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Raízes de Funções Reais Unidade 7 Raízes de Funções Reais

Raízes de Funções Reais Ementa: 7.1 – Introdução 7.2 – Isolamento de raízes reais 7.3 – Método baseado em subintervalos (Bisseção) 7.4 – Métodos baseados em aproximação linear (Cordas, Secante, Regula Falsi e Pégaso) 7.5 – Método baseado em tangente (Newton)

Raízes de Funções Reais 7.1 – Introdução A necessidade de se encontrar valores de x que satisfaçam a equação f(x)=0 aparece frequentemente em vários problemas da Engenharia. Estes valores especiais são chamados de raízes ou zeros da equação f(x). Até um polinômio de grau 4, podem existir soluções analíticas para o problema (tais como a solução de Baskhara para polinômios do segundo grau). Para polinômios de grau superior, soluções numéricas são necessárias.

Raízes de Funções Reais O processo de calcular uma raiz pode ser dividido em duas fases: Isolamento da raiz: Encontrar um intervalo [a,b] que contenha uma, e somente uma, raiz. Refinamento da raiz: a partir de um valor inicial, encontrar uma sequência de valores que convirja para uma raiz exata de f(x). Alguns métodos podem não exigir um isolamento prévio de cada raiz.

Raízes de Funções Reais 7.2 – Isolamento de Raízes A maioria dos métodos para cálculo de raízes necessita que a mesma esteja confinada em um dado intervalo, sendo que ela deve ser única neste intervalo. Neste curso, veremos alguns métodos para isolar as raízes, mas antes iremos ver algumas propriedades das equações algébricas e dos métodos de cálculo de seus valores para um determinado valor de x.

f(x)=an.xn+an-1.xn-1+...+a1.x+a0=0 Raízes de Funções Reais Equações algébricas: São polinômios de grau n (n≥1), na seguinte forma: f(x)=an.xn+an-1.xn-1+...+a1.x+a0=0 Onde os coeficientes ai são números reais e an≠0. Equações transcendentais: São equações que não satisfazem o conceito acima, como no exemplo: f(x)=cos(x)-x=0

Raízes de Funções Reais Para o isolamento de raízes, recorremos a um importante teorema da Álgebra: “Se uma função contínua f(x) assume valores opostos nos pontos extremos de um intervalo [a,b], isto é, f(a).f(b) < 0, então este intervalo contém no mínimo uma raiz da equação f(x)=0”. Como a maioria dos métodos exige um intervalo que contenha uma raiz, este é um bom meio de se estimar este intervalo.

Raízes de Funções Reais Mas este intervalo deverá conter somente uma raiz, e para determinarmos se esta raiz é única, verificamos a derivada de f(x), f’(x). Se dentro do intervalo [a,b] analisado a derivada f’(x) mantiver o sinal, ou seja, se f’(x) > 0 ou f’(x) < 0 para a<x<b, então a raiz contida dentro deste intervalo será única.

Raízes de Funções Reais O teorema fundamental da Álgebra diz que: “Uma equação algébrica de grau n tem exatamente n raízes, reais ou complexas, desde que cada raiz seja contada de acordo com sua multiplicidade” (raízes iguais não contam como somente uma raiz). E outro teorema afirma: “Se os coeficientes da equação são reais, então suas raízes complexas, se existirem, virão em pares conjugados, na forma (a+jb) e (a-jb).”

Raízes de Funções Reais E como determinamos a quantidade de raízes reais que uma determinada equação tem? Para isso, além dos métodos mostrados, podemos recorrer à regra dos sinais de Descartes, que diz: - O número de raízes reais positivas n+ é igual ao número de variações de sinais na sequência dos coeficientes, ou menor que este número, por um inteiro par, sendo uma raiz de multiplicidade m contada como m raízes e não sendo contados os coeficientes iguais a 0.

Raízes de Funções Reais - O número de raízes reais negativas n- é igual ao número de permanências de sinais na sequência dos coeficientes, ou menor que este número, por um inteiro par, sendo uma raiz de multiplicidade m contada como m raízes e não sendo contados os coeficientes iguais a 0. Exemplo: O polinômio f(x)=x2+4.x+4 mantém o sinal entre x2 e 4x e entre 4.x e 4, portanto, ele possui 2 ou nenhuma raiz real negativa (poderiam ser imaginárias). Neste caso, as raízes são -2 e -2.

Raízes de Funções Reais Valor numérico de um polinômio: Para a análise de isolamento de raízes, devemos calcular o valor de f(x) para diversos valores de x, até que consigamos isolar uma raiz. Por exemplo: Calcular f(2) na equação abaixo: f(x)=3.x9+2.x8-10.x7+2.x6-15.x5-3.x4+2.x3-16.x2+3.x-5 f(2)=3.29+2.28-10.27+2.26-15.25-3.24+2.23-16.22+3.2-5 f(2)=321

Raízes de Funções Reais Este tipo de cálculo sempre necessita de n(n+1)/2 multiplicações e n adições. Na tentativa de diminuir este número de operações, veremos dois métodos para avaliação de polinômios: O método de Briot Ruffini O método de Horner

Raízes de Funções Reais Método de Briot-Ruffini Este método consiste em se encontrar um binômio (x-c) que satisfaça a igualdade: P(x)=(x-c).Q(x)+r De modo que quando x=c, o valor de r será o valor procurado do polinômio P(x). Na prática, utilizamos um dispositivo que permite avaliar um polinômio de grau n qualquer, somente preenchendo a tabela a seguir.

Raízes de Funções Reais Inicialmente colocamos todos os coeficientes ai de P(x) na primeira linha da tabela. Em seguida, fazemos bn=an e, em cada nova coluna, buscamos o valor de b anterior, multiplicamos por c e colocamos na coluna do meio. Depois, somamos os valores da coluna para encontrar o novo valor de b. Repetimos este processo até encontrarmos o último valor, r, que será o valor de P(c). an an-1 an-2 ... a1 a0 c c.bn c.bn-1 c.b2 c.b1 bn bn-1 bn-2 b1 r

f(x)=3.x9+2.x8-10.x7+2.x6-15.x5-3.x4+2.x3-16.x2+3.x-5 Raízes de Funções Reais Exemplo: Calcular f(2) na função abaixo: f(x)=3.x9+2.x8-10.x7+2.x6-15.x5-3.x4+2.x3-16.x2+3.x-5 Façamos a tabela inicial: Agora, vamos preenchê-la com os dados: Pronto. O resultado aparece na última coluna: f(2)=321 3 2 -10 -15 -3 -16 -5 c=2 3 2 -10 -15 -3 -16 -5 c=2 6 16 12 28 26 46 96 160 326 8 14 13 23 48 80 163 321

Raízes de Funções Reais Método de Horner: Este método consiste em colocar o x em evidência n-1 vezes, de forma a termos uma equação de cálculo mais simples. Exemplo: Calcule f(2): f(x)=3.x9+2.x8-10.x7+2.x6-15.x5-3.x4+2.x3-16.x2+3.x-5 f(x)=(3.x8+2.x7-10.x6+2.x5-15.x4-3.x3+2.x2-16.x+3).x-5 f(x)=((3.x7+2.x6-10.x5+2.x4-15.x3-3.x2+2.x-16).x+3).x-5 f(x)=((((((((3x+2).x-10).x+2).x-15).x-3).x+2).x-16).x+3.x)-5 Assim: f(2)=((((((((3.2+2).2-10).2+2).2-15).2-3).2+2).2-16).2+3.2)-5 f(2)=321

Raízes de Funções Reais Convergência da raiz Se uma raiz estiver isolada em um intervalo [a,b], então a próxima etapa consiste em gerar uma sequência de valores que convirja para a raiz exata ξ de f(x)=0. Mas necessitamos de um critério de parada para que possamos interromper a análise quando atingirmos um determinado valor para a precisão da raiz.

Raízes de Funções Reais De modo prático, a geração da sequência de números é interrompida quando uma das condições abaixo for verdadeira (depende do método utilizado): Onde ε é a tolerância fornecida.

Raízes de Funções Reais 7.3 - Método da Bisseção Seja uma função f(x) contínua em um intervalo [a,b], sendo ξ a única raiz de f(x)=0 neste intervalo. O método da bisseção consistem em subdividir o intervalo ao meio em cada iteração e manter o subintervalo que contém a raiz, ou seja, aquele em que f(x) tenha sinais opostos nos extremos.

Raízes de Funções Reais Uma das grandes vantagens deste método é que ele tem convergência garantida se f(x) for contínua em [a,b] e se ξ pertencer ao intervalo [a,b]. Este método também permite conhecer antecipadamente o número k de iterações necessários para calcular a raiz com tolerância ε:

Raízes de Funções Reais Exemplo: Calcular a raiz negativa de f(x)=x3-3x2-6x+8=0 Com tolerância ε < 0,05, sendo que o intervalo de procura é [-3,83;-0,62], utilizando o método da bisseção. Calcule também o número de iterações necessárias para chegar ao resultado.

Raízes de Funções Reais Solução: Inicialmente, vamos calcular o número de iterações necessárias: Portanto, serão necessárias 7 iterações para alcançarmos a tolerância fornecida de 0,05.

Raízes de Funções Reais Em seguida, calculamos os valores de f(a) e f(b), para determinarmos os sinais da função nos extremos do intervalo: Portanto, “a” é negativo e “b” é positivo.

Raízes de Funções Reais Agora, preenchemos a seguinte tabela, onde x é o valor central do intervalo: Portanto, a raiz da equação é ξ ≈ x7=-1,9993. i a(-) b(+) x=(a+b)/2 f(x) ε=|a-x| 1 -3,83 -0,62 -2,225 -4,517 1,605 2 -1,4225 7,586 0,802 3 -1,82375 2,8984 0,401 4 -2,0244 -0,44411 0,2005 5 -1,924 1,5154 0,10003 6 -1,194 -1,974 0,458 0,0501 7 -1,9993 0,0126 0,02507

Raízes de Funções Reais 7.4 – Métodos baseados em aprox. linear Apesar do método da bisseção ser robusto, ele não é eficiente devido à sua convergência muito lenta. Pode-se observar também que o valor de f(x) não decresce sempre, como visto na tabela (se o objetivo é fazer f(x)=0, isto deveria ser verdade). Por esse motivo, o método da bisseção é utilizado para melhorar o intervalo antes de usar outro método de convergência mais rápida.

Raízes de Funções Reais Método das Secantes ou Cordas: Este método consiste em criar uma secante entre os pontos a e b do intervalo [a,b]. Em seguida, substitui-se o ponto (a, f(a)) por (b,f(b)) e (b, f(b)) é trocado por (x,f(x)) recém calculado. Na primeira iteração deve-se tomar o cuidado de eliminar o ponto mais distante da raiz, comparando os módulos de f(a) e f(b) e eliminando o maior.

Raízes de Funções Reais A equação para cálculo do ponto x é: E o critério de parada: Um detalhe sobre este método é que na região da raiz a função deve ser aproximadamente linear, senão o método falhará.

Raízes de Funções Reais Exemplo: Dada a equação abaixo, encontre a melhor aproximação para a raiz contida no intervalo [-3,83; -0,62], utilizando o método das secantes, com tolerância ε = 0,05. f(x)=x3-3x2-6x+8=0

Raízes de Funções Reais Resolução: Basta preenchermos a seguinte tabela: Conforme se vê, a raiz não converge. Isso se deve ao fato da função não ser aproximadamente linear no intervalo informado [-3,83;-0,62]. Se alterarmos este intervalo para [-3;-1], teremos: i a b x f(a) f(b) f(x) ε 1 -3,83 -0,62 -1,037 -69,209 10,328 9,881   2 -10,247 -1321,65 -9,2107 3 -1,105 -1321,650 9,617 9,1423 4 -10,25 -1,171 9,305 -0,0660

Raízes de Funções Reais Agora, não só a função convergiu para a tolerância informada em apenas 4 passos como ainda chegou ao valor exato da raiz em 7 passos. i a b x f(a) f(b) f(x) ε 1 -3 -1 -1,526 -28,000 10,000 6,613   2 -2,554 -12,905 1,0277 3 -1,875 2,119 0,6795 4 -1,970 0,526 0,0958 5 -2,002 -0,036 0,0316 6 -1,97 -2,000 0,001 0,0020 7 0,000 0,0000

Raízes de Funções Reais Método de Regula Falsi: Este método é semelhante ao método das Secantes, só que ele fixa um dos pontos da secante e varia somente o outro, procurando desta forma manter a raiz dentro do intervalo. O valor de “c” é o ponto fixo da secante e é igual a “a” ou “b”, determinado quando f(a).f”(a)>0 ou f(b).f”(b)>0.

Raízes de Funções Reais Graficamente, este método se comporta da seguinte forma:

Raízes de Funções Reais O critério de parada para este método será satisfeito quando: Exemplo: Dada a equação abaixo, encontre a melhor aproximação para a raiz contida no intervalo [-3,83; -0,62], utilizando o método de Regula Falsi, com tolerância ε = 0,05. f(x)=x3-3x2-6x+8=0

Raízes de Funções Reais Resolução: Calculemos a derivada segunda de f(x): f’(x)=3.x2-6.x-6 f” (x)=6.x-6 Agora, encontramos os valores de f(a), f(b), f”(a) e f”(b): f(a) = -69,209 f(b)=10,328 f”(a)=-28,98 f”(b)=-9,72 Assim, na fórmula do método: c=a=-3,83.

Raízes de Funções Reais Agora, preenchemos a seguinte tabela: Portanto, a raiz da equação é ξ ≈ x7=-1,968. i a b x f(a) f(b) f(x) ε 1 -3,83 -0,62 -1,037 -69,209 10,328 9,881   2 -1,0368 -1,386 7,892 -0,3490 3 -1,3858 -1,636 5,408 -0,2502 4 -1,795 3,320 -0,1590 5 -1,888 1,902 -0,0932 6 -1,8882 -1,940 1,046 -0,0519 7 -1,9401 -1,968 0,563 -0,0281

Raízes de Funções Reais Método Pégaso: Conforme vimos anteriormente, os métodos de aproximação linear podem ser alterados em função de uma convergência mais rápida. O método das cordas foi melhorado pelo Regula Falsi. Este método também foi melhorado pelo método Pégaso, que tem este nome devido à sua utilização em um computador Pégaso, sendo seu autor desconhecido.

Raízes de Funções Reais Para utilizar este método, necessitamos, além da função f(x), do intervalo [a,b] que contenha uma, e somente uma, raiz desta função. Para obtermos os novos valores do intervalo [a,b], utilizamos a seguinte fórmula: Onde as aproximações da iteração seguinte são escolhidas da seguinte forma:

Raízes de Funções Reais Se f(x).f(b)<0, então: (a, f(a)) é trocado por (b, f(b)) (b, f(b)) é trocado por (x, f(x)) Senão, se f(x).f(b)>0, então: (a, f(a)) é trocado por (a, p) Onde:

Raízes de Funções Reais Exemplo: Dada a equação abaixo, encontre a melhor aproximação para a raiz contida no intervalo [-3,83; -0,62], utilizando o método Pégaso, com tolerância ε = 0,05. f(x)=x3-3x2-6x+8=0 Solução: Basta preencher a tabela: i a b x f(a) f(b) f(x) ε 1 -3,83 -0,62 -1,037 -69,209 10,328 9,881   2 -1,647 -35,370 5,279 0,6099 3 -2,054 -23,053 -0,990 0,4068 4 -1,989 0,191 0,0643 5 -2 0,005 0,0104

Raízes de Funções Reais 7.5 – Método baseado em tangente (Newton) Diferentemente dos métodos anteriores, este método utiliza uma aproximação dos valores de xn através de tangentes, ao invés de polinômios lineares. A desvantagem deste método é que ele exige que se conheça f’(x) e f’’(x), sendo sua fórmula de recorrência:

Raízes de Funções Reais O ponto inicial a ser escolhido será “a” ou “b”, dependendo da seguinte condição: Se f(a).f’’(a) > 0, então x0=a Se f(b).f’’(b) > 0, então x0=b Exemplo: Dada a equação abaixo, encontre a melhor aproximação para a raiz contida no intervalo [-3,83; -0,62], utilizando o método das tangentes, com tolerância ε = 0,05. f(x)=x3-3x2-6x+8=0

Raízes de Funções Reais Solução: Inicialmente, calculamos a derivada segunda do polinômio e encontramos os valores de f(a), f’’(a), f(b), f’’(b): f’(x)=3.x2-6.x-6 f” (x)=6.x-6 f(a) = -69,209 f(b)=10,328 f”(a)=-28,98 f”(b)=-9,72 Assim, na fórmula do método: x0 = a = -3,83.

Raízes de Funções Reais A fórmula de recorrência do método será: Agora, montamos a tabela: i x ε 1 -3,83   2 -2,6952 1,1348 3 -2,1571 0,5381 4 -2,0110 0,1461 5 -2,0001 0,0109

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