros
O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros funções de base radial como funções-base Pontos amostrados: (1,2); (3,7); (5,6); (8,1)
O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros
O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros determinação dos centros e aberturas das funções de base radial modelo não-linear nos parâmetros
Tópicos da Apresentação O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros thin plate splines - 2D thin plate splines - 3D os limites da interpolação polinomial splines polinomiais suavizantes análise de componentes principais (PCA)
Thin Plate Splines - 2D
Thin Plate Splines - 2D
Thin Plate Splines - 2D
Thin Plate Splines - 2D Interpole os pontos pi, i=1,...,5, apresentados a seguir, de tal modo que a função interpolada seja totalmente plana para |x| e minimize o seguinte critério:
Thin Plate Splines - 2D
Thin Plate Splines - 2D função de interpolação que minimiza o critério: superfície planar para |x| :
Thin Plate Splines - 2D resulta, então, o seguinte sistema de equações lineares, a ser resolvido em modelo não-linear, mas linear nos parâmetros.
Thin Plate Splines - 2D
Thin Plate Splines - 2D o sistema linear pode ser expresso em uma forma mais condensada, tomando- se os vetores y e w e matriz L a seguir:
Thin Plate Splines - 2D
Tópicos da Apresentação O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros thin plate splines - 2D thin plate splines - 3D os limites da interpolação polinomial splines polinomiais suavizantes análise de componentes principais (PCA)
Thin Plate Splines - 3D
Thin Plate Splines - 3D
Thin Plate Splines - 3D Interpole os pontos pi, i=1,...,4, apresentados a seguir, de tal modo que a função interpolada seja totalmente plana para (|x|,|y|) (,) e minimize o seguinte critério:
Thin Plate Splines - 3D função de interpolação que minimiza o critério: superfície planar para (|x|,|y|) (,):
Thin Plate Splines - 3D resulta, então, o seguinte sistema de equações lineares, a ser resolvido em
Thin Plate Splines - 3D pode ser expresso em uma forma mais condensada, tomando-se os vetores z e w e matriz L a seguir:
Thin Plate Splines - 3D
Thin Plate Splines - 3D tem-se agora uma ferramenta poderosa para gerar superfícies de interpolação que minimizam uma dada medida de deformação; isto implica que, sob o ponto de vista da medida de deformação adotada, a superfície obtida é a mais suave possível, dentre aquelas que interpolam pontos no 3; sendo assim, é possível empregar estas superfícies de interpolação para explicar deformações produzidas por deslocamentos em marcos, os quais constituem um conjunto finito de pontos no 2;
Thin Plate Splines - 3D conjunto de n marcos de consenso: conjunto arbitrário de marcos homólogos: como explicar o que ocorre com todos os demais pontos no 2 quando se desloca os marcos de consenso até que eles coincidam com os marcos arbitrários (ou vice-versa)?
Thin Plate Splines - 3D este mapeamento do 2 para o 2 será decomposto em dois mapeamentos do 2 para o 1 tal que: mapeamento 1: é tal que deve realizar os mapeamentos, i=1,...,n, além de minimizar a mesma medida de deformação considerada acima mapeamento 2: é tal que deve realizar os mapeamentos, i=1,...,n, além de minimizar a mesma medida de deformação considerada acima
Thin Plate Splines - 3D sendo assim, os dois mapeamentos acima vão produzir as mais suaves dentre as superfícies que interpolam pontos no 3, sob o ponto de vista da medida de deformação adotada; os pontos a serem interpolados certamente vão indicar o quanto a superfície no 3 deve se deformar para ser capaz de realizar a interpolação; sendo assim, é intuitivo que qualquer medida de deformação que indique o que acontece quando se desloca os marcos de consenso até que eles coincidam com os marcos arbitrários (ou vice-versa) seja dada pela soma da deformação nas 2 superfícies no 3;
Thin Plate Splines - 3D marcos de consenso: marcos homólogos: Observa-se que não houve deslocamento no eixo x, mas apenas no eixo y. É evidente, portanto, que o mapeamento 1, definido acima, vai produzir um hiperplano, enquanto o mapeamento 2 vai apresentar uma deformação para possibilitar a correspondente interpolação.
Thin Plate Splines - 3D
Thin Plate Splines - 3D
Thin Plate Splines - 3D
Thin Plate Splines - 3D
Tópicos da Apresentação O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros thin plate splines - 2D thin plate splines - 3D os limites da interpolação polinomial splines polinomiais suavizantes análise de componentes principais (PCA)
Os limites da interpolação polinomial Considere uma função f C[a,b] e um polinômio pn(x) que interpole f(x) exatamente em n+1 pontos no intervalo [a,b]. Tomando uma seqüência de polinômios pn(x), com n , não é possível garantir que pn(x) convirja para f(x) em [a,b]. Repare que, quando se toma n , o que se busca é interpolar todos os pontos de f, o que equivale à tentativa de se aproximar a função f pelo polinômio de ordem infinita pn.
Tópicos da Apresentação O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros thin plate splines - 2D thin plate splines - 3D os limites da interpolação polinomial splines polinomiais suavizantes análise de componentes principais (PCA)
Splines polinomiais suavizantes para aumentar a flexibilidade de processos de aproximação utilizando polinômios, é interessante trabalhar com polinômios de ordem reduzida e dividir o intervalo de aproximação em subintervalos menores. Apesar de permitir um ganho natural de flexibilidade, a aproximação polinomial por partes não mais assegura a suavidade, nem mesmo a continuidade da aproximação. splines polinomiais suavizantes:
Tópicos da Apresentação O método dos quadrados mínimos para modelos lineares nos parâmetros thin plate splines - 2D thin plate splines - 3D os limites da interpolação polinomial splines polinomiais suavizantes análise de componentes principais (PCA)
Análise de Componentes Principais (PCA) a seqüência de componentes principais de um conjunto de dados no p fornecem as melhores aproximações lineares para os dados. tomando q < p componentes principais de um conjunto de N pontos no p, representados na forma , então a melhor aproximação linear destes N pontos é dada por: onde p é um vetor deslocamento, os componentes principais são ortonormais entre si, e q.
Análise de Componentes Principais (PCA) f() é a representação paramétrica de um hiperplano no q. as figuras a seguir ilustram, para q = 1 e q = 2, as melhores aproximações lineares para p = 2 (pontos distribuídos no 2) e p = 3 (pontos distribuídos no 3), respectivamente.
Análise de Componentes Principais (PCA)
Análise de Componentes Principais (PCA) nas figuras acima, os hiperplanos minimizam a soma do quadrado da distância de cada um dos N pontos no p ao respectivo hiperplano. isto implica que os componentes principais, ainda não obtidos, resolvem o seguinte problema de quadrados mínimos: Problema: como obter os componentes principais de uma distribuição de pontos ?
Análise de Componentes Principais (PCA) 1. expresse os N pontos no p na forma de uma matriz 2. obtenha a decomposição em valores singulares de X, dada por 3. para qualquer q < p, os q componentes principais correspondem às q primeiras colunas de V. Exemplo: Redução de dimensão e compressão de dados Considere um conjunto de dados composto por N = 130 números ‘3’ escritos à mão e armazenados em escala de cinza num grid 1616.
Análise de Componentes Principais (PCA)
Análise de Componentes Principais (PCA) cada uma das imagens pode ser entendida como um ponto no calculando os 2 primeiros componentes principais, resulta: