Econometria Avançada Prof. Alexandre Gori Maia Revisão Geral Econometria Avançada Prof. Alexandre Gori Maia

Métodos de Mínimos Quadrados Econometria 2 – Princípio da Normalidade Métodos de Mínimos Quadrados A. G. Maia Mínimos Quadrados Y e6 en e4 e2 e5 e3 e1 X O método de mínimos quadrados irá obter os ’s de tal forma que as distâncias entre os valores observados e a reta (ei) sejam mínimas. 2

Análise de Variância Econometria 2 – Regressão Linear A. G. Maia Verificando a Signficância da Variável Independente Quando X explica Y Quando X não explica Y Y Menor Soma dos Quadrados da Regressão Maior Soma dos Quadrados da Regressão Y Y Y ^ Y ^ Y X X 3

Análise de Variância Tabela ANOVA Econometria 2 – Regressão Linear A. G. Maia Tabela ANOVA H0: O modelo não contribui para explicar Y H1: O modelo contribui para explicar Y Soma dos Quadrados Quadr Médios Fonte GL F valor p Regressão Resíduos Total Decisão Irei afirmar que o modelo contribui para explicar a variável dependente Y quando o nível de significância (valor p) for suficientemente baixo (usualmente < 0,05). Ou seja, afirmo que o modelo é bom somente se a chance de de erro ao fazer tal afirmação for baixa. 4

Distribuição dos Resíduos Econometria 2 – Princípio da Normalidade Regressão Linear A. G. Maia Distribuição dos Resíduos Y Yj ~ N ^ Yj Como os resíduos (ei) representam a distância de cada Yi à reta (0+1Xi), então é a mesma coisa afirmar que: Xj X 5

Normalidade dos Resíduos Como verificar o princípio? Econometria 2 – Princípio da Normalidade Normalidade dos Resíduos A. G. Maia Como verificar o princípio? As técnicas mais utilizadas para verificar se os resíduos estão normalmente distribuídos são: 1) Análise gráfica: Construir um histograma (valores dos resíduos no eixo horizontal e as respectivas freqüências no eixo vertical) e analisar visualmente se a forma de distribuição assemelha-se a uma normal; 2) Estatística Jarque-Bera (JB): O teste Jarque-Bera de normalidade é baseado nas medidas de assimetria e curtose dos resíduos. Com a estatística de JB é possível estimarmos a probabilidade de erro ao afirmar que o pressuposto da normalidade é violado, ou seja, que os resíduos não estão normalmente distribuídos; 6

Detectando Heterocedasticidade Econometria 2 – Heterocedasticidade Detectando Heterocedasticidade A. G. Maia Análise Gráfica Homocedasticia Heterocedasticia ep ep X X A dispersão dos resíduos é a mesma ao longo de X A dispersão dos resíduos aumenta para valores altos de X Heterocedasticia Heterocedasticia ep ep X X Há uma relação quadrática entre os resíduos e os valores de X Há uma relação quadrática entre os resíduos e os valores de X 7

Como detectar a heterocedasticidade? Econometria 2 – Heterocedasticidade Heterocedasticidade A. G. Maia Como detectar a heterocedasticidade? Dois teste para se detectar a heterocedasticidade: 1) Análise gráfica: Construir um gráfico de dispersão entre os resíduos (ou resíduos padronizados) e cada uma das variáveis independentes do modelo, para verificar se há entre elas alguma relação sistemática. 2) Teste de Goldfeld-Quandt: Divide-se a amostra em duas partições iguais, para verificar se as variâncias diferem entre elas. Ajusta-se então um modelo para cada partição e verifica-se as dispersões dentro de cada partição (erro padrão ou SQRes) são iguais (homocedasticidade) ou diferentes (heterocedasticidade). Y X 8

Corrigindo Heterocedasticidade Método de Mínimos Quadrados Ponderados Econometria 2 – Heterocedasticidade Corrigindo Heterocedasticidade A. G. Maia Método de Mínimos Quadrados Ponderados Mínimos Quadrados Ponderados: O método de mínimos quadrados ponderados é um caso especial de uma técnica econométrica mais geral denominada mínimos quadrados generalizados. Na presença de heterocedasticidade, os parâmetros ’s do modelo Y = 0+1X não são eficientes pois são influenciados pelos valores de X com maiores variâncias. Uma opção para corrigir este problema é o chamado método de mínimos quadrados ponderados, que consiste em ponderar as variáveis do modelo pela variância de cada observação, ou seja, ajustar um novo modelo dado por: os parâmetros ’s deste modelo serão melhores (mais eficientes) que os do modelo acima (mínimos quadrados ordinários) Perceba que neste novo modelo há uma variável adicional (1/i) e não há intercepto. Quando os valores de i são desconhecidos, podem ser estimados pelos desvios padrões (erros padrões) das sub-amostras do teste QG. 9

Ausência de colinearidade Presença de colinearidade Econometria 2 – Multicolinearidade MultiColinearidade A. G. Maia Conceito Ausência de colinearidade Presença de colinearidade Variabilidade de Y explicada por X2 Efeito isolado de X1 em Y Variabilidade de Y explicada por X1 Efeito isolado de X2 em Y Variabilidade total de Y Variabilidade total de Y Efeito conjunto de X1 e X2 sobre Y Variabilidade total de X2 X1 X2 Variabilidade total de X1 10

Como detectar a multicolinearidade? Econometria 2 – Multicolinearidade Multicolinearidade A. G. Maia Como detectar a multicolinearidade? Alguns sinais de multicolinearidade: 1) Estatísticas Conflitantes: Um R2 elevado em um modelo com poucas estatísticas t significativas. É até possível até que a estatística F indique que o modela seja signficativo em explicar a variável dependente, mas nenhuma estatística individual t seja significativa. 2) Relacionamento das variáveis independentes : Um ajuste linear significativo entre as variáveis independentes pode ser um forte indício de multicolinearidade. 3) Fator Inflacionário da Variância : Uma estatística que mensura o Fator Inflacionário da Variância (FIV) pode dar uma idéia de quão inflacionada esta sendo a variância dos parâmetros ’s em virtude da multicolinearidade. 11

Multicolinearidade O que fazer? Econometria 2 – Multicolinearidade Multicolinearidade A. G. Maia O que fazer? Na presença de multicolinearidade, o pesquisador pode tomar as seguintes atitudes: - Aumentar o tamanho da amostra: se aumentarmos o tamanho da amostra, a tendência é que os estimadores do parâmetros ´s fiquem mais precisos (diminua sua variância). Ou seja, o aumento do tamanho da amostra irá aliviar a falta de significância dos parâmetros estimados e melhorar a precisão das estimativas. - Omitir a variável que apresentar alta colinearidade com as demais: desde que esta omissão não comprometa as especificações do modelo, ou seja, ausência de variáveis importantes na compreensão do problema. - Tranformar as variáveis: a multicolinearidade pode ser eliminada transformando-se as variáveis independentes. Por exemplo, se estamos estimando o preço de venda da soja com base na área e quantidade produzida, teremos obviamente um colinearidade entre área e quantidade produzida. Mas se substituirmos ambas as variáveis independentes pela variável produtividade=produção/área, este problema será eliminado. 12

Detectando Autocorrelação Econometria 2 – Autocorrelação Detectando Autocorrelação A. G. Maia Análise Gráfica Ausência de Autocorrelação Autocorrelação e e tempo tempo Não há nenhuma relação evidente entre os resíduos ao longo do tempo Há um padrão cíclico de dispersão dos resíduos ao longo do tempo Autocorrelação Autocorrelação e e tempo tempo Há uma tendência linear na distribuição dos resíduos ao longo do tempo Há uma tendência quadrática de dispersão dos resíduos ao longo do tempo 13

Como detectar a autocorrelação? Econometria 2 – Autocorrelação Autocorrelação A. G. Maia Como detectar a autocorrelação? Dois teste para se detectar a autocorrelação: 1) Análise gráfica: Construir um gráfico de dispersão entre os resíduos e o tempo de coleta das informações amostrais, para verificar a existência de alguma relação serial. 2) Teste de Durbin-Watson: A estatística de Durbin-Watson envolve o cálculo de um teste baseado nos resíduos do método de mínimos quadrados, para se testar a hipótese nula da ausência de autocorrelação. 14

Teste de Durbin-Watson Econometria 2 – Autocorrelação Teste de Durbin-Watson A. G. Maia Conceito Sabemos que: e e que... Então, quando: A estatística DW varia entre 0 e 4. Na ausência de autocorrelação, o valor de DW será próximo de 2. Quão mais afastado de 2, mais evidências para se rejeitar a hipótese nula da ausência de correlação, seja pela existência de correlação serial positiva (DW≈0) ou negativa (DW≈4). Mas quão distante de 2 deve estar DW para se rejeitar H0? Dado o número de observações da amostra (n) e o número de variáveis independentes (k), deve-se consultar a tabela de Durbin-Watson para obter o limite inferior (dI) e superior (dS) tais que: Rejeita H0, ou seja, há autocorrelação positiva Zona de indecisão Não se rejeita H0, ou seja, não há autocorrelação Rejeita H0, ou seja, há autocorrelação negativa dI dS 2 4-dS 4-dI 4 15 A novidade aqui é a zona de indecisão, limites onde o teste é inconclusivo!

Correção para Autocorrelação Econometria 2 – Autocorrelação Correção para Autocorrelação A. G. Maia Como corrigir a autocorrelação? Quando a existência de autocorrelação não for devida à falhas na especificação do modelo, uma medida corretiva para o modelo: Que apresenta correlação serial nos resíduos dada por: são os resíduos não autocorrelacionados que devem ser obtidos no modelo original. onde... Será dada por: ou, resumidamente... onde Y*t=(Yt-Yt-1), *0=(0-0), X*t=(Xt-Xt-1), e vt são os resíduos não autocorrelacionados. Este modelo corrige o problema da autocorrelação nos resíduos originais (et), e apresenta o mesmo coeficiente 1 do modelo original. 16

Dada uma variação de 1.000 reais na renda Econometria 2 – Defasagens Distribuídas Defasagem Temporal A. G. Maia Conceito Supondo o exemplo da variação no consumo: Dada uma variação de 1.000 reais na renda Em nosso exemplo para a variação no consumo (C) dada uma variação na renda (R), tínhamos: consumo final $200 Ao final, teremos uma variação de 900 reais no consumo. $900 $300 Consumo $ Dados por: $400 consumo anterior Em outras palavras, significa que dada uma variação da renda no período t, uma proporção (0=0,4) terá efeito imediato (t0) na variação do consumo. Outra menor proporção (1=0,3) terá efeito no próximo período (t1), e assim sucessivamente. Ao final, teremos uma variação total no consumo dada por: Tempo t0 t1 t2 Variação total: Enquanto cada coeficiente i de um modelo com defasagem distribuída é chamado de impacto no tempo i, a variação total, ou impacto total de uma variação unitária de X em Y será dada por: 17

Transformação de Koyck Econometria 2 – Defasagens Distribuídas Transformação de Koyck A. G. Maia Conceito Estabelecendo uma relação entre o impacto i e o tempo: k Vamos supor que a variação para o período 0 seja dada por 0. 0 onde 0<<1 Supondo que os parâmetros i, que definem o impacto de X em cada tempo i, sejam todos do mesmo sinal, Koyck (1954) definiu uma técnica para estimá-los, pressupondo que eles decaiam geometricamente ao longo do tempo. 1 2 3 Tempo 1 2 3 Cada valor de 0 irá, portanto, depender do impacto inicial no período t (0) e da taxa de declínio . Por exemplo, supondo que o variação unitária de X cause um impacto imediato igual a 0,8 unidades de Y, com uma taxa de declínio de 0,5, teremos: O impacto irá reduzir-se geometricamente ao longo do tempo, de tal forma que no período 10 o impacto será praticamente nulo (010=0,001) 18

Séries Estacionárias Exemplos 19 Processo estacionário Econometria 2 – Séries Temporais Séries Estacionárias A. G. Maia Exemplos Processo estacionário A série varia aleatoriamente em torno de uma média constante, com variância também constante. Choques são amortecidos com o tempo (0<<1). Exemplo: Inflação mensal. Processo não estacionário A série varia aleatoriamente com um tendência ao longo do tempo. Um choque que produz um crescimento no período t, será assimilado integralmente na série (=1). Séries deste tipo são também chamadas de passeio aleatório (random walk). Exemplo: PIB real. 19

O que fazer quando há variáveis não estacionárias Econometria 2 – Séries Temporais Séries Temporais A. G. Maia O que fazer quando há variáveis não estacionárias Algumas alternativas quando temos variáveis não estacionárias no modelo de série temporal: 1) Modelo de tendência estacionárias: Uma solução simples para evitar o problema de relação espúrias em variáveis temporais não estacionárias é a inclusão da variável explanatória tempo t. 2) Modelo de diferença estacionária: Quando tempos uma variável não estacionária Yt, é possível que sua diferença Yt=Yt-Yt-1 seja não estacionária, de tal forma que o ajuste possa ser feito com Yt no lugar de Yt; 3) Variáveis cointegradas: Embora não estacionárias, duas variáveis podem compartilhar tendências temporais semelhantes, exibindo uma relação de equilíbrio a longo prazo, podendo desta forma serem relacionadas diretamente num ajuste econométrico. 20

Problemas de Estimação Econometria 2 – Regressão Logística Variáveis Dummy A. G. Maia Problemas de Estimação Quando ajustamos um modelo linear do tipo: onde Y é uma variável dummy, ou seja, estamos interessados em prever a probabilidade de sucesso de Y em função da variável independente X, deparamo-nos com uma série de dificuldades. O fato de estarmos forçando um ajuste linear a uma relação curvilínea, irá ocasionar problemas do tipo: Y Ausência de normalidade na distribuição dos resíduos: a distribuição dos resíduos em torno da reta de regressão não seguirá uma distribuição normal, comprometendo a análise das estatísticas de teste. 1 2) Heterocedasticidade: Valores de X com probabilidade de Y próximos a 0 ou 1 terão menor variabilidade que valores próximos a 0,5. Como conseqüência, os parâmetros estimados serão ineficientes. X 3) Escolha funcional: A relação linear não é a escolha apropriada para este tipo de relação. Probabilidades negativas e maiores que 1 estarão sendo previstas, o que é irreal. 21

Regressão Logística Definição Modelo Logit Econometria 2 – Regressão Logística Regressão Logística A. G. Maia Definição Modelo Logit O modelo logit é o mais tradicional ajuste de regressão quando temos uma dummy como variável dependente. Ajusta uma curva logística à probabilidade de sucesso (P), segundo o modelo não linear: P (1) Para linearizar a expressão: Se Y é uma dummy, então temos que: X A chance de sucesso (odds ratio, ou seja, taxa de sucesso em relação ao fracasso) será dada por: representa qual a chance de sucesso em relação aos fracassos. Temos então o seguinte ajuste linear para a relação entre a chance de sucesso e as variáveis independentes: este ajuste linear é equivalente à curva logística (1) para a probabilidade de sucesso. Uma vez obtido este ajuste, é possível estimar a probabilidade de sucesso dados os valores de X. 22